2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章　1 第1讲　函数及其表示 7页

‎[基础题组练]‎ ‎1．函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是(　　)‎ A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．(3，＋∞)‎ C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)‎ 解析：选C.由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.‎ ‎2．(2020·嘉兴一模)已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为(　　)‎ A．2a B．a C．2 D．a或2‎ 解析：选B.因为函数f(x)＝ 所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.‎ ‎3．下列哪个函数与y＝x相等(　　)‎ A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝2log2x C．y＝ D．y＝()3‎ 解析：选D.y＝x的定义域为R，而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝()3＝x，定义域和对应关系与y＝x均相同，故选D.‎ ‎4．(2020·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x3＋cos＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)‎ A．3 B．0‎ C．－1 D．－2‎ 解析：选B.因为函数f(x)＝x3＋cos＋1，‎ 所以f(x)＝x3＋sin x＋1，‎ 因为f(a)＝2，所以f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，‎ 所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.‎ ‎5．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选D.由已知可得M＝N，‎ 故⇒ 所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.‎ ‎6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有(　　)‎ A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|‎ 解析：选D.取特殊值法．‎ 取x＝0，，可得f(0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，‎ 所以选项A错误；‎ 取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，‎ 所以选项B错误；‎ 取x＝1，－1，可得f(2)＝2，0，这与函数的定义矛盾，‎ 所以选项C错误；‎ 取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．‎ ‎7．已知f＝，则f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝－ C．f(x)＝ D．f(x)＝－ 解析：选C.令＝t，则x＝，所以f(t)＝＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝，故选C.‎ ‎8．设函数f(x)＝ 则(a≠b)的值为(　　)‎ A．a B．b C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数 解析：选C.若a－b＞0，即a＞b，则f(a－b)＝－1，‎ 则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a＞b)；‎ 若a－b＜0，即a＜b，则f(a－b)＝1，‎ 则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a(a＜b)．综上，选C.‎ ‎9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选D.因为f()＝2×＋n＝＋n，当＋n＜1，即n＜－时，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故选D.‎ ‎10．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则(　　)‎ A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)‎ C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)‎ 解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x＞0时，f(x)＝x＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x＜0时，f(x)＝x2＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.‎ ‎11.若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．　‎ 解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ ‎12．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．‎ 解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①‎ 令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②‎ 联立①②得f(1)＝2.‎ 答案：2‎ ‎13．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ g(x)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为________．‎ 解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.‎ 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．‎ 当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．‎ 当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．‎ 答案：1　2‎ ‎14．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是________．‎ 解析：f(x)≥1等价于或 由得x≤－2或0≤x＜1.‎ 由得1≤x≤10.‎ 综上所述，x的取值范围是x≤－2或0≤x≤10.‎ 答案：(－∞，－2]∪[0，10]‎ ‎15．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．‎ 解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.‎ 不合题意，舍去．‎ 当a<0时，1－a>1，1＋a<1，‎ 此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，‎ f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.‎ 综上可知，a的值为－.‎ 答案：－ ‎16．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝，则f(f(－2‎ ‎))＝________，f(x)的最小值是________．‎ 解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4，‎ 所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－；‎ 因为当x≤1时，f(x)＝x2，‎ 由二次函数可知当x＝0时，函数取最小值0；‎ 当x>1时，f(x)＝x＋－6，‎ 由基本不等式可得f(x)＝x＋－6≥2－6‎ ‎＝2－6，‎ 当且仅当x＝即x＝时取到等号，即此时函数取最小值2－6；‎ 因为2－6<0，所以f(x)的最小值为2－6.‎ 答案：－　2－6‎ ‎17．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：易知a≠0.由题意得，当a>0时，则－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化简可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因为a>0，所以a>2.当a<0时，则－a>0，故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化简可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因为a<0，所以a<－2.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)‎ A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|‎ C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x 解析：选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.‎ ‎2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．‎ 解析：①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1对x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，对0＜t≤1‎ ‎，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1时，x∈∅；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x，当x≥0时，f(x)＝3x＋3－x；当x＜0时，f(－x)＝3x＋3－x；将x换为－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．‎ 答案：①④‎ ‎3．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)画出f(x)的图象．‎ 解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得a＝－1，b＝1，‎ 所以f(x)＝ ‎(2)f(x)的图象如图：‎ ‎4．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ ‎(1)求f(g(2))与g(f(2))；‎ ‎(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．‎ 解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.‎ ‎(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；‎ 当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.‎ 所以f(g(x))＝ 同理可得g(f(x))＝ ‎5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积 y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．‎ 解：如图，因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，‎ 即0