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2018-2019 学年福建省惠安惠南中学高一 12 月月考数学试题
考试时间:120 分钟 满分: 150 分
班级:_________ 姓名: ________________ 座号:_________
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合要求)
1.在 0~2π范围内,与角 4π
3
终边相同的角是( )
A. 2π
3
B. π
3
C. π
6
D. 4π
3
2.已知角α的终边经过点(-4,3),则 cosα=( )
A.4
5
B.3
5
C.-3
5
D.-4
5
3.若 则,0cossin 在( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
4.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( )
A.(-1,0) B.(-2,-1) C.(0,1) D.(1,2)
5.已知一扇形的弧所对的圆心角为 54°,半径 r=20cm,则扇形的周长为( )
A.6πcm B.60cm C.(40+6π)cm D.1 080cm
6.已知 =-5,则 tan á的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
7.已知 f(x)=
2
0
x
0
0
0
x
x
x
,则 f[f(-3)]等于 ( )
A、0 B、π C、π2 D、98.下列不等式中,正确的是( )
A. 13π 13πtan tan4 3
B. π πsin cos5 5
C. 3π 2πcos cos( )5 5
D.cos55°>tan35°
9.集合 M={x|x=sinnπ
3
,n∈Z},N={x|x=cosnπ
2
,n∈Z},则 M∩N=( )
A.{-1,0,1} B.{0,1} C. D.{0}
10.函数
xxay x
(a>1)的图像的大致形状是( )
11.函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移π
8
个单位长度后,得到一个偶函数的图象,
则φ的一个可能的值为( )
A.3π
4
B.π
4
C.0 D.-π
4
12. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若 f(x)≤|f(π
6
)|对 x∈R 恒成
立,且 f(π
2
)>f(π),则 f(x)的单调递增区间是( )
A.[kπ-π
3
,kπ+π
6
](k∈Z) B.[kπ,kπ+π
2
](k∈Z)
C.[kπ+π
6
,kπ+2π
3
](k∈Z) D.[kπ-π
2
,kπ](k∈Z)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)
13.函数 )5(,7)5(,1sin)( ffxbaxxf 则若
14. 函数 )6cos()( xxf ,
2,2
x 的值域是
15.函数 f(x)= lnx-x+3 的零点个数
16. 关于函数 f(x)=4sin
2x-π
3 (x∈R),有下列命题:
(1)y=f(x+
3
4π )为偶函数;
(2)要得到函数 g(x)=-4sin2x 的图象,只需将 f(x)的图象向右平移π
3
个单位
长度;
(3)y=f(x)的图象关于直线 x=-π
12
对称;
(4)y=f(x)在[0,2π]内的增区间为
0, 5
12
π
和
11
12
π,2π
.
其中正确命题的序号为_______.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)A,B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第
二象限,记∠AOB=θ,且 sin θ=.
(1)求点 B 的坐标;
(2)求 的值.
18 . ( 12 分 ) 已 知 α 是 第 三 象 限 角 , f ( α ) =
sinπ -α· cos 2π-α· tan -α-π
tan -α· sin -π-α
.
(1)化简 f(α);
(2)若 cos
α-3
2
π
=1
5
,求 f(α)的值;
(3)若α=-1 860°,求 f(α)的值.
19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin +1.
(1)用“五点法”作出 f(x)在 x∈ 上的
简图;
(2)写出 f(x)的对称中心以及单调递增区间;
(3)求 f(x)的最大值以及取得最大值时 x 的集
合.
20.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ) ≤φ< 的图象关于直线 x= 对称,且图象上相
邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若 f ,求 sin 的值.
21. (12 分)函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
)的一段图象过点(0,
1),如图所示.
(1)求函数 f1(x)的表达式;
(2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移π
4
个
单位,得函数 y=f2(x)的图象,求 y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量 x 的集合,并
写出该函数的增区间.
22.(14 分)已知定义域为 R 的函数 1
2( ) 2 2
x
x
bf x
是奇函数.
(Ⅰ)求 b 的值;
(Ⅱ)证明函数 f x 在 R 上是减函数;
(Ⅲ)若对任意的t R ,不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k 恒成立,求 k 的取值范围.
2018-2019 学年惠南中学高一年 12 月月考答案
数学
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B A C D B C D B B C
12.由任意 x∈R,有 f(x)≤|f(π6)|知,当 x=π6时,f(x)取最值,所以 f(π6)=
sin(π3+φ)=±1,所以π3+φ=±π2+2kπ(k∈Z),所以φ=π6+2kπ或φ=-5π6 +2kπ
(k∈Z).又 f(π2)>f(π),所以 sin(π+φ)>sin(2π+φ),所以-sinφ>sinφ,
所以 sinφ<0,所以φ取-5π6 +2kπ(k∈Z).
不妨取φ=-5π6 ,则 f(x)=sin(2x-5π6 ),令-π2+2kπ≤2x-5π6 ≤π2+2kπ(k∈Z),
所以π3+2kπ≤2x≤4π3 +2kπ(k∈Z),所以π6+kπ≤x≤2π3 +kπ(k∈Z).
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13、 -5 14、 15 、 1
16、 (2) (3)
三.解答题(共 70 分)
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(12 分)已知α是第三象限角,f(α)=错误!.
(1)化简 f(α);
(2)若 cos
3
π=
1
5,求 f(α)的值;
(3)若α=-1 860°,求 f(α)的值.
解 (1)f(α)=
π+α]
]
=
-sin α·cos α·tan α
-tan α·sin α =cos α.
(2)∵cos
3
π=cos
3
π-α=-sin α,
又 cos
3
π=
1
5,∴sin α=-
1
5.
又α是第三象限角,
∴cos α=-=-
6
5,
∴f(α)=-
6
5.
(3)f(α)=f(-1 860°)=cos(-1 860°)
=cos 1 860°=cos(5×360°+60°)=cos 60°=
1
2.
18.(本小题满分 10 分)A,B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第
二象限,记∠AOB=θ,且 sin θ=.
(1)求点 B 的坐标;
(2)求 的值.
解(1)设点 B 坐标为(x,y),则 y=sinθ=.
因为点 B 在第二象限,x=cosθ=- ,
所以点 B 坐标为 .
(2)
= =- .
19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin +1.
(1)用“五点法”作出 f(x)在 x∈ 上的简图;
(2)写出 f(x)的对称中心以及单调递增区间;
(3)求 f(x)的最大值以及取得最大值时 x 的集合.
解(1)对于函数 f(x)=sin +1,在 x∈ 上,2x+∈[0,2π],列表:
2x+ 0 π 2
x -
f(x) 1 2 1 0 1
作图:
(2)令 2x+ =kπ+ ,求得 x= ,
可得函数的图象的对称中心为 ,k∈Z.
令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,求得 kπ- ≤x≤kπ+ ,
可得函数的增区间为 ,k∈Z.
(3)令 2x+ =2kπ+ ,求得 x=kπ+ ,所以函数 f(x)的最大值为 2,此时,x=k
π+ ,k∈Z.
20.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ) ≤φ< 的图象关于直线 x=对称,且图象上相邻
两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若 f ,求 sin 的值.
解(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而ω
= =2.
又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称,
所以 2× +φ=kπ+ ,k=0,±1,±2.
因为- ≤φ< ,所以φ=- .
(2)由(1)得 f sin ,
所以 sin .
由 <α< ,得 0<α- ,
所以 cos
= .
因此 sin =sin
=-sin
=-cos =- .
21. (12 分)函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象过点
(0,1),如图 3 所示.
图 3
(1)求函数 f1(x)的表达式;
(2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移π4个单位,得函数 y=f2(x)的图象,求 y=f2
(x)的最大值,并求出此时自变量 x 的集合,并写出该函数的增区间.
解:(1)由题图知,T=π,于是ω=2πT =2.
将 y=Asin2x 的图象向左平移
π
12,得 y=Asin(2x+φ)的图象,
于是φ=2×
π
12=
π
6 ,
将(0,1)代入 y=Asin
π
6 ,得 A=2,故 f1(x)=2sin
π
6 ;
(2)依题意,f2(x)=2sin
π
6 =-2cos
π
6 ,
所以 y=f2(x)的最大值为 2,
当 2x+
π
6 =2kπ+π(k∈Z),即 x=kπ+
5π
12 (k∈Z)时,ymax=2,
x 的取值集合为
5π
,k∈Z,
因为 y=cosx 的减区间为 x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z,
所以 f2(x)=-2cos(2x+
π
6 )的增区间为{x|2kπ≤2x+
π
6 ≤2kπ+π,k∈Z},
解得{x|kπ-
π
12≤x≤kπ+
5π
12 ,k∈Z},
所以 f2(x)=-2cos(2x+π6)的增区间为 x∈[kπ- π12,kπ+5π12],k∈Z.
22.(14 分)已知定义域为 的函数 是奇函数.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)证明函数 在 上是减函数;
(Ⅲ)若对任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.
21.解:(Ⅰ)∵ 是奇函数,所以 (经检验符合题设) .
(Ⅱ)由(1)知 .对 ,当 时,总有
.
∴ , 即
.
∴函数 在 上是减函数.
(Ⅲ)∵函数 是奇函数且在 上是减函数,
∴ .
.(*)
对于 (*)成立 .
∴ 的取值范围是 .