数学文卷·2018届江西省临川一中高三上学期教学质量检测（二）（2017 10页

江西省临川一中2018届高三年级教学质量检测（二）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集为，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知等差数列的前项和为（），若，则（ ）‎ A．4 B．2 C． D． ‎ ‎3.已知函数其中，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎ ‎4.函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎6.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜”或“打老牛”．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制.玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则的取值可能为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知正方形如图所示，其中，相交于点，，，，，，分别为，，，，，的中点，阴影部分中的两个圆分别为与的内切圆，若往正方形中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）‎ A． B．C． D．‎ ‎9.已知抛物线：（）的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，准线与轴的交点设为，若，且的面积为，则以为直径的圆的标准方程为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎ ‎10.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数现有如下说法：‎ ‎①函数的单调增区间为和；‎ ‎②不等式的解集为；‎ ‎③函数有6个零点．‎ 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知等比数列的前项和为（），若，则数列的公比为 ．‎ ‎14.已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为 ．‎ ‎15.已知实数，满足则的取值范围为 ．‎ ‎16.已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：‎ 时间点 ‎8点 ‎10点 ‎12点 ‎14点 ‎16点 ‎18点 甲游乐场 ‎10‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎20‎ 乙游乐场 ‎13‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；‎ ‎（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为，（），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足的概率．‎ ‎18.在如图所示的五面体中，，，，四边形为正方形，平面平面．‎ ‎（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；‎ ‎（2）求的长．‎ ‎19.已知数列的前项和为（），且，数列是首项为1、公比为的等比数列．‎ ‎（1）若数列是等差数列，求该等差数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎20.已知中，角，．‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若点，满足，且，求的值．‎ ‎21.已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的的右焦点且与椭圆交于，两点．　‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点，求证：若圆：（）与直线相切，则圆与直线也相切．‎ ‎22.已知函数，，其中为自然对数的底数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线斜率；‎ ‎（2）证明：当时，函数有极小值，且极小值大于．‎ 江西省临川一中2018届高三年级教学质量检测（二）数学（文科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为；‎ ‎（2）依题意，有4个时间点，记为，，，；有2个时间点，记为，；‎ 故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中满足条件的为，，，，，，，共8种，故所求概率．‎ ‎18.证明：（1）取的中点，连接；‎ 因为，，‎ ‎，所以，又四边形是正方形，所以，，‎ 故四边形为平行四边形，故，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ 解：（2）因为平面平面，四边形为正方形，所以，‎ 所以平面．‎ 在中，因为，故，又，‎ 所以由余弦定理，得，由（1）得 故．‎ ‎19.解：（1）当时，；‎ 当时，，故（）．‎ 因为是等差数列，故，，成等差数列，‎ 即，解得，所以，‎ 所以，符合要求．‎ ‎（2）由（1）知，（），‎ 所以 ‎，‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎20. 解：（1）在中，设角，，所对的边分别为，，，由正弦定理 ‎，‎ 得，‎ 又，所以，则为锐角，所以，‎ 则，‎ 所以的面积．‎ ‎（2）由题意得，是线段的两个三等分点，‎ 设，则，，又，，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 解得（负值舍去），则，所以，‎ 所以，‎ 在中，．　‎ ‎21.（1）解：设椭圆的焦距为（），依题意解得，，，‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，两点关于轴对称，‎ 点在轴上，所以直线与直线关于轴对称，‎ 所以点到直线与直线的距离相等，‎ 故若圆：（）与直线相切，则也会与直线相切；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 由得，‎ 所以，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以，，于是点到直线与直线的距离相等，‎ 故若圆：（）与直线相切，则也会与直线相切．‎ 综上所述，若圆：（）与直线相切，则也会与直线相切．‎ ‎22.解：（1）依题意，，，故，‎ 即曲线在点处的切线斜率为；‎ 证明：（2）因为，所以在区间上是单调递增函数，‎ 因为，，‎ 所以使得，‎ 所以，；，，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在区间上有极小值，‎ 因为，所以，‎ 设，，‎ 则，所以，‎ 即在上单调递减，所以，‎ 即，故当时，函数有极小值，且极小值大于．‎ ‎ ‎