浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题5平面向量+第37练平面向量小题综合练 6页

第37练 平面向量小题综合练 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·温州模拟)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.已知α是锐角，a＝，b＝，且a∥b，则α为(　　)‎ A.15° B.30°‎ C.30°或60° D.15°或75°‎ ‎3.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k等于(　　)‎ A.2B.2C.－3D.1‎ ‎4.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则等于(　　)‎ A.－ B.＋ C.－ D.＋ ‎5.已知非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为(　　)‎ A.B.C.D.π ‎6.(2019·湖州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)‎ A.1B.C.D. ‎7.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.重心B.垂心C.外心D.内心 ‎8.(2019·台州模拟)已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为(　　)‎ A.B.C.4D.5‎ ‎9.(2019·嘉兴期末)Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则·＝__________；若＝x＋y，则xy＝________.‎ ‎10.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝m＋2m，＝λ，则λ＝____________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于(　　) ‎ A. B.3‎ C.2 D. ‎2.在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为BE上任一点，若＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值是(　　)‎ A.9B.10C.11D.12‎ ‎3.设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于(　　)‎ A.1B.C.D.2‎ ‎4.在平面内，定点A，B，C，O满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，Q满足||＝1，＝，则42－37的最大值是(　　)‎ A.12B.6C.6D.2 ‎5.(2019·丽水模拟)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和点F分别在线段BC和DC上，＝λ，＝，则·的最小值为________.‎ ‎6.(2019·学军中学模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若b·c＝0，则|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1.D　2.C　3.C　4.C　5.A　6.D　7.D　8.B　9.4　　10.λ＝ 能力提升练 ‎1.D　[取BC的中点为D，连接OD，AD，则OD⊥BC，‎ 又·＝(＋)·＝·＋·＝· ‎＝(＋)·(－)‎ ‎＝(2－2)＝，故选D.]‎ ‎2.D　[由题意可知＝m＋n＝m＋3n，‎ A，B，E三点共线，则m＋3n＝1，‎ 据此有＋＝(m＋3n)‎ ‎＝6＋＋≥6＋2 ＝12，‎ 当且仅当m＝，n＝时等号成立.‎ 综上可得＋的最小值是12，故选D.]‎ ‎3.D　[设＝a，＝b，＝c, ‎ 因为a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，①当O为△ABC外接圆圆心时，|c|＝|a|＝|b|＝1，②当O，A，B，C四点共圆时，因为＝b－a，||2＝(b－a)2＝b2＋a2－2a·b＝3，所以＝，由正弦定理知2R＝＝2，即过O，A，B，C四点的圆的直径为2，所以|c|的最大值等于直径2，故选D.]‎ ‎4.A　[由题意得·－·＝0，‎ ‎∴·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥，∴O是△ABC的垂心，‎ 又||＝||＝||，‎ ‎∴O为△ABC的外心，因此，△ABC的中心为O，且△ABC为正三角形，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，‎ 以O为原点，建立如图所示平面直角坐标系，易得||||cos120°＝－2，‎ ‎∴|＝||＝2，‎ ‎∴B(－，－1)，C(，－1)，A(0,2)，‎ 设P(x，y)，‎ ‎∵||＝1，∴x＝cosθ，y＝2＋sinθ，0≤θ<2π，‎ ‎∵＝，∴Q为PC的中点，‎ ‎∴Q，‎ ‎∴||2＝2＋2，‎ ‎∴4||2＝(3＋cosθ)2＋(3＋sinθ)2‎ ‎＝37＋12sin，‎ ‎∴4||2－37＝12sin≤12，故选A.]‎ ‎5. 解析　方法一　∵AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝1，‎ ‎∴CD＝1，·＝2×1×cos60°＝1，‎ ·＝(－)·(＋＋)＝(λ－)·‎ ＝(λ－)·‎ ＝(λ－)·‎ ‎＝λ＋λ－1－×4‎ ‎＝＋＋≥，当且仅当λ＝时取等号.‎ 方法二　∵AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝1，∴CD＝1，以A为原点，AB所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 易得A(0,0)，B(2,0)，D，C，‎ ＝＋λ＝(2,0)＋λ ‎＝，＝＋ ‎＝＋(1,0)＝，‎ ‎∴·＝· ‎＝＋＝1＋－－＋＝＋＋≥，当且仅当λ＝时取等号.‎ ‎6.－3‎ 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设＝a，则A在以O为圆心半径为3的圆上运动.‎ 设＝b，＝c，则＝b－c，‎ 取D∈BC，设＝λ(b－c)，则＝(1－λ)(b－c)，‎ 取E∈OC使得＝c，则|a－b＋λ(b－c)|＝|－＋|＝||，‎ ＝|＋|＝||，‎ ‎∴|a－b＋λ(b－c)|＋＝||＋||，作点E关于BC的对称点E′，‎ 则||＝||，由E(0,2)易得E′(3,5)，‎ ‎∴|a－b＋λ(b－c)|＋＝||＋||≥||≥||－3＝－3，且知当A，D在线段OE′上时取等号，‎ ‎∴|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为－3.‎