专题5-4 数列的综合应用与数学归纳法（理科）-2017年高考数学冲刺专题卷 19页

一、选择题 1．用数学归纳法证明 2 2 1 *11 .... ( 1, ),1 n n aa a a a na          N 在验证 n=1 时，等式左边是（） A.1 B.1 a C. 21 a a  D. 2 31 a a a   【答案】C 【解析】根据数学归纳法的步骤可知，当 1n 时，等式的左边应为 21 aa  ，故选 C. 考点：数学归纳法. 【题型】选择题 【难度】较易 2．用数学归纳法证明 4 2 21 2 3 2 n nn      ，则当 1n k  时，左端应在 n k 的基础上加上（） A． 2 1k  B． 21k  C．    4 21 1 2 k k   D．     22 21 2 1k k k      【答案】D 考点：数学归纳法． 【题型】选择题 【难度】较易 3．用数学归纳法证明  4 1 2 13 5n n n   N 能被 8 整除，当 1n k  时，对于    4 1 1 2 1 13 5k k    可变形为（） A．  4 1 4 1 2 156 3 25 3 5k k k      B． 4 1 2 13 5k k  C． 4 4 1 2 2 13 3 5 5k k    D．  4 1 2 125 3 5k k   【答案】A 【解析】当 1n k  时，      4 1 1 2 1 1 4 4 1 2 1 4 1 4 1 2 13 5 3 4 25 5 56 3 25 3 5k k k k k k k                 ， 两项都能被8 整除，故选 A． 考点：数学归纳法． 【题型】选择题 【难度】较易 4．用数学归纳法证明 1 1 1 21 1 2 1 2 3 1 2 3 1 n n n              时，由 n k 到 1n k  左边需要 添加的项是（） A． 2 ( 2)k k  B． 1 ( 2)k k  C． 1 ( 1)( 2)k k  D． 2 ( 1)( 2)k k  【答案】D 考点：数学归纳法． 【题型】选择题 【难度】较易 5．用数学归纳法证明不等式  1 1 1 1 23+ 21 2 3 2 24 nn n n n         的过程中，由 n k 递推到 1n k  时， 不等式左边（） A．增加了一项 )1(2 1 k B．增加了 )1(2 1 k ，又减少了 1 1 k C．增加了一项 )1(2 1 12 1  kk D．增加了 )1(2 1 12 1  kk ，又减少了 1 1 k 【答案】D 【 解 析 】 当 n k 时 ， 左 边 ＝ 1 1 1 1 2k k k k      ， 当 1n k  时 ， 左 边 ＝ 1 1 ( 1) 1 ( 1) 2k k       1 ( 1) ( 1)k k     1 1 1 1 1 1( )1 2 1 2 1 2 2k k k k k k k             ，故选 D． 考点：数学归纳法． 【题型】选择题 【难度】较易 6．已知数列 na 满足  1 1 11, 2 n n na a a n          N ，则 2017a （） A． 1009 1 2 B． 2016 1 2 C. 2017 1 2 D． 1008 1 2 【答案】D 考点：递推数列求通项，合情推理与演绎推理. 【题型】选择题 【难度】较易 7.数列 na 满足 1 1a  ，对任意的 n N 都有 1 1n na a a n    ，则 1 2 2016 1 1 1...a a a     （） A． 2015 2016 B． 2016 2017 C． 4033 2017 D． 4032 2017 【答案】D 【解析】 1 1n na a a n    ，利用累加法求出数列的通项公式为  1 2n n na  ，则 1 1 12 1na n n      ， 所以 1 2 2016 1 1 1 1 1 1 1 1 4032... 2 1 ...2 2 3 2016 2017 2017a a a               ，故选 D． 考点：递推关系求通项公式，裂项相消法的应用． 【题型】选择题 【难度】较易 8．在 ABC△ 中， 1 1,A B 分别是边 ,BA CB 的中点， 2 2,A B 分别是线段 1 1,A A B B 的中点， , ,n nA B 分别是 线段 * 1 1, ( , 1)n nA A B B n n   N 的中点，设数列{ },{ }n na b 满足：向量 *( )n n n nB A a CA b CB n   N    ，下 列四个命题，其中假命题是（） A．数列{ }na 是单调递增数列，数列{ }nb 是单调递减数列 B．数列{ + }n na b 是等比数列 C.数列{ }n n a b 有最小值，无最大值 D．若 ABC△ 中， 90C   ，CA CB ，则| |n nB A  最小时， 1 2n na b  【答案】C 考点：向量的线性运算，数列的性质. 【题型】选择题 【难度】一般 9．定义：    , 0, 0xF x y y x y   ，已知数列 na 满足：      ,2 2,n F na nF n   N ，若对任意正整数 n ， 都有  n ka a k   N 成立，则 ka 的值为（） A. 1 2 B. 2 C. 8 9 D. 9 8 【答案】C 【解析】依题意得 2 2n na n  ，   1 1 2 2 1 n na n     ，两式相除得   2 1 2 2 1 n n a n a n    ，    2 222 1 1 2n n n     ， 当 3n  时， 1n na a  ；当 2n  时， 1n na a  ，所以 3 8 9ka a  . 考点：数列与函数，恒成立问题. 【题型】选择题 【难度】一般 10．数列 na 的各项均为正数，前 n 项和为 nS ，若 1 1a  ， 1 1 1 n n n S S a    ，则 50a  （） A． 5 2 6 B． 5 2 7 C． 2 6 D．5 2 【答案】B 考点：递推公式及归纳推理. 【题型】选择题 【难度】一般 11 ． 已 知 数 列  na 满 足   1 11, ,n na P a a n    N 在 直 线 1 0x y   上 ， 如 果 函 数     1 2 1 1 1... , 2 n f n n nn a n a n a         N ，则函数  f n 的最小值为（） A. 1 3 B. 1 4 C. 7 12 D. 5 12 【答案】C 【解析】将 P 的坐标代入直线方程，有 1 1n na a   ，所以 na 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 na n ， 故   1 1 1...1 2f n n n n n       ，   1 1 11 ...2 3 2f n n n n n         ，    1f n f n   1 1 1 1 1 1 01 2 1 2 2 2 2 1n n n n n n n n              ，所以  f n 单调递增，故最小值为   72 12f  . 考点：数列与函数结合求最值. 【题型】选择题 【难度】一般 12．已知数列{ }na 的前 n 项和 nS 满足 2 1n nS a  ．若对任意正整数 n 都有 1 0n nS S    恒成立，则实数  的取值范围为（） A． 1  B． 1 2   C． 1 3   D． 1 4   【答案】C 【解析】当 1n  时， 1 1 12 1 1,a a a    当 2n  时， 1 1 1 2 2 2n n n n n n n aa S S a a a          数列 { }na 是 等 比 数 列 ， 1 1 2 12 1 (2 1) (2 1) 0 2 1 n n n n n nS              1 1 1 1 2 1 1 1 1(1 )2 2 1 2 2 1 n n n         1 1 1 1 1(1 )2 2 1 3   ，故选 C． 考点：数列及其性质，数列与不等式． 【题型】选择题 【难度】一般 13．用数学归纳法证明： 2 1 2 1n nx y  （ n N ）能被 x y 整除．从假设 n k 成立到 1n k  成立时， 被整除式应为( ) A. 2 3 2 3k kx y  B. 2 2 2 2k kx y  C. 2 1 2 1k kx y  D. 2 2k kx y 【答案】C 【题型】选择题 【难度】一般 二、填空题 14 ． 已 知    *1 1 11 2 3f n nn       N ， 用 数 学 归 纳 法 证 明  2 2 n nf  时 ，    12 2k kf f   __________． 【答案】 1 1 1 1 2 1 2 2 2k k k     【解析】n k 时， 1 1 1(2 ) 1 2 3 2 k kf      ，当 1n k  时， 1 1 1 1 1(2 ) 1 2 3 2 2 1 k k kf           1 1 2k ，所以    12 2k kf f   1 1 1 1 1 1 1 1 11 (1 )2 3 2 2 1 2 2 3 2k k k k              1 1 1 1 2 1 2 2 2k k k      ． 考点：数学归纳法． 【题型】填空题 【难度】一般 15．数列 na 定义如下：   1 2 2 1 2 11, 3, , 1, 2,2 2n n n n na a a a a nn n         ，若 20164 2017na   ，则 正整数 m 的最小值为___________． 【答案】8069 考点：等差数列的定义及通项公式等有关知识的运用． 【题型】填空题 【难度】一般 16．已知数列 na 的前 n 项和为 nS 满足 3 1 3 2 n  naS ，则 na 的通项公式为． 【答案】 1( 2)n na   【解析】当 1n  时， 1 1 1 1 2 1 , 13 3a S a a     ，当 2n  时， 1 1 1 2 2 , 23 3n n n n n n na S S a a a a         ， 所以数列 na 为等比数列，公比为 2 ，首项为 1 1a  ，所以通项公式为 1( 2)n na   . 考点：数列求通项公式. 【题型】填空题 【难度】一般 17．设 nS 为数列 na 的前 n 项和，且满足   11 2 n n n nS a   ，则 2a  ， 1 3 5 2017S S S S     . 【答案】 1 4 ； 2018 1 1 13 2 （ ） 【解析】 nn n n aS 2 1)1(  ，当 1n 时， 2 1)1( 11  aa ，得 1 1 4a   . 当 2n 时， 1 1 1 1 1 1( 1) ( 1)2 2 n n n n n n nn na S S a a           ，即 nn n n n n aaa 2 1)1()1( 1   ，若 n 为偶数，则 1 1 ( 2)2n na n    ， 12 1  nna （ n 为正奇数）； 1 3 2017 1 3 2017 3 2017 1 1 1( ) ( )2 2 2S S S a a a             )2 1 2 1 2 1()2 1 2 1 2 1( 20173201842   1009 1009 2018 2018 2018 1 1 1 11 1 1 1 2 1 1 14 4 2 4 1 1 11 1 3 2 3 2 3 21 14 4             （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）. 考点：数列的奇偶性，数列求和. 【题型】填空题 【难度】一般 18．若数列 na 与{ }nb 满足     1 1 1 3 11 1, ,2 n n n n n n nb a b a b n            N ，且 1 2a  ，设数列 na 的 前 n 项和为 nS ，则 63S  __________. 【答案】 560 考点：递推数列求前 n 项和. 【题型】填空题 【难度】一般 三、解答题 19．在数列 }{ na 中，已知 )2(1  aaa ，且 2 * 1 ( )2( 1) n n n aa na   N . （1）用数学归纳法证明： *2( )na n  N ； （2）求证： * 1 ( )n na a n   N ． 【答案】见解析 考点：数学归纳法． 【题型】解答题 【难度】一般 20．当 n N*Î 时， 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2nS n n        ， 1 1 1 1 .1 2 3 2nT n n n n        L （1）求 1 2 1 2, , ,S S T T ； （2）猜想 nS 与 nT 的关系，并用数学归纳法证明． 【答案】（1） 1 2 1 2 1 7 1 7, , ,2 12 2 12S S T T    （2）详见解析 【解析】（1） ， ， ， . （2）猜想： ，即 下面用数学归纳法证明：① 1n  时， 1 1S T= 成立； ②假设 n k 时，  1,k kS T k k    N ， 即 则 ，即 1n k  时， 1 1k kS T  ， 由①，②可知，对任意 n N ， 都成立． 考点：数学归纳法． 【题型】解答题 【难度】一般 21．设不等式组 0, 0, 3 x y y nx n        所表示的平面区域为 nD ，记 nD 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数 的点）个数为   *f n n N ． （1）求    1 , 2f f 的值及  f n 的表达式； （2）记数列   f n 的前 n 项和为 nS ，若 nS n 对任意正整数 n 恒成立，求  的取值范围． 【答案】（1）    1 3, 2 6f f  ，   3f n n （2） 3  考点：可行域，数列的通项公式，数列的前 n 项和. 【题型】解答题 【难度】一般 22．已知数列 na 中， 1 1a  ，且点   * 1,n nP a a n N 在直线 1 0x y   上． (1)求数列 na 的通项公式； (2)若函数   1 2 3 1 2 3 n nf n n a n a n a n a         … （ nN ，且 2n  ），求函数  f n 的最小值； (3) 设 1 n n b a  ， nS 表 示 数 列  nb 的 前 n 项 和 ， 试 问 ： 是 否 存 在 关 于 n 的 整 式  g n ， 使 得 1 2 3S S S   …    1 1n nS S g n    对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在，写出  g n 的解析式， 并加以证明；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) na n (2) 5 6 (3) nng )( ，证明见解析 考点：函数与数列综合. 【题型】解答题 【难度】一般 23．设数列 na 的前 n 项之积为 nT ，且   * 2 1log ,2n n nT n   N ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设  *1n nb a n   N ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ．若对任意的 *nN ，总有 1n nS S  ，求实数  的取值范围． 【答案】(1) 12  n na (2) 2 1 考点：等比数列的通项公式和性质，等比数列求和. 【题型】解答题 【难度】一般 24．已知数列{ }na 的前 n 项和 3 1 2 n nS  ，令 9 1logn nb a  . （1）求数列{ }nb 的通项公式； （2）若数列{ }nb 的前 n 项和为 nT ，数列 1{ } nT 的前 n 项和为 nH ，求 2017H . 【答案】（1） 2n nb  （2） 4034 1009 【解析】(1)当 1n  时， 1 1 3 1 12a S    ； 当 2n  时， 1 1 1 3 1 3 1 32 n n n n n na S S          . 显然 1 1a  也满足比式，所以{ }na 的通项公式为 13n na  . 于是 9 1 9log log 3 2 n n n nb a    ，即{ }nb 的通项公式为 2n nb  . 所以 1 ( 1)(1+2+ + )2 4n n nT n  … ，则 1 4 1 14( )( 1) 1nT n n n n     . 于是 1 1 1 1 1 1 1 1 44(1 ) 4 1 )2 2 3 3 4 1 1 1n nH n n n n               … （ ， 则 2017 4 2017 4034 2018 1009H   . 考点：数列的通项公式，数列求和. 【题型】解答题 【难度】一般 25 ． 对 于 数 列    , ,n n na b S 为 数 列  na 的 前 n 项 和 ， 且  1 1n n nS n S a n      ， 1 1 1a b  ， 1 3 2,n nb b n      N . （1）求数列 na 、 nb 的通项公式； （2）令     2 1 n n n a nc n b   ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 【答案】（1） 2 na n ， 12 3 1n nb    （2） 1 15 2 5 4 4 3n n nT     考点：递推数列求通项，错位相减法. 【题型】解答题 【难度】一般 26．数列 na 的前 n 项和为 nS ，且    1 1nS n n n     N . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nb 满足： 31 2 2 33 1 3 1 3 1 3 1 n n n b bb ba         ，求数列 nb 的通项公式. 【答案】(1)     1 1 2 2n n a n n    (2)      4 1 30( 2) 2 3 1 3 n n n b n n       考点：数列 na 的前 n 项和 nS 与通项 na 之间的关系及数列递推式之间的关系等有关知识的综合运用. 【题型】解答题 【难度】一般 27．在数列 na 中， 1 1a  且  1 1 1n na a n n    . （1）求出 2a ， 3a ， 4a ； （2）归纳出数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论． 【答案】（1） 2 3 2a  ， 3 5 3a  ， 4 7 4a  （2） 2 1 n na n  考点：数列的项，数学归纳法． 【题型】解答题 【难度】一般 28．在各项为正的数列 na 中，数列的前 n 项和 nS 满足 1 1 2n n n S a a       ． （1）求 1 2 3, ,a a a ； （2）由（1）猜想数列 na 的通项公式，并用数字归纳法证明． 【答案】（1） 1 2 31, 2 1, 3 2a a a     （2） 1na n n   （ n   ），证明见解析 【解析】（1）易得 1 2 31, 2 1, 3 2a a a     . （2）猜想  *1na n n n    N ， 证明：①当 1n  时， 1 1 0 1a    ，命题成立； ②假设 n k 时， 1ka k k   成立， 则 1n k  时， 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2k k k k k k k a S S a aa a                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 21k k k k a k k a ka ak k                          ， 所以 2 1 12 1 0k ka ka    ，∴ 1 1ka k k    ． 即 1n k  时，命题成立．由①②知， *nN 时， 1na n n   . 考点：数学归纳法的应用． 【题型】解答题 【难度】一般 29．数列 na 满足 1 1 6a  ，前 n 项和 ( 1) 2n n n nS a ． （1）写出 2 3 4, ,a a a ； （2）猜出 na 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1） 2 1 12a  ， 3 1 20a  ， 4 1 30a  （2） 1 ( 1)( 2)na n n    ，证明见解析 ∴ 1 1 ( 1)( 2) 2( 2) 2k k k k ka ak      ， ∴ 1 12( 2) ( 1)( 2) ( 3)( 2) ( 2)( 3)12 k k kka k k k k k k k         ． 当 1n k  时结论成立．由①②可知，对一切 n N 都有 1 ( 1)( 2)na n n    ． 考点：数列的递推式，数学归纳法． 【题型】解答题 【难度】一般 30．设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且对任意的 n N 都有 2n nS a n  ， （1）求数列{ }na 的前三项 1 2 3 4, ,a a a a； （2）猜想数列{ }na 的通项公式 na ，并用数学归纳法证明； （3）求证：对任意 n N 都有 2 1 3 2 4 3 1 1 1 1 1 1 n na a a a a a a a         ． 【答案】（1） 1 1a  ， 2 3a  ， 3 7a  （2） 2 1n na   ，证明过程详见解析（3）过程详见解析 考点：求数列的项，归纳猜想数列通项公式并用归纳法证明，数列不等式的证明． 【题型】解答题 【难度】一般