2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a的值是（ ）‎ A．1 B．–1 C．4 D．–4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由直线方程一般式垂直的条件计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线垂直条件，两直线方程分别为和，则它们垂直的充要条件是．‎ ‎2．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）‎ A．2 B． C．10 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由与共线得，即，解方程组即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知，，因为与共线，所以存在实数，使得，故 ‎，即，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共线向量定理的应用，涉及向量坐标运算，考查学生的计算能力，是一道基础题.‎ ‎3．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将双曲线方程右端1改为0，即可求得双曲线渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 令右端1为0，得，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求双曲线的渐近线，考查学生基本计算能力，是一道基础题.‎ ‎4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x（万元）‎ ‎8.3‎ ‎8.5‎ ‎10‎ ‎11.2‎ ‎12‎ 支出y（万元）‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎10‎ 根据上表可得，线性回归方程.据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为（ ）‎ A．15.2万元 B．15.6万元 C．16万元 D．16.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】将样本中心点代入回归直线方程求得，进而回归方程为，再令代入计算即可.‎ ‎【详解】‎ 将代入线性回归方程，得，解得，‎ 所以回归方程为，当时，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线方程及其应用，回归直线一定过样本中心点，这是解题的一个依据，本题是一道容易题.‎ ‎5．如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画图如下：‎ ‎ ‎ 则，，，‎ 故在中，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查球的表面积，属基础题.‎ ‎6．如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中为实数，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将用表示，对比系数即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的线性运算，一定要结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则，本题是一道基础题.‎ ‎7．在平面直角坐标系中，直线过点，且被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】由已知得到圆心O到直线l的距离为1，设出直线方程，利用点到直线的距离公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知，圆心O到直线l的距离，当直线的斜率不存在时，‎ 此时直线的方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ‎，即，由点到直线的距离公式得，解得 ‎，此时方程为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，涉及到弦心距公式，特别要注意在设直线的点斜式时，要先讨论斜率不存在的情况.‎ ‎8．已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，利用二倍角公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换的应用，涉及到配角技巧及倍角公式等知识，考查学生基本计算能力，是一道基础题.‎ ‎9．在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，且线段中点的横坐标为3，则线段的长为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线定义结合公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 设，则，由抛物线定义知，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，在处理抛物线焦半径时，经常会想到利用抛物线定义将其转化为到准线的距离.‎ ‎10．在平面直角坐标系中，已知点，点在双曲线上，且，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线AB方程为，联立双曲线方程得，，又由得，消即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，当直线AB的斜率为0时显然不满足题意，‎ 设，AB的方程为，联立消x，得，‎ 所以，①，又，有，即②，‎ 由①②，得，即，，所以斜率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生利用韦达定理消元，有一定的运算量，是一道中档题.‎ 二、多选题 ‎11．已知两条直线，及三个平面，下列条件中能推出的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】利用面面垂直的判定定理与性质定理来处理.‎ ‎【详解】‎ 如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确；选项B显然正确；‎ 如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面 那么另一个平面也垂直这个平面知选项C 正确；D选项有可能与可能平行.‎ 故选：ABC.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中面面垂直的判定，考查学生空间想象能力，是一道基础题.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则（ ）‎ A．曲线经过坐标原点 B．曲线关于轴对称 C．曲线关于轴对称 D．若点在曲线上，则 ‎【答案】BCD ‎【解析】利用直接法可得曲线的方程为，然后逐一验证A，B，C，D.‎ ‎【详解】‎ 设，由已知，，即，平方得，不满足方程，故选项A错误；‎ 用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故B正确；同理用用换，方程不变，所以曲线 关于轴对称，故C正确；令，得，即，所以，故，D正确.‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用直接法求曲线的轨迹方程，对于选项A，B，C，D只需逐一代入验证即可，本题是一道中档题.‎ 三、填空题 ‎13．在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为________.若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则实数的值为______________.‎ ‎【答案】4 4 ‎ ‎【解析】利用及抛物线的焦点横坐标为计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知，，故，所以焦距为，又双曲线右焦点为，‎ 所以有，.‎ 故答案为：（1）4；（2）4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题易得，再利用计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知，，所以，故离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆离心率，解决椭圆的离心率的问题，关键是建立的方程或不等式，本题是一道容易题.‎ ‎15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如.在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出和等于16的概率，再利用事件A与其对立事件概率和为1解决.‎ ‎【详解】‎ 不超过15的质数有2，3，5，7，11，13共6个，从中选2个质数一共有 种，和等于16的有（3，13），（5，11）两种，‎ 由古典概型的概率计算公式知，和等于16的概率为，和不等于16的概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率计算，注意正面情况比较多的情况下，可以采用先计算对立事件的概率，本题是一道容易题.‎ ‎16．已知四棱柱的底面是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将表示成，平方即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，，所以 ‎，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的线性运算，涉及到向量的模，向量数量积等知识，是一道基础题.‎ 四、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且的面积为5，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理并结合即可获解；‎ ‎（2）由及的值可得到，再利用计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 由正弦定理得，‎ 因此.‎ 在中，，所以，‎ 于是，‎ 因为，所以，所以.‎ ‎（2）由（1）知，所以.‎ 因为的面积为5，即，‎ 所以，即.又因为，‎ 所以，‎ 因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正余弦定理解三角形，考查学生计算能力，难度不大，要注意书写的规范性.‎ ‎18．某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ ‎（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 ‎2‎ ‎5‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于的概率；‎ ‎（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）‎ ‎【答案】（1）0.6.（2）‎ ‎【解析】（1）由频率，为事件A出现的次数，为试验次数，；‎ ‎（2）分别算出两种情况用水量的平均数作差即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于的频数为，‎ 所以所求的概率约为，‎ 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为0.6.‎ ‎（2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为 ‎；‎ 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 ‎；‎ ‎.‎ 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用频率、平均数估计值的计算，考查学生基本计算能力，是一道基础题.‎ ‎19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若点分别是棱，的中点，求证：平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）要证明平面，只需证明AB与平面内的两条相交直线垂直即可；‎ ‎（2）要证明平面，只需证明一个包含EF的平面与平面平行即可.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）在四棱锥中，‎ 因为，所以.‎ 又因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，‎ 所以.‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（2）如图，取的中点，连.‎ 在中，因为是棱的中点，‎ 所以.‎ 又平面平面，‎ 所以平面.‎ 在平行四边形中，分别是棱的中点，‎ 所以，所以四边形是平行四边形，‎ 所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ 又平面，所以平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直、线面平行的证明，涉及到线面垂直的判定定理，面面平行性质定理的应用，是一道基础题.‎ ‎20．如图，在直三棱柱中，，，.‎ ‎（1）点在棱上，且，求的长；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）过作的垂线交于，以所在直线为轴，轴，轴建立坐标系，利用及坐标运算即可算出AD的长；‎ ‎（2）易得平面的一个法向量为，再算出平面的一个法向量为，利用计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，在中，过作的垂线交于.‎ 在直三棱锥中，平面，‎ 所以.‎ 分别以所在直线为轴，轴，轴，‎ 建立空间直角坐标系.‎ 因为，‎ 所以.‎ 因为点在棱上，设，则.‎ 因为，所以，解得.‎ 所以.‎ ‎（2）平面的一个法向量为.‎ 又，所以.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得所以.‎ 取，则，‎ 所以平面的一个法向量为.‎ ‎，‎ 所以，‎ 又，从而.‎ 根据图形可知，二面角大小的为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量法求线段长度、二面角大小，考查学生的计算能力，要注意坐标的准确性，是一道中档题.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率.过的直线与椭圆相交于两点，且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点位于第一象限，且，求的外接圆的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由的周长为得，再结合即可解出a，b；‎ ‎（2）设，由得，联立椭圆方程可解得A点坐标，然后再写出直线的方程，联立椭圆方程得到B点坐标即可解决.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为椭圆的离心率，‎ 所以①.‎ 又的周长为，所以.②‎ 联立①②，解得，从而，‎ 因此椭圆的方程为.‎ ‎（2）因为点位于第一象限，故设，其中.‎ 因为，所以，又点在椭圆上，‎ 所以解得，从而.‎ 由（1）知，椭圆的左焦点为，所以直线的方程为．‎ 由得，解得或．‎ 所以.‎ 因为，所以的外接圆就是以为直径的圆.‎ 又椭圆的右焦点为，‎ 所以线段的中点的坐标为，此时，‎ 故的外接圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程及直角三角形的外接圆方程，考查学生运算能力的核心素养，是一道容易题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点的直线交曲线于不同的两点，.‎ ‎①若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①.②‎ ‎【解析】（1）设，利用直接法求曲线的方程；‎ ‎（2）①由已知，分析可知直线的斜率存在且不为零，设，联立抛物线方程，利用韦达定理解决；②将用直线的斜率表示，即，再结合的范围即可解决.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则．‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，即.‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）①若直线的斜率不存在，则与曲线无公共点，因此的斜率存在；‎ 若的斜率为0，则与曲线只有一个公共点，因此的斜率不为0.‎ 设，‎ 由得，于是，解得且．‎ 设，，则.‎ 因为为线段的中点，所以．‎ 又，所以，‎ 因此，所以，符合且，‎ 于是，此时直线的方程为.‎ ‎②因为点，关于轴对称，所以，‎ 于是点到直线的距离为.‎ 因为，所以.‎ 又，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 又因为且，因此，‎ 即面积的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用直接法求曲线方程、直线与抛物线的位置关系，在处理直线与抛物线的位置关系的问题时，通常会利用韦达定理来处理，本题是一道较难的题.‎