• 903.50 KB
  • 2021-06-23 发布

专题8-6 空间直角坐标系、空间向量及其运算(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

  • 21页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2018 年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第八章 立体几何 第 06 节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 空 间 直 角 坐 标 系、 空 间 向 量 及 其 运 算 1.了解空间直角坐标系,会 用空间直角坐标表示点的位 置 2.了解空间向量的概念,了 解空间向量的基本定理及其 意义,掌握空间向量的正交 分解及其坐标表示。 3.掌握空间向量的加、减、 数乘、数量积的定义、坐标 表示的运算。 4.掌握空间两点间的距离公 式,会求向量的长度、两向 量夹角,并会解决简单的立 体几何问题。 2015•浙江文 18;理 17. 1. 空间向量的线性运算及其坐标表示. 2. 运用向量的数量积判断向量的共线与 垂直. 3.应用空间向量解决立体几何问题. 4.备考重点: (1) 掌握空间向量的线性运算、坐标运 算; (2 )掌握空间向量的数量积计算方法. (3)利用向量判断垂直关系、平行关系. 【知识清单】 1. 空间向量的线性运算 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的模或长 度. (2)几种常用特殊向量 ①单位向量:长度或模为 1 的向量. ②零向量:长度为 0 的向量. ③相等向量:方向相同且模相等的向量. ④相反向量:方向相反而模相等的向量. ⑤共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,则 这些向量叫作共线向 量或平行向量. ⑥共面向量 :平行于同一个平面的向量 . 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广. 设 a,b 是空间任意两向量,若 ,P∈OC,则 , , . (2)向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律:a+b=b + a . ②加法结合律:(a+b)+c=a +(b+c). ③数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. ④数乘结合律:λ(μa)=(λμ) a.(λ∈R,μ∈R). 对点练习: 【人教 A 版,P117 复习题第 1 题】如图,空间四边形 中, 点 在 上,且 ,点 为 中点,则 等于( ) A. B. C. D. ,OA AC a AB b= = =     OB OA AB a b= + = +     BC AC AB a b= − = −     ( )OP a Rλ λ= ∈  OABC , , ,OA a OB b OC c= = =      M OA 2OM MA= N BC MN 1 2 1 2 3 2a b c− +   2 1 1 3 2 2a b c− + +   1 1 1 2 2 2a b c+ −   2 2 1 3 3 2a b c+ −   【答案】B 2. 共线向量定理、共面向量定理的应用 (1)共线向量定理:对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ,使 a=λb. (2)共面向量定理:如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在 唯一实数对 x、y,使 . (3) 空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在唯一的有序实数组{x,y,z}, 使 .把{a,b,c}叫做空间的一个基底. 推论:设 O、A、B、C 是不共面 的四点,则 对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x、 y、z, 使 .其中 x+y+z=1. 对点练习: 已知 , , ,若 三向量共面,则实数 等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题三个向量共面可设: ,则: p xa yb= +   p xa yb zc= + +    OP xOA yOB zOC= + +    cba ,, c ma nb= +   (7,5, ) (2 , ,3 ) ( ,4 , 2 )m m m n n nλ = − + − − (2, 1,3)a → = − ( 1,4, 2)b → = − − (7,5, )c λ → = λ 62 7 63 7 64 7 65 7 得: ,解得: , . 3. 空间向量的数量积及其应用 1.两个向量的数量积 (1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉; (2)a⊥b⇔a·b=0(a,b 为非零向量); (3)|a|2=a2,|a|= x2+y2+z2. 2.向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 向量差 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 共线 a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 夹角 公式 cos〈a,b〉= a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a23 b21+b22+b23 对点练习: 已知向量 , ,且 与 互相垂直,则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 4.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐 标系及有关概念 (1)空间直角坐标系:以空间一点 O 为原点,建立三条两两垂直的数轴:x 轴,y 轴,z 轴.这 时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,其中点 O 叫做坐标原点,x 轴,y 轴,z 轴统称坐标 轴.由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面. 7 2 5 4 3 2 m n m n m nλ = −  = − +  = − 33 7 17 7 m n  =  = 99 34 65 7 7 7 λ = − = ( )1,1,0a = ( )1,0,2b = − ka b+  2a b−  k 1 1 5 3 5 7 5 (2)右手直角坐标系的含义:当右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指出 y 轴的正方向时,中指 指向 z 轴的正方向. (3)空间一点 M 的坐标用有序实数组(x,y,z)来表示,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的 横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式 设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 = (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2. 对点练习: 【2017 届广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市高三 5 月联考】如图,在三棱锥 中, 平面 平面 , 与 均为等腰直角三角形,且 , .点 是线段 上的动点,若线段 上存在点 ,使得异面直线 与 成 的角,则线段 长的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B | |AB A BCD− ABC ⊥ BCD BAC BCD 90BAC BCD∠ = ∠ = ° 2BC = P AB CD Q PQ AC 30° PA 20, 2       60, 3       2 , 22       6 , 23       【解析】 ,结合 可得 ,所以 ,则 ,即 ,应选答 案 B. 【考点深度剖析】 本部分内容较少单独考查,主要考查向量数量积的坐标表示、空间向量方法在在证明平行与 垂直及计算夹角与距离的应用. 【重点难点突破】 考点一 空间向量的线性运算 ( ) ( )22 23 4 1 1 0m t s s t= − − − − > 1t s− = ( )2 2 24 1 2 2 3 1s s s− > + ⇒ < 1 3 s < ( ) ( )2 2 2 2 61 2 3PA s t s s s= − + − = + = < 60 3PA< < 【1-1】空间四边形 ABCD 中,若向量 , ,点 E,F 分别为线 段 BC,AD 的中点,则 的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【1-2】在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 ,E,F 分别是 AD1,BD 的 中点. (1)用向量 表示 ,; (2)若 ,求实数 x,y,z 的值. 【答案】(1) , ;(2) . ( 3,5,2)AB = − ( 7, 1, 4)CD = − − − EF (2,3,3) ( 2, 3, 3)− − − (5, 2,1)− ( 5,2, 1)− − 1, ,AB a AD b AA c= = =      , ,a b c   1 ,D B EF  1D F xa yb zc= + +    1D B a b c= − −    EF = 1 ( )2 a c−  1 1, , 12 2x y z= = − = − 【解析】(1) , . (2) ,所以 . 【领悟技法】 1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几 何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近 表示所需向量. 2.首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾 向量的终点的向量,求若干 个向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决. 【触类旁通】 【变式一】如图,在空间四边形 中, , , .点 在 上, 且 , 是 的中点,则 =( ) A. B. C. D. 【答案】B 1 1 1D B D D DB AA AB AD a b c= + = − + − = − −         1 1 1 2 2EF EA AF D A AC= + = +     1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2AA AD AB AD a c= − + + + = −      1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2 2D F D D D B c a b c a b c= + = − + − − = − −          1 1, , 12 2x y z= = − = − OABC OA a=  OB b=  OC c=  M OA 2OM MA= N BC MN 1 2 1 2 3 2a b c− +  2 1 1 3 2 2a b c− + +  1 1 2 2 2 3a b c+ −  2 2 1 3 3 2a b c+ −  【变式二】【百强校】2015-2016 学年】辽宁省葫芦岛市一中如图,在平行六面体 中, 为 的交点.若 , ,则下列向量中与 相等的向量是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知, ,故应选 . 考点 2 共线向量定理、共面向量定理的应用 【2-1】【浙江省杭州市萧山区第一中学】已知 , ,若 ,则( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【2-2】有 4 个命题:①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面;②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+ 1 1 1 1ABCD A B C D− M AC BD与 1 1=A B a  1 1A D b=  1A A c=  MB1 1 1 2 2a b c+ +  - 1 1 2 2a b c+ +   1 1 2 2a b c− +   1 1 2 2a b c− +  - 1 1 1 1 1 1 1 1 2B M B A A A AM B A A A AC= + + = + +       1 1 1( )2 2 2a c a b a b c → → = − + + + = − + +     A yb;③若MP → =xMA → +yMB → ,则 P、M、A、B 共面;④若 P、M、A、B 共面,则MP → =xMA → +yMB → . 其中真命题的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】①正确,②中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb 就不成立,③正确,④中 若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则MP → =xMA → +y MB → 不正确.故选 B. 【领悟技法】 1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量,其它任意一向量都可用这一组基向量表示. 2.中点向 量公式 ,在解题时可以直接使用. 3.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P,A,B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (1) ; (2)对空间任一点 O, ; (3)对空间任一点 O, . 4.证明空间四点共面的方法 对空间四点 P,M,A,B 可通过证明下列结 论成立来证明四点共面 (1) ; (2)对空间任一点 O, ; (3)对空间任一点 O, ; (4) ∥ (或 ∥ 或 ∥ ). 【触类旁通】 【变式一】若 , , 不共线,对于空间任意一点 都有 ,则 , , , 四点( ) A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线 【答案】B 1 ( )2OM OA OB= +   PA PBλ=  OP OA t AB= +   ( 1)OP xOA yOB x y= + + =   MP xMA yMB= +   OP OM xMA yMB= + +    ( 1)OP xOM yOA zOB x y z= + + + + =    PM AB PA MB PB AM A B C O 3 1 1 4 8 8OP OA OB OC= + +    P A B C 【变式二】【浙江慈溪中学】已知 , , , ,若 ,则 ________;若 , , , 四点共面,则 __________. 【答案】 , . 【解析】由题意得, , ,∴ , ∴ ;若 , , , 四点共面,∴存在唯一的实 数 , 使得, , ∴ ,∴ . 考点 3 空间向量的数量积及其应用 【3-1】已知 A(2,3,-1),B(2,6,2),C(1,4,-1),则向量 与 的夹角为( ) A.45° B.90° C.30° D.60° 【答 案】D 【解析】因为 ,所以 ,故选 D. 【3-2】【2018 届江西省南昌三中高三上学期第二次考试】已知半径为 的球 内切于正四面 体 ,线段 是球 的一条动直径 是直径的两端点),点 是正四面体 的表面上的一个动点,则 的取值范围是 ______________________. 【答案】 (0,0,0)O ( 2,2, 2)A − − (1,4, 6)B − ( , 8,8)C x − OC AB⊥ x = O A B C x = 16 8 ( , 8,8)OC x= − (3,2, 4)AB = − 3 16 32 0OC AB OC AB x⊥ ⇒ ⋅ = − − =  16x = O A B C λ µ OC OA OBλ µ= +   ( , 8,8) ( 2,2, 2) (1,4, 6)x λ µ− = − − + − 2 8 2 4 8 8 2 6 x x λ µ λ µ λ µ = − + − = + ⇒ =  = − − AB AC 3 1(0,3,3), ( 1,1,0),cos , 23 2 2 AB AC AB AC= = − < >= = ×     , 60AB AC< >= °  1 O A BCD− MN O ( ,M N P A BCD− PM PN AB BD⋅ + ⋅    [ ]12, 4− − 而又 由题意 M,N 是直径的两端点,可得 , , 由此可知,要求出 的取值范围,只需求出 ,的范围 即可. 当 P 位于 E(切点)时,OP 取得最小值 1; 当 P 位于 A 处时,OP 取得最大值 3. 综上可得 的最小值为 1 1=0,最大值为 9 1=8. 则 的取值范围是[0,8]. 再由 ,知 取值范围是 故答案为: . 【领悟技法】 1. 当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用; 2. 当异面直线所成的角为 时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 θ 来进行计算.应 ( ) ( )2 2cos ABD 2 6 cos 123AB BD AB BD ππ ∠⋅ = ⋅ − = = −   0OM ON+ =   • 1OM ON = −  ( ) ( ) ( ) 22 2 • • • • 1 1PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO PO= + + = + + + = − = −             而 PM PN AB BD⋅ + ⋅    2 • 1PM PN PO= −   2 1PO − − − •PM PN  12PM PN AB BD PM PN⋅ + ⋅ = ⋅ −      PM PN AB BD⋅ + ⋅    [ ]12, 4− − [ ]12, 4− − α 该注意的是 , ,所以 3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形,也可依据|a|= a2转化为向量求解. 【触类旁通】 【变式一】已知向量 , ,且 与 互相垂直,则 的值为( ) A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 【答案】B 【变式二】【2017 届河南省郑州、平顶山、濮阳市高三二模】已知空间四边形 ,满足 , , , ,则 的值( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 (0, ]2 πα ∈ [0, ]θ π∈ | |cos | cos | | | | | a b a b α θ ⋅= = ⋅     ( )1,1,0a = ( )1, 2,2b = − ka a b+  k ABCD 3AB = 7BC = 11CD = 9DA = AC BD⋅  1− 0 21 2 33 2 考点 4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 【4-1】【2017 届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三 4 月联考】已知动点 P 在棱 长为 1 的正方体 的表面上运动,且线段 ,记点 P 的轨 迹长度为 .给出以下四个命题: ① ; ② ; ③ ④函数 在 上是增函数, 在 上是减函数. 其中为真命题的是___________(写出所有真命题的序号) 【答案】①④ 【解析】 1 1 1 1ABCD A B C D− (0 3)PA r r= < < ( )f r ( ) 31 2f π= ( )2 3f π= 2 3 2 3 3 3f π √ =    ( )f r ( )0,1 ( )f r ( )2, 3 ,故答案③不正确;由于 时,单调递增且 当 时, 最大;当 ,单调递减,故答案④正确;应填答案①④。 【4-2】在空间直角坐标系中,点 关于 轴的对称点是 ,则点 P 到坐标原点 O 的距离 _____________. 【答案】 【解析】两点关于 y 轴对称,则两点的横坐标,竖坐标互为相反数,纵坐标相同,所以由点 关于 轴的对称点是 可得 , . 【领悟技法】 1.求向量的数量积的方法: ①设向量 a,b 的夹角为 θ,则 a·b=|a||b|cos θ; ②若 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 根据已知条件,准确选择上述两种方法,可简化计算. 2.求向量模的方法: ①|a|= a2; ②若 a=(x,y,z),则|a|= x2+y2+z2. 3.空间向量的坐标运算 (1)设 i、j、k 为两两垂直的单位向量,如果 ,则 叫做向量的坐 标. (2)设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么 ①a±b= . ②a·b= , ③cos〈a,b〉= , ④|a|= a·a= , ⑤λa= , ⑥a∥b⇔ (λ∈R), 2 3 1 2 3 33 23 12 3 3l f π π = = × × × =    0 1r< < 1r = ( )l f r= ( )2, 3r ∈ ( 1, ,2)b− y ( , 1, 2)a c− − ( , , )a b c | |PO = 2 ( 1, ,2)b− y ( , 1, 2)a c− − 1, 1, 0a b c= = − = ( )1, 1,0P∴ − | | 2PO = OP xi y j zk= + +    ( , , )x y z 1 2 1 2 1 2( , , )x x y y z z± ± ± 1 2 1 2 1 2x x y y z z+ + 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x x y y z z x y z x y z + + + + ⋅ + + 2 2 2 1 1 1x y z+ + 1 1 1( , , )x y zλ λ λ 1 2 1 2 1 2, ,x x y y z zλ λ λ= = = ⑦a⊥b⇔ . (3)设点 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2), 则 【触类旁通】 【变式一】在空间直角坐标系中的点 ,有下列叙述: ①点 关于横轴( 轴)的对称点是 ; ②点 关于 坐标平面的对称点为 ; ③点 关于纵轴( 轴)的对称点是 ; ④点 关于坐标原点的对称点为 . 其中错误的叙述个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】点 关于横轴的对称点 ,故①错;对于②,点 关于 坐标平面的对称点为 ,故②错;对于③,点 关于纵轴的对称点是 ,故③错;④正确. 【变式二】已知点 M(a,b,c)是空间直角坐标系 O﹣xyz 中的一点,则与点 M 关于 z 轴对称 的点的坐标是( ) A.(a,﹣b,﹣c) B.(﹣a,b,﹣c) C.(﹣a,﹣b,c) D.(﹣a,﹣b,﹣c) 【答案】C 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z+ + = 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )M M x x y y z z= − + − + − ( , , )P a b c ( , , )P a b c x 1( , , )P a b c− ( , , )P a b c yOz 2 ( , , )P a b c− − ( , , )P a b c y 3 ( , , )P a b c− ( , , )P a b c 4 ( , , )P a b c− − − ( , , )P a b c 1( , , )P a b c− − ( , , )P a b c yOz 2 ( , , )P a b c− ( , , )P a b c 3 ( , , )P a b c− − 【易错试题常警惕】 易错典例 1.【浙江卷】已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的 直线进行翻折,在翻折过程中(  ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直 线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 易错分析:用向量方法解决立体几何问题时,基底选择不当容易出现错误. 正确解析:如图,在图(1)中,易知 AE=CF= 6 3 ,BE=EF=FD= 3 3 . 答案:B 温馨提醒:(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到合适的基底,且该基底既能反映条件 的特征,也能方便地与结论联系;例如本题中,翻折过程中二面角 大小在 变化, 即 ,因此以 为基向量,同时也便于运算.(2)注意将平面图形分析到位,并将已 知条件转化到立体图形中去. 易错典例 2.已知 ,则直线 AD 与 BC(  ) A.平行        B.相交 C.重合 D.平行或重合 易错分析:误解了向量平行的概念,两个向量平行,它们所在的直线可能平行或重合,是哪 一种情形要视具体问题而定. 正确解析:因为 ,所以 ∥ ,又和有公共的端点 B,所以 A,B,C 三点共 线;因为 =3 ,又 与 有公共的端点 C,所以 B,C,D 三点共线.所以 A, B,C,D 四点共线,所以直线 AD 与 BC 重合.选 C. 答案:C 温馨提醒:1.注意向量夹角的确定,避免首尾相连的向量夹角确定错误;2.注意向量夹角 与两直线夹角的区别;3.注意向量共线与两直线平行与重合的区别. 【学科素养提升之思想方法篇】 化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法 1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法,数学中一切问题的解决(当然包括解题) 都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、 方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种思想方 A BD C− − π θ− ,AE FC  2 2 2 , 3 3 3 ,AB a b c BC a b c CD a b c= − + − = − + = − +            2 3AB BC= −  AB BC 3BC CD=  BC CD 法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法 、构造法 等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂. 2. 转化包括等价转化和非等价转化,非 等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前 因后果既是充分的又是必要的,这样的转化能保证转化的结 果仍为原问题所需要的结果,非等价转化其过程则是充分的或必要的,这样的转化能给人带 来思维的启迪,找到解决问题的突破口,非等价变形要对所得结论进行必要的修改. 非等价转化(强化转化和弱化转化)在思维上带有跳跃性,是难点,在压轴题的解答中常常 用到,一定要特别重视! 3.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题; (2)直观化原则:将抽象的问题转化为具体的直观的问题; (3)简单化原则:将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问 题;将实际问题转化为数学问题,使问题便与解决. (4)正难则反原则:若过正面问题难以解决,可考虑问题的反面,从问题的反面寻求突破的 途径; (5)低维度原则 :将高维度问题转化成低维度问题. 4.转化与化归的基本类型 (1) 正与反、一般与特殊的转化; (2) 常量与变量的转化; (3) 数与形的转化; (4) 数学各分支之间的转化; (5) 相等与不相等之间的转化; (6) 实际问题与数学模型的转化. 5.常见的转化方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题; (3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化; (4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题; (5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径; (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径; (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题; (8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问题通过 一般化的途径进行转化; (9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的; (10)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合 A,而把包含 该问题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集获得原问题的解决. 立体几何中的转化与化归,主要利用直接转化法或坐标法,将空间问题转化成平面问题、将 几何问题转化成代数问题加以解决 . 【典例】三棱锥 中, 两两垂直且相等,点 分别是线段 和 上移动,且满足 , ,则 和 所成角余弦值的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 因为对称轴为 ,所以 关于 为递增函数,关于 为递 增函数. 又因为 与 独立取值,所以 ,所以 和 所成角余弦值的取 值范围为 ,即为所求. ABCO − OCOBOA ,, QP, BC OA BCBP 2 1≤ AOAQ 2 1≤ PQ OB ]5 52,3 3[ ]2 2,3 3[ ]5 52,6 6[ ]2 2,6 6[ )3 1,15 4[9 3 2 ∈+= kt 26)9( 22 +−+ ttk t k t k ]6,4 5[26)9( 22 ∈+−+ ttk PQ OB ]5 52,6 6[

相关文档