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- 2021-06-23 发布
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- 1 -
微专题 1 命题形式变化及真假判定
一、基础知识:
(一)命题结构变换
1、四类命题间的互化:设原命题为“若 ,则 ”的形式,则
(1)否命题:“若 ,则 ”
(2)逆命题:“若 ,则 ”
(3)逆否命题:“若 ,则 ”
2、 ,
(1)用“或”字连接的两个命题(或条件),表示两个命题(或条件)中至少有一个成立即
可,记为
(2)用“且”字连接的两个命题(或条件),表示两个命题(或条件)要同时成立,记为
3、命题的否定 :命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字,对于不同形式的
命题也有不同的方法
(1)一些常用词的“否定”:是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有
至多 个→至少 个 小于→大于等于
(2)含有逻辑联结词的否定:逻辑联接词对应改变,同时 均变为 :
或 → 且 且 → 或
(3)全称命题与存在性命题的否定
全称命题:
存在性命题:
规律为:两变一不变
① 两变:量词对应发生变化( ),条件 要进行否定
② 一不变: 所属的原集合 的不变化
(二)命题真假的判断:判断命题真假需要借助所学过的数学知识,但在一组有关系的命题
中,真假性也存在一定的关联。
p q
p q
q p
q p
p q p q
p q
p q
p
n 1n
,p q ,p q
p q p q p q p q
: , : , ( )p x M p x p x M p x
: , : , ( )p x M p x p x M p x
p x p x
x M
- 2 -
1、四类命题:原命题与逆否命题真假性相同,同理,逆命题与否命题互为逆否命题,所以真
假性也相同。而原命题与逆命题,原命题与否命题真假没有关联
2、 , ,如下列真值表所示:
或
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假”
3、 :与命题 真假相反。
4、全称命题:
真:要证明每一个 中的元素均可使命题成立
假:只需举出一个反例即可
5、存在性命题:
真:只需在 举出一个使命题成立的元素即可
假:要证明 中所有的元素均不能使命题成立
二、典型例题
例 1:命题“若方程 的两根均大于 ,则 ”的逆否命题是( )
A. “若 ,则方程 的两根均大于 ”
B. “若方程 的两根均不大于 ,则 ”
C. “若 ,则方程 的两根均不大于 ”
D. “若 ,则方程 的两根不全大于 ”
思路:所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换,“ ”的对立面是
“ ”,“均大于 ”的对立面是“不全大于 0”(注意不是:都不大于 0),再调换顺序即
可,D 选项正确
且
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q p q
p q p q
p p
M
M
M
2 0ax bx c 0 0ac
0ac 2 0ax bx c 0
2 0ax bx c 0 0ac
0ac 2 0ax bx c 0
0ac 2 0ax bx c 0
0ac
0ac 0
p q p q
- 3 -
答案:D
例 2:命题“存在 ”的否定是( )
A. 存在 B.不存在
C. 对任意 D.对任意
思 路 : 存 在 性 命 题 的 否 定 : 要 将 量 词 变 为 “ 任 意 ”, 语 句 对 应 变 化
,但 所在集合不变。所以变化后的命题为:“对任意
”
答案:D
例 3:给出下列三个结论
(1)若命题 为假命题,命题 为假命题,则命题“ ”为假命题
(2)命题“若 ,则 或 ”的否命题为“若 ,则 或 ”
(3)命题“ ”的否定是“ ”,则以上结论正确的个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
思路:(1)中要判断 的真假,则需要判断 各自的真值情况, 为假命题,则
为真命题,所以 一假一真, 为真命题,(1)错误
(2)“若……,则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定,而(2)中对“ 或
”的否定应该为“ 且 ”,所以(2)错误
(3)全称命题的否定,要改变量词和语句,且 的范围不变。而(3)的改写符合要求,所以
(3)正确
综上只有(3)是正确的
答案:C
例 4 :有下列四个命题
① “若 ,则 互为相反数”的逆命题
② “全等三角形的面积相等”的否命题
③ “若 ,则 有实根”的逆否命题
2, 2 0x Z x x m
2, 2 0x Z x x m 2, 2 0x Z x x m
2, 2 0x Z x x m 2, 2 0x Z x x m
2 22 0 2 0x x m x x m x
2, 2 0x Z x x m
p q p q
0xy 0x 0y 0xy 0x 0y
,2 0xx R ,2 0xx R
p q ,p q q q
,p q p q
0x
0y 0x 0y
x
0x y ,x y
1q 2 2 0x x q
- 4 -
④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题
其中真命题为( )
A. ①② B.②③ C. ①③ D. ③④
思路:①中的逆命题为“若 互为相反数,则 ”,为真命题。②中的否命题为“如
果两个三角形不是全等三角形,则它们的面积不相等”,为假命题(同底等高即可)。③中若
要判断逆否命题的真假,则只需判断原命题即可。 时,判别式 ,故方程
有实根。所以原命题为真命题,进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三
角形三个内角相等,则它为不等边三角形”显然是假命题。综上,①③正确
答案:C
小炼有话说:在判断四类命题的真假时,如果在写命题或判断真假上不好处理,则可以考虑
其对应的逆否命题,然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解
例 5:下列命题中正确的是( )
A. 命题“ ,使得 ”的否定是“ ,均有 ”
B. 命题“若 ,则 ”的否命题是“若 ,则 ”
C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”,该命题是假命题
D. 命题“若 ,则 ”的逆否命题是真命题
思路:分别判断 4 个选项的情况,A 选项命题的否定应为“ ,均有 ”,B 选
型否命题的形式是正确的,即条件结论均否定。C 选项的命题是正确的,菱形即满足条件,D
选项由原命题与逆否命题真假相同,从而可判断原命题的真假,原命题是假的,例如终边相
同的角余弦值相同,所以逆否命题也为假命题。D 错误
答案:B
例 6:如果命题“ 且 ”是假命题,“ ”也是假命题,则( )
A. 命题“ 或 ”是假命题 B. 命题“ 或 ”是假命题
C. 命题“ 且 ”是真命题 D. 命题“ 且 ”是真命题
思路:涉及到“或”命题与“且”命题的真假,在判断或利用条件时通常先判断每个命题的
真假,再根据真值表进行判断。题目中以 为入手点,可得 是真命题,而因为 且 是假
,x y 0x y
1q 4 4 0q
x R 2 1 0x x R 2 1 0x
3x 2 2 3 0x x 3x 2 2 3 0x x
cos cosx y x y
x R 2 1 0x
p q q
p q p q
p q p q
q q p q
- 5 -
命题,所以 只能是假命题。进而 是真命题。由此可判断出各个选项的真假:只有 C 的判
断是正确的
答案:C
例 7 :已知命题 :若 ,则 ;命题 :若 ,则 ,在命题①
;② ;③ ;④ 中,真命题是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
思路:可先判断出 的真假,从而确定出复合命题的情况。命题 符合不等式性质,正确,
而 命题是错的。所以①是假的,②是真的,③④中,因为 为假, 为真,所以③正确,④
不正确。综上可确定选项 D 正确
答案:D
例 8:下列 4 个命题中,其中的真命题是( )
A. B. C. D.
思 路 : 为 存 在 性 命 题 , 所 以 只 要 找 到 符 合 条 件 的 即 可 。 可 作 出
的 图 像 , 通 过 观 察 发 现 找 不 到 符 合 条 件 的 ; 同 样 作 图 可 得
, 所 以 正 确 ; 通 过 作 图 可 发 现 图 像 中 有 一 部 分
, 所 以 错 误 ; 在 中 , 可 得 当 时 ,
, 所 以 , 正 确 。 综 上 可 得 :
正确
答案:D
小炼有话说:(1)在判断存在性命题与全称命题的真假,可通过找例子(正例或反例)来进
p p
p x y x y q x y 2 2x y
p q p q p q p q
,p q p
q p q
1
1 1: 0, , 2 3
x x
p x
2 1 1
2 3
: 0,1 ,log logp x x x
3 1
2
1: 0, , log2
x
p x x 4 1
3
1 1: 0, , log3 2
x
p x x
1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p
1 2,p p x 1p
1 1,2 3
x x
y y
x 2p
1 1
2 3
0,1 ,log logx x x 2p 3p
1
2
1 log2
x
x 3p 4p 10, 3x
0
1 1
3 3
1 1 11,log log 12 2 3
x
x 1
3
1 1 log2
x
x 4p
2 4,p p
- 6 -
行简单的判断,如果找不到合适的例子,则要尝试利用常规方法证明或判定
(2)本题考察了指对数比较大小,要选择正确的方法(中间桥梁,函数性质,数形结合)进
行处理,例如本题中 运用的数形结合,而 通过选择中间量判断。
例 9:已知命题 ,命题 ,若 为假命
题,则实数 的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
思 路 : 因 为 为 假 命 题 , 所 以 可 得 均 为 假 命 题 。 则 为 真 命 题 。
。解决这两个不等式能成立与恒成立问
题即可。
解: 为假命题
均为假命题
为真命题
对于
当 时,
对于 ,设 ,由图像可知:若 成立,则
,解得: 或
所以综上所述:
小炼有话说:因为我们平日做题都是以真命题为前提处理,所以在逻辑中遇到已知条件是假
命题时,可以考虑先写出命题的否定,根据真值表得到命题的否定为真,从而就转化为熟悉
的形式以便于求解
例 10:设命题 函数 的定义域为 ;命题 ,不等
式 恒成立,如果命题“ ”为真命题,且“ ”为假命题,求
实数 的取值范围
思路:由“ ”为真命题可得 至少有一个为真,由“ ”为假命题可得 至少
1 2 3, ,p p p 4p
2
0 0: , 1 0p x R mx 2: , 1 0q x R x mx p q
m
2 2m 2m 2m 2m 2m
p q ,p q ,p q
2 2: , 1 0; : , 1 0p x R mx q x R x mx
p q
,p q 2 2: , 1 0; : , 1 0p x R mx q x R x mx
,p q
2: , 1 0p x R mx
2
2
11 0mx m x
x R 2
1 0x 0m
2: , 1 0q x R x mx 2 1f x x mx q
2 4 0m 2m 2m
2m
:p 2 2lg 4f x x x a R : 1,1q m
2 25 3 8a a m p q p q
a
p q ,p q p q ,p q
- 7 -
有一个为假。两种情况同时存在时,只能说明 是一真一假。所以分为 假 真与 真
假进行讨论即可
解: 命题“ ”为真命题,且“ ”为假命题
一真一假
若 假 真,则 函数 的定义域不为
恒成立
或
若 真 假,则 函数 的定义域为
或
,不等式
解得
综上所述:
三、近年模拟题题目精选:
1、(2014 河南高三模拟,9)已知命题 ,命题 ,
则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
2、(2014,岳阳一中,3)下列有关命题的叙述:
① 若 为真命题,则 为真命题
② “ ”是“ ”的充分不必要条件
③ 命题 ,使得 ,则 ,使得
,p q p q p q
p q p q
,p q
p q :p 2 2lg 4f x x x a R
216 4 0 2 2a a
2 2: 5 3 8q a a m
2 2
max
5 3 8 3a a m
2 5 6 0 1a a a 6a
2 1a
p q :p 2 2lg 4f x x x a R
216 4 0 2a a 2a
: 1,1q m 2 25 3 8a a m
2 2
max
5 3 8 3a a m 1 6a
2 6a
2, 1 2,6a
: ,ln 2 0p x R x x 2: ,2xq x R x
p q p q p q p q
p q p q
5x 2 4 5 0x x
:p x R 2 1 0x x :p x R 2 1 0x x
- 8 -
④ 命题:“若 ,则 或 ”的逆否命题为:“若 或 ,则
”
其中错误命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3 、( 2014 成 都 七 中 三 月 模 拟 , 4 ) 已 知 命 题 , 命 题
,则( )
A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题
C. 命题 是假命题 D. 命题 是真命题
4、(2014 新津中学三月月考,6)已知命题“ ,使得 ”是假命
题,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、(2014 新课标全国卷 I)不等式组: 的解集记为 ,有下面四个命题:
其中真命题是( )
A. B. C. D.
2 3 2 0x x 1x 2x 1x 2x
2 3 2 0x x
: ,2 xp x R x e
2: ,log ( 1) 0aq a R a
p q p q
p q p q
x R 2 12 1 02x a x
a
, 1 3, 1,3 3,1
1
2 4
x y
x y
D
1 : , , 2 2p x y D x y 2 : , , 2 2p x y D x y
3 : , , 2 3p x y D x y 4 : , , 2 1p x y D x y
2 3,p p 1 2,p p 1 4,p p 1 3,p p
- 9 -
习题答案:
1、答案:C
解析:分别判断 真假,令 ,可得 由零点存在性定理
可知 ,使得 , 为真;通过作图可判断出当 时,
,故 为假;结合选项可得: 为真
2、答案:B
解析:判断每个命题:①若 真 假,则 为真命题, 为假命题,故①错误;②
不等式 的解为 或 ,由命题所对应的集合关系可判断出②正确;③
存在性命题的否定,形式上更改符合“两变一不变”,故③正确;④ “ 或 ”的否
定应为“ 且 ”,故④错误,所以选择 B
3、答案:B
解析:对于 :当 时, ,故 正确;对于 :因为 ,所以当
时, ,故 错误,结合选项可知 是真命题
4、答案:C
解析:命题的否定为:“ ,使得 ”,此为真命题,所以转为恒
成立问题,利用二次函数图像可得: ,解得
5、答案:C
,p q ln 2f x x x 1 2 0f f
1,2x ln 2 0f x x x p 2,4x
22x x q p q
p q p q p q
2 4 5 0x x 5x 1x
1x 2x
1x 2x
p 0x 2 xx e p q 2 1 0a 0,1a
2log 1 0a a q p q
x R 2 12 1 02x a x
21 4 0a 1,3a
- 10 -
解 析 : 由 已 知 条 件 作 出 可 行 域 , 并 根 据 选 项 分 别 作 出 相 应 直 线
,观察图像可知:阴影部分恒在
的上方,所以 成立;且阴影区域中有在 中的点,所以 成立,综上可得: 正
确
2 2, 2 2, 2 3, 2 1x y x y x y x y 2 2x y
1p 2 1x y 4p 1 4,p p