数学卷·2018届四川省绵阳市南山中学试验学校高二上学期10月月考数学试卷（理科） （解析版） 15页

‎2016-2017学年四川省绵阳市南山中学试验学校高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（　　）‎ A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在 ‎2．直线2x﹣y=7与直线3x+2y﹣7=0的交点是（　　）‎ A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）‎ ‎3．若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为（　　）‎ A．（﹣1，0），（1，0） B．（﹣6，0），（6，0） C． D．‎ ‎5．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，过F2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A、B，则三角形ABF1的周长是（　　）‎ A．20 B．24 C．32 D．40‎ ‎6．从点P（1，﹣2）引圆（x+1）2+（y﹣1）2=4的切线，则切线长是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7．直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（　　）‎ A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0 D．2x+3y+8=0‎ ‎8．点P（1，﹣1）到直线ax+3y+2a﹣6=0的距离的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．圆x2+y2=1与直线xsinθ+y﹣1=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 ‎10．圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0截直线5x﹣12y+c=0所得弦长为8，则c的值为（　　）‎ A．10 B．﹣68 C．12 D．10或﹣68‎ ‎11．过椭圆的中心的弦为PQ，焦点为F1，F2，则△PQF1的最大面积是（　　）‎ A．ab B．bc C．ca D．abc ‎12．椭圆 +=1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（　　）‎ A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分12分）‎ ‎13．曲线y=|x﹣2|﹣3与x轴围成的图形的面积是　　．‎ ‎14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是　　．‎ ‎15．已知M={（x，y）|x2+y2=1，0＜y≤1}，N={（x，y）|y=x+b，b∈R}，并且M∩N≠∅，那么b的取值范围是　　．‎ ‎16．设M，N为椭圆的长轴的端点，P为椭圆上异于M，N的点，则直线PM，PN的斜率之积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．‎ ‎（1）求AB边所在的直线方程；‎ ‎（2）求中线AM的长；‎ ‎（3）求AB边的高所在直线方程．‎ ‎18．求过A（1，0）与B（0，1）两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．‎ ‎19．已知圆x2+y2+8x﹣4y=0与圆x2+y2=20关于直线y=kx+b对称，‎ ‎（1）求k、b的值；‎ ‎（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．‎ ‎20．已知椭圆C：x2+2y2=8，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省绵阳市南山中学试验学校高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（　　）‎ A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在 ‎【考点】斜率的计算公式．‎ ‎【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．‎ ‎【解答】解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k==﹣2，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎2．直线2x﹣y=7与直线3x+2y﹣7=0的交点是（　　）‎ A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）‎ ‎【考点】两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】要求两条直线的交点坐标，联立两条直线的方程求出解集即可得到．‎ ‎【解答】解：联立直线方程得：解得即交点坐标为（3，﹣1）‎ 故选A ‎　‎ ‎3．若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由两直线的方程分别找出两直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：由直线x+ay+2=0，得到斜率为﹣，‎ 由直线2x+3y+1=0，得到斜率为﹣，‎ 因为两直线互相垂直，所以﹣×（﹣）=﹣1，‎ 解得：a=﹣．‎ 故选A ‎　‎ ‎4．椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为（　　）‎ A．（﹣1，0），（1，0） B．（﹣6，0），（6，0） C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆6x2+y2=6的标准方程为：，‎ 椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为：．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，过F2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A、B，则三角形ABF1的周长是（　　）‎ A．20 B．24 C．32 D．40‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF1的周长为4a，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由椭圆方程，得焦点在x轴上a2=100，则a=10，‎ ‎∵点A，B在椭圆上，如右图所示，‎ 由椭圆定义，得|AF1|+|AF2|=2a=20，|BF1|+|BF2|=2a=20，‎ ‎∴△ABF1的周长=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=20+20=40．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．从点P（1，﹣2）引圆（x+1）2+（y﹣1）2=4的切线，则切线长是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】求出点P（1，﹣2）到圆心C（﹣1，1）的距离和圆的半径，利用勾股定理求得切线长．‎ ‎【解答】解：由题意可得，点P（1，﹣2）到圆心C（﹣1，1）的距离为为，而圆的半径为2，‎ 故切线长为==3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（　　）‎ A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0 D．2x+3y+8=0‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．‎ ‎【解答】解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，‎ 在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．点P（1，﹣1）到直线ax+3y+2a﹣6=0的距离的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】直线ax+3y+2a﹣6=0即a（x+2）+（3y﹣6）=0，令，解得直线经过定点Q，利用两点之间的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：直线ax+3y+2a﹣6=0即a（x+2）+（3y﹣6）=0，‎ 令，解得x=﹣2，y=2．因此直线经过定点Q（﹣2，2）．‎ ‎∴点P（1，﹣1）到直线ax+3y+2a﹣6=0的距离的最大值即为：|PQ|==3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．圆x2+y2=1与直线xsinθ+y﹣1=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆心坐标和半径r，求出直线系经过的定点，判断定点与圆的位置关系，可得出直线与圆位置关系．‎ ‎【解答】解：由圆的标准方程：x2+y2=1，‎ ‎∴圆心坐标为（0，0），半径r=1，‎ ‎∵直线xsinα+y﹣1=0，恒过（0，1），而（0，1）是圆周上的点．‎ ‎∴直线与圆的位置关系是相交或相切．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0截直线5x﹣12y+c=0所得弦长为8，则c的值为（　　）‎ A．10 B．﹣68 C．12 D．10或﹣68‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】‎ 将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，利用垂径定理及勾股定理，根据弦长为8及半径为5求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．‎ ‎【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+2）2=25，‎ 可得出圆心坐标为（1，﹣2），半径r=5，‎ ‎∵圆被直线5x﹣12y+c=0截得的弦长为8，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==3，即=3，‎ 整理得：|c+29|=39，即c+29=±39，‎ 解得：c=10或c=﹣68，‎ 则c的值为10或﹣68．‎ 故选D ‎　‎ ‎11．过椭圆的中心的弦为PQ，焦点为F1，F2，则△PQF1的最大面积是（　　）‎ A．ab B．bc C．ca D．abc ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件，判断三角形的特征，转化求解三角形底面积，推出最大值时的情况，得到结果．‎ ‎【解答】解：过椭圆的中心的弦为PQ，焦点为F1，F2，‎ 则△PQF1的面积为：S=|OF1||PQ|=，显然PQ为椭圆的短轴时，三角形的面积最大，‎ 最大值为： =bc．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．椭圆 +=1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（　　）‎ A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆 +=1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵椭圆 +=1的焦点在x轴上，‎ ‎∴5a＞4a2+1‎ ‎∴‎ ‎∵椭圆的离心率为=≤=（当且仅当，即a=时取等号）‎ ‎∴椭圆的离心率的取值范围为（0，]‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分12分）‎ ‎13．曲线y=|x﹣2|﹣3与x轴围成的图形的面积是　9　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】求出图象与x，y轴的交点，即可求曲线y=|x﹣2|﹣3与x轴围成的图形的面积．‎ ‎【解答】解：y=|x﹣2|﹣3=，画出函数的图象，如图所示，‎ 当y=0时，解得x=﹣1或x=5，‎ 当x=2时，y=﹣3，‎ 则AB=5+（﹣1）=6，CD=3，‎ 则曲线y=|x﹣2|﹣3与x轴围成的图形的面积S△ABC=×AB×CD=×6×3‎ ‎=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是　　．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】‎ 在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离．‎ ‎【解答】解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），‎ 则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．已知M={（x，y）|x2+y2=1，0＜y≤1}，N={（x，y）|y=x+b，b∈R}，并且M∩N≠∅，那么b的取值范围是　（﹣1，]　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】集合A是以原点为圆心，以1为半径的上半圆，不含（1，0）点，集合B是一条直线，由M∩N≠∅，利用数形结合思想能求出b的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵M={（x，y）|x2+y2=1，0＜y≤1}，‎ N={（x，y）|y=x+b，b∈R}，‎ ‎∴集合A是以原点为圆心，以1为半径的上半圆，‎ 不含（1，0）点，集合B是一条直线，（如图）‎ ‎∵M∩N≠∅，‎ ‎∴当集合B表示的直线与l1无限接近时，b与﹣1无限接近，‎ 当当集合B表示的直线与l2重合时，b==，‎ ‎∴b的取值范围是（﹣1，]．‎ 故答案为：（﹣1，]．‎ ‎　‎ ‎16．设M，N为椭圆的长轴的端点，P为椭圆上异于M，N的点，则直线PM，PN的斜率之积为　﹣　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为（5cosα，3sinα），进而表示出PM、PN的斜率，二者相乘整理可求得答案．‎ ‎【解答】解：依题意可知M（5，0），N（﹣5，0），P是椭圆上任意一点，‎ 设点P的坐标为（5cosα，3sinα），‎ PM、PN的斜率分别是：‎ k1=，k2=，‎ 于是k1k2=•==﹣=﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．‎ ‎（1）求AB边所在的直线方程；‎ ‎（2）求中线AM的长；‎ ‎（3）求AB边的高所在直线方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程；直线的斜截式方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可得直线AB的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），代入距离公式可得；（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为﹣‎ ‎，可得点斜式方程，化为一般式可得．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得直线AB的斜率k==6，‎ 故直线的方程为：y﹣5=6（x+1），‎ 化为一般式可得：6x﹣y+11=0‎ ‎（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），‎ 故AM==‎ ‎（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为﹣，‎ 故方程为y﹣3=（x﹣4），化为一般式可得x+6y﹣22=0‎ ‎　‎ ‎18．求过A（1，0）与B（0，1）两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】设所求圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由圆经过点A（1，0）与B（0，1），可得系数的方程组，再令y=0，利用在x轴上截得的弦长，由此求得D，E，F的值，从而求得圆的一般方程．‎ ‎【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ 由题意，得解得或 所以所求圆的方程为x2+y2+4x+4y﹣5=0或x2+y2﹣8x﹣8y+7=0．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆x2+y2+8x﹣4y=0与圆x2+y2=20关于直线y=kx+b对称，‎ ‎（1）求k、b的值；‎ ‎（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】（1）求出两圆的圆心坐标，进而求得两圆的圆心的中垂线的方程，根据直线y=kx+b即为OA的中垂线，求出k与b的值．‎ ‎（2）公共弦所在的直线2x﹣y+‎ ‎5=0，利用点到直线的距离公式求出弦心距d，由cos = 求得的值，即可得到∠AOB的度数．‎ ‎【解答】解：（1）圆x2+y2+8x﹣4y=0即（x+4）2+（y﹣2）2=20，表示以A（﹣4，2）为圆心，以2 为半径的圆．‎ 圆x2+y2=20的圆心为O（0，0），半径等于2，‎ 故OA的中点为C（﹣2，1），OA的斜率为=﹣，故OA的中垂线的斜率等于2，‎ 故OA的中垂线的方程为 y﹣1=2（x+2），即 y=2x+5．‎ 由题意可得，直线y=kx+b即为OA的中垂线，故k与b的值分别等于2和5，‎ ‎（2）由上可知，直线y=kx+b即y=2x+5，即2x﹣y+5=0，且此直线是公共弦所在的直线．‎ 弦心距为d==，故cos==，‎ ‎∴=60°‎ 故∠AOB=120°．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C：x2+2y2=8，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】假设存在斜率为1的直线l，设l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算求得，故存在这样的直线l．‎ ‎【解答】解：假设存在斜率为1的直线l，使l被椭圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，‎ 设l的方程为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由OA⊥OB知，，即x1x2+y1y2=0．‎ 由，整理得3x2+4mx+2m2﹣8=0，‎ ‎∵△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）=﹣8m2+96≥0，得，‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得： ，‎ 故直线l存在，方程为．‎