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  • 2021-06-23 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第九章 2 第2讲 两直线的位置关系

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‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·富阳市场口中学高三质检)已知直线l1:x+ay+1=0与直线l2:y=x+2垂直,则a的值是(  )‎ A.2            B.-2‎ C. D.- 解析:选C.因为直线l2的斜率为,直线l1:x+ay+1=0与直线l2:y=x+2垂直,‎ 所以直线l1的斜率等于-2,即=-2,‎ 所以a=,故选C.‎ ‎2.(2020·金华十校联考)“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B.点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3等价于=3,解得C=5或C=-25,所以“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充分不必要条件,故选B.‎ ‎3.(2020·义乌模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(  )‎ A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0‎ C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0‎ 解析:选D.由题意得直线x-2y+1=0与直线x=1的交点坐标为(1,1).‎ 又直线x-2y+1=0上的点(-1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式,得=,即x+2y-3=0.‎ ‎4.已知点A(-1,2),B(3,4),P是x轴上一点,且|PA|=|PB|,则△PAB的面积为(  )‎ A.15 B. C.6 D. 解析:选D.设AB的中点坐标为M(1,3),‎ kAB==,‎ 所以AB的中垂线方程为y-3=-2(x-1).‎ 即2x+y-5=0.‎ 令y=0,则x=,即P点的坐标为,‎ ‎|AB|==2.‎ P到AB的距离为|PM|==.‎ 所以S△PAB=|AB|·|PM|=×2×=.‎ ‎5.已知点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示(  )‎ A.过点P且与l垂直的直线 B.过点P且与l平行的直线 C.不过点P且与l垂直的直线 D.不过点P且与l平行的直线 解析:选D.因为点P(x0,y0)不在直线Ax+By+C=0上,所以Ax0+By0+C≠0,所以直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0不经过点P,排除A、B;又直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0与直线l:Ax+By+C=0平行,排除C,故选D.‎ ‎6.两条平行线l1,l2分别过点P(-1,2),Q(2,-3),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间距离的取值范围是(  )‎ A.(5,+∞) B.(0,5]‎ C.(,+∞) D.(0, ]‎ 解析:选D.当PQ与平行线l1,l2垂直时,|PQ|为平行线l1,l2间的距离的最大值,为=,所以l1,l2之间距离的取值范围是(0, ].故选D.‎ ‎7.已知坐标平面内两点A(x,-x)和B,那么这两点之间距离的最小值是________.‎ 解析:由题意可得两点间的距离d=‎ =≥,即最小值为.‎ 答案: ‎8.直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称,则b=________.‎ 解析:在直线x+2y-3=0上取两点P1(1,1)、P2(3,0),‎ 则P1、P2关于点A的对称点P′1、P′2都在直线ax+4y+b=0上.因为易知P′1(1,-1)、P′2(-1,0),‎ 所以所以b=2.‎ 答案:2‎ ‎9.(2020·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=________.‎ 解析:由题可知纸的折痕垂直平分点(0,2)与点(4,0)的连线,可得折痕所在直线为y=2x-3,又折痕也垂直平分点(7,3)与点(m,n)的连线,于是 解得所以m+n=.‎ 答案: ‎10.(2020·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R,若点M(x,y)为直线l1:my=-x和l2:mx=y+m-3的交点,l1和l2分别过定点A和B,则|MA|·|MB|的最大值为________.‎ 解析:动直线l1:my=-x过定点A(0,0),‎ 动直线l2:mx=y+m-3化为m(x-1)-(y-3)=0,得x=1,y=3,过定点B(1,3).‎ 因为此两条直线互相垂直,‎ 所以|MA|2+|BM|2=|AB|2=10,‎ 所以10≥2|MA|·|MB|,‎ 所以|MA|·|BM|≤5,‎ 当且仅当|MA|=|MB|时取等号.‎ 答案:5‎ ‎11.已知直线l1:x+a2y+1=0和直线l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R).‎ ‎(1)若l1∥l2,求b的取值范围;‎ ‎(2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.‎ 解:(1)因为l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0,‎ 即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-+,‎ 因为a2≥0,所以b≤0.‎ 又因为a2+1≠3,所以b≠-6.‎ 故b的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0].‎ ‎(2)因为l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0,‎ 显然a≠0,所以ab=a+,|ab|=≥2,‎ 当且仅当a=±1时等号成立,因此|ab|的最小值为2.‎ ‎12.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点P.‎ ‎(1)点A(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程;‎ ‎(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值.‎ 解:(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,‎ 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,‎ 所以=3,解得λ=或λ=2.‎ 所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0.‎ ‎(2)由 解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到直线l的距离,‎ 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).‎ 所以dmax=|PA|=.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·温州八校联考)已知M=,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=∅,则a=(  )‎ A.-6或-2 B.-6‎ C.2或-6 D.-2‎ 解析:选A.集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0,因为M∩N=∅,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).因此=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.‎ ‎2.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(  )‎ A., B., C., D., 解析:选A.由题意知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,所以ab=c,a+b=-1.‎ 又直线x+y+a=0,x+y+b=0的距离d=,‎ 所以d2====-2c,‎ 而0≤c≤,所以-2×≤-2c≤-2×0,得≤-2c≤,所以≤d≤.‎ ‎3.(2020·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是________.‎ 解析:由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1:y=k(x-3)+5+b,再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,即y=kx+3-4k+b.所以b=3-4k+b,解得k=.所以直线l的方程为y=x+b,直线l1为y=x++b,设直线l上的一点P,则点P关于点(2,3)的对称点为,所以6-b-m=(4-m)+b+,解得b=.所以直线l的方程是y=x+,即6x-8y+1=0.‎ 答案:6x-8y+1=0‎ ‎4.(2020·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为________.‎ 解析:因为f(x)=+=+,所以f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B(-1,3)的距离之和,设点A(-2,4)关于x轴的对称点为A′,则A′为(-2,-4).‎ 要求f(x)的最小值,可转化为|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|≥|A′B|==5,即f(x)=+的最小值为5.‎ 答案:5 ‎5.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.‎ ‎(1)证明:l1与l2相交;‎ ‎(2)证明:l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.‎ 证明:(1)反证法.假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k+2=0.‎ 此与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.‎ ‎(2)由方程组 解得交点P的坐标(x,y)为 而2x2+y2=2+==1.‎ 即P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P,使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)因为点B与A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).‎ 设点P的坐标为(x,y).‎ 由题意,得·=-,‎ 化简,得x2+3y2=4(x≠±1).‎ 故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).‎ ‎(2)法一:设点P的坐标为(x0,y0),点M,N的坐标分别为(3,yM),(3,yN).‎ 则直线AP的方程为y-1=(x+1),‎ 直线BP的方程为y+1=(x-1).‎ 令x=3,得yM=,yN=.‎ 于是△PMN的面积 S△PMN=|yM-yN|(3-x0)=.‎ 又直线AB的方程为x+y=0,|AB|=2,‎ 点P到直线AB的距离d=.‎ 于是△PAB的面积 S△PAB=|AB|·d=|x0+y0|.‎ 当S△PAB=S△PMN时,‎ 得|x0+y0|=.‎ 又|x0+y0|≠0.‎ 所以(3-x0)2=|x-1|,解得x0=.‎ 因为x+3y=4,所以y0=±.‎ 故存在点P,使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.‎ 法二:若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,设点P的坐标为(x0,y0),‎ 则|PA|·|PB|sin∠APB=|PM|·|PN|·sin∠MPN.‎ 因为sin∠APB=sin∠MPN,‎ 所以=,所以=,‎ 即(3-x0)2=|x-1|,解得x0=.‎ 因为x+3y=4,所以y0=±.‎ 故存在点P,使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.‎

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