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- 2021-06-23 发布
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云南省曲靖市第一中学2018届高三高考复习质量监测卷(四)
理科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,且,则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内,复数满足,则的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.下列命题为假命题的是( )
A.,使得
B.“”是“”的必要不充分条件
C.若向量,,则
D.函数,的值域为
4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列四个命题:
①若,,则; ②若,,则;
③若,,,则; ④若,,,则
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③ C. ②③ D.③④
5.在等比数列中,是函数的极值点,则( )
A.-4 B.-3 C. 3 D.4
6.已知函数(且)图象恒过的定点在角的终边上,则( )
A. B. C. D.
7.在中,若,且,则( )
A. B. C. D.
8.一个四棱锥的三视图如图所示,关于这个四棱锥,下列说法正确的是( )
A.最长的棱长为
B.该四棱锥的体积为
C.侧面四个三角形都是直角三角形
D.侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形
9.已知单位向量与的夹角为,则向量在向量方向上的投影为( )
A. B. C. D.
10.已知定义在非零实数集上的函数满足:,且,,,则( )
A. B. C. D.
11.设,,若,则的最大值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若函数,且,则的值为 .
14.若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为,则其外接球的表面积为 .
15.将全体正整数排成如图的一个三角形数阵,按照此排列规律,第13行从左向右的第7个数为 .
16.点的坐标满足约束条件,若,,且(为坐标原点),则的最大值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知等差数列满足:(),,该数列的前三项分别加上0,0,2后成等比数列,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18. 在中,角的对边分别为,面积为,已知.
(1)求证:成等差数列;
(2)若,,求.
19. 如图,正方形,直角梯形,直角梯形所在平面两两垂直,,且,.
(1)求证:四点共面;
(2)求二面角的余弦值.
20. 定义行列式运算: ,若函数 (,)的最小正周期是,将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.
(1)求函数的单调增区间;
(2)数列的前项和,且,求证:数列的前项和
21. 已知函数,,其中,.
(1)当时,求在点处切线的方程;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(3)记,求证:.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合,轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线的参数方程为(为参数)
(1)在极坐标系下,曲线与射线和射线分别交于两点,求的面积;
(2)在直角坐标系下,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点,求的值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数的最小值为.
(1)求的值;
(2)求函数的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: DADCB 6-10: CCBA 11、12:DB
【解析】
10.∵,∴,则在上是减函数,
∵,∴,故选A.
11.∵,,∴,∴, ∴,
故选D.
12.∵,∴当时,,当时,则在
上是减函数,在上是增函数,∴
,故选B.
二、填空题
13. 2 14. 15. 85 16. 5
【解析】
16.∵,由,∴将,
,代入得画出其对应的可行域,则可用斜率的几何意义求得的最大值为,∴的最大值为.
三、解答题
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设为等差数列的公差,由题意,
由,,,分别加上后成等比数列,
∴,∵,∴,
∴,
又,∴,即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
∴
.
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:由题意:,
∴,
由正弦定理得,
即,
∴,
即,
∵,
∴,即,
∴成等差数列.
(Ⅱ)解:由余弦定理得,
∴,
又由(Ⅰ)得,
∴,
则.
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:方法1:如图,
取的中点,连接,
∵在正方形中,,,
在直角梯形中,,,
∴,,即四边形是平行四边形,
∴,
∵在直角梯形中,,即四边形是平行四边形,
∴,
由上得,即四边形是平行四边形,
∴四点共面.
方法2:由正方形,直角梯形,直角梯形所在平面两两垂直,
易证:两两垂直,建立如图所示的坐标系,则
,
∵,
∴,即四边形是平行四边形,
故四点共面.
(Ⅱ)解:设平面的法向量为,
∵,
则令,则,
设平面的法向量为,且,
则 令,则,
∴设二面角的平面角的大小为,则.
20.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:由题意:,
∵,∴,
∴的图象向右平移个单位后得,
此函数为奇函数,则,∵,∴,
∴,
由可得,
∴的单调增区间为.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,
∴,
①当时,;
②当时,,
而,
∴,
则,
∴.
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:当时,,
∴,此时切点为,
∴的方程为.
(Ⅱ)解:∵,函数在区间上单调递增,
∴在区间上恒成立,
∴在上恒成立,则,
令,则,当时,,
∴,
∴.
(Ⅲ)证明:∵,∴,则,
∴,
令,
则,
令,则,
显然在区间上单调递减,在区间上单调递增,则,
∴,则.
22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
解:(Ⅰ)曲线在直角坐标系下的普通方程为,
将其化为极坐标方程为,
分别代入和,得,
∵,
∴的面积.
(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的普通方程得,
即,
∴.
23.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】
解:(Ⅰ)方法1:∵
∴在上是减函数,在上是减函数,在上是增函数,
则,
∴.
方法2:∵,
当且仅当时取等号,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,定义域为,且,
由柯西不等式可得:
,
当且仅当时等号成立,即时,函数取最大值.