专题08 概率与统计（讲）-2017年高考数学（理）二轮复习讲练测 19页

考向一 概率 ‎1.讲高考 ‎【考纲要求】‎ ‎1.事件与概率 ‎(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．‎ ‎(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ ‎2．古典概型 ‎(1)理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎3．随机数与几何概型 ‎(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．‎ ‎(2)了解几何概型的意义．‎ ‎【命题规律】‎ ‎（1）预计2017年高考对本节内容的考查将以对概率、互斥事件、对立事件等概念和概率计算公式的考查为主，题型以选择题、填空题形式出现，分值为4到5分；‎ ‎（2）与古典概型等知识综合命题的趋势较强，会更加注重实际问题的背景，考查分析、推理能力，在复习时要予以关注.‎ 例1【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C 例2【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为 ‎2.讲基础 ‎1．随机事件和确定事件 ‎(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．‎ ‎(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．‎ 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件．‎ ‎(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．‎ ‎(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．‎ ‎2．频率与概率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．‎ ‎(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为__________．‎ ‎3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)‎ 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)‎ ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B ‎________‎ 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，‎ A∪B(或A＋B)‎ 称此事件为事件A与事件B的并事件 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件 A∩B ‎(或AB)‎ 互斥事件 若______为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝______‎ 对立事件 若________为不可能事件，________为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝______ P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) ＝________‎ 拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．‎ ‎4．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：____________.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝____________.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝____________.‎ ‎(4)互斥事件概率的加法公式 ‎①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝_________________________.‎ 推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝________________________.‎ ‎②若事件B与事件A互为对立事件，则＝____________.‎ ‎5．基本事件 在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．‎ ‎6．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是____________的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．‎ ‎7．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性____________．‎ ‎8．古典概型的概率公式 对于古典概型，其计算概率的公式为 ．‎ ‎9．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．‎ ‎10．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．‎ ‎11．概率计算公式 在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率 P(A)＝ ．‎ 求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．‎ ‎【答案】1．(1)必然事件　(2)不可能事件　(3)随机事件 ‎(4)确定事件　随机事件 ‎2．(1)频数　　(2)频率　常数　概率 ‎(3)小概率事件 ‎3．包含　B⊇A　A＝B　或　且　A∩B　∅　A∩B A∪B　∅　1‎ ‎4．(1)0≤P(A)≤1　(2)1　(3)0　(4)①　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)　②‎ ‎5．基本事件　‎ ‎6．(1)互斥　(2)基本事件 ‎7．(1)有限　(2)相等 ‎8．P(A)＝ ‎9．均等的 ‎10．长度　面积　体积　几何概率模型　几何概型 ‎11. 3. 讲典例 ‎【例1】【【百强校】2017届四川双流中学高三11月复测】‎ 在区间上任取一数，则的概率是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C.‎ ‎【趁热打铁】记集合构成的平面区域分别为，现随机地向中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入中的概率为_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【例2】【【百强校】2017届四川自贡市高三一诊】已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【趁热打铁】【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为（ ）‎ ‎ A B C D ‎【答案】C ‎【解析】‎ 从5张卡片中随机抽2张其结果有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）共10种，2张卡片数字之积为偶数的有7个，概率.‎ ‎4.讲方法 ‎1．概率与频率的关系 ‎(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的．‎ ‎(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关．‎ ‎(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值．‎ ‎2．互斥事件、对立事件的判定方法 ‎(1)利用基本概念 ‎①互斥事件是两个不可能同时发生的事件；‎ ‎②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生．‎ ‎(2)利用集合的观点来判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，‎ ‎①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；‎ ‎②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I(全集)，也即A＝∁IB或B＝∁IA；‎ ‎③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.‎ ‎3．求复杂互斥事件概率的方法 一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．‎ ‎4.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件包含的基本事件个数；代入公式，求出；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. ‎ ‎5.讲易错 如图1，在等腰中，过直角顶点在内部任作一条射线与线段交于点，求的概率。 ‎ ‎【错解】在上取，在内作射线看作在线段上任取一点，过、作射线，则概率为.‎ ‎【错因】不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．‎ ‎【正解】如图2，在内部任作射线，则射线落在内的概率是一定的，但的值是变化的，而在内的射线是均匀分布的，∴射线在任何位置都是等可能的，在上取，则，故满足条件的概率为.‎ ‎【反思提升】‎ ‎（1）互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．‎ ‎（2）求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事件分拆为几个互斥事件．当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概率．‎ ‎（3）解决几何概型问题的易误点：‎ ①不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．‎ ②利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．‎ 考向二 概率与统计 1. 讲高考 ‎【考纲要求】‎ ‎（1）抽样方法 ①理解随机抽样的必要性和重要性．‎ ②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．‎ ③了解分层抽样和系统抽样方法．‎ ‎（2）用样本估计总体 ①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．‎ ②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．‎ ③能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．‎ ④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．‎ ⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．‎ ‎（3）变量间的相关关系 ①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系．‎ ②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．‎ ‎（4）概率 ①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．‎ ②理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．‎ ③了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．‎ ④理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.‎ ⑤利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎（5）统计案例 了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题；‎ ①了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及其简单应用.‎ ②了解回归的基本思想、方法及其简单应用.‎ ‎【命题规律】‎ ‎1.概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易；2.概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题，这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神；3.概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在次独立重复试验中恰发生次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查.‎ 例1.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________ ________. ‎ ‎【答案】0.1‎ 例2.【2016高考新课标1卷】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求的分布列；‎ ‎（II）若要求,确定的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？‎ ‎【答案】（I）见解析（II）19（III）‎ 例3.【2016年高考四川理数】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5)，0.5,1)，…，4,4.5)分成9‎ 组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．‎ ‎2.讲基础 ‎1．随机变量的有关概念 ‎(1)随机变量：随着试验结果变化_______的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．‎ ‎(2)离散型随机变量：所有取值可以__________的随机变量．‎ ‎2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ‎(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：‎ 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．‎ ‎(2)分布列的性质 ‎①pi ，i＝1,2,3，…，n.‎ ‎②pi＝1.‎ ‎3．两点分布列 若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝________为成功概率．‎ ‎4.超几何分布列 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，‎ 则P(X＝k)＝____________，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.‎ 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．‎ ‎5. 独立重复试验与二项分布 ‎6.均值：‎ ‎（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为：‎ 则称E(X)＝ 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 ．‎ ‎（2）若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝ .‎ ‎（3）①若X服从两点分布，则E(X)＝ .‎ ②若X～B(n，p)，则E(X)＝ .‎ ‎7.方差：（1）设离散型随机变量X的分布列为：‎ X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 则 描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，‎ 而D(X)＝________________i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的 ．称D(X)为随机变量X的方差，其_________________为随机变量X的标准差．‎ ‎（2）D(aX＋b)＝ ．‎ ‎（3）若X服从两点分布，则D(X)＝ ．‎ ‎（4）若X～B(n，p)，则D(X)＝ ．‎ ‎8.正态曲线的特点与正态分布的三个常用数据 ‎(1)P(μ－σ