数学卷·2018届上海市静安区高三上学期期末教学质量监控（2017 8页

虹口区2017-2018学年度第一学期教学质量监控测试 高三数学　试卷　　 　 ‎ ‎（时间120分钟，满分150分） 2017.12‎ 一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）‎ ‎1．函数的定义域是 ．‎ ‎2．已知是定义在上的奇函数，则 ．‎ ‎3．首项和公比均为的等比数列，是它的前项和，则 ．‎ ‎4．在中，所对的边分别是，若，则 ． ‎ ‎5．已知复数满足，则范围是 ． ‎ ‎6．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ．‎ ‎7．已知、是三棱锥的棱，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则等于________.‎ ‎8．在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 ．‎ ‎9．已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形，则 的面积等于__________．‎ ‎10．设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则________.‎ ‎11．在中，是的中点，点列在直线上，且满足，若，则数列的通项公式 ． ‎ ‎12．设，其中，，如果函数与函数 都有零点且它们的零点完全相同，则为 ．‎ 二．选择题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13．异面直线和所成的角为，则的范围是（ ）‎ ‎ 　　 　　 　　 ‎ ‎14．命题：“若，则”的逆否命题为（ ）‎ 若，则或 若，则或 ‎ 若，则且 若，则且 ‎15．已知函数，则（ ）．‎ ‎ ‎ ‎16．已知中，，，．在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（本大题满分76分）‎ ‎17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）‎ 如图，在三棱锥中，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线和平面所成的角的大小．‎ ‎18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）‎ 已知函数，其中，，且此函数的最小正周期等于．‎ ‎（1）求的值，并写出此函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求此函数在的最大值和最小值．‎ ‎19．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）‎ 如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边，紧靠两条互相垂直的路上．现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和．‎ ‎（1）设（），将的面积表示为的函数；‎ ‎（2）求的面积（）的最小值．‎ ‎20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.）‎ 已知平面内的定点到定直线的距离等于，动圆过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．在曲线上任取一点，过作的垂线，垂足为.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程； ‎ ‎（2）记点到直线的距离为，且，求的取值范围；‎ ‎（3）判断的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．‎ ‎21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分.）‎ 已知无穷数列的各项均为正数，其前项和为，.‎ ‎（1）如果，且对于一切正整数，均有，求；‎ ‎（2）如果对于一切正整数，均有，求；‎ ‎（3）如果对于一切正整数，均有，证明：能被8整除．‎ 虹口区2017学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试题答案 一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）‎ ‎1、； 2、0； 3、1； 4、； 5、； 6、18； 7、； ‎ ‎8、； 9、； 10、4； 11、； 12、，； ‎ 二、选择题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13、； 14、； 15、； 16、；‎ 三、解答题（本大题满分76分）‎ ‎17、（14分）解:（1）为等边三角形，为的中点，．………………2分 ‎ 又，，且，平面．…………4分 又在平面内，所以．…………6分 ‎，且，，平面．…………7分 ‎（2）连结．由（1）知平面，是直线和平面所成的角．…9分 为等边三角形，.‎ 为等腰直角三角形，且，．‎ ‎，， ．……13分 直线和平面所成的角的大小等于．………………14分 ‎18、（14分）解：（1）‎ ‎……………………3分 ‎ 由，且，．………………4分 由，解得，单调递增区间为．……………………7分 ‎（2）由，得.‎ ‎，即时，取得最大值2．…………11分 ‎，即时，取得最小值．…………14分 ‎19、（16分）解：（1）∽，．又，，，，．………………………5分 ‎………………7分 ‎（2）设 ‎……………………………10分 当且仅当即时，取得最小值4．……………………………14分 ‎20、（16分）解：（1）过点与垂直的直线为轴，轴与直线的交点为点，以的中点为原点建立直角坐标系．‎ 设，到定点与到定直线的距离相等，‎ ‎ ‎ 化简得：…………………………………………4分 ‎（2）设 ‎……………………6分 ‎……8分 ‎， ,‎ ‎．……………………10分 ‎（3）设，.‎ 由，得的平分线所在的直线方程就是边上的高所在的直线方程．……………………12分 的平分线所在的直线方程为．‎ 由，消得．‎ ‎，．‎ 的平分线所在的直线与曲线有且只有一个交点．………………16分 ‎21、（18分）解：(1) 数列的各项均为正数，由，得，‎ 数列是等比数列，公比，从而．………4分 ‎(2) 由得，两式相减得，‎ 此数列各均为正数，，数列和数列均是公差为1的等差数列．由，得．……………………6分 当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ ‎．…………………………11分 ‎(3) 由得，两式相减得.‎ ‎，得，．‎ 以下证明：对于，被8除余数为4， 被8整除，被8除余数为4.…………13分 当时，，，，命题正确．‎ 假设时，命题正确，即，，其中，．‎ 那么，，为正整数，被8除余数为4．‎ ‎．‎ 为正整数，能被８整除．‎ ‎ ‎ ‎ ．为正整数，被8除余数为4．‎ 即时，命题也正确．‎ 从而证得，对于一切正整数，能被８整除．………………18分