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  • 2021-06-23 发布

数学文·江西省金溪一中、南丰一中、广昌一中等联考2017届高三上学期期中数学试卷(文科)+Word版含解析

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‎2016-2017学年江西省金溪一中、南丰一中、广昌一中等联考高三(上)期中数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合M={x∈N|x<6},N={x|(x﹣2)(x﹣9)<0},则 M∩N=(  )‎ A.{3,4,5} B.{x|2<x<6} C.{x|3≤x≤5} D.{2,3,4,5}‎ ‎2.A,B,C三个学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分均为65分,已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格,在下列四个命题中,为p的逆否命题的是(  )‎ A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格 B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分 C.若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分 D.若A,B,C至少有1人及格,则 及格分不高70于分 ‎3.设f(x)﹣x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为(  )‎ A.x3 B.cosx C.1+x D.xex ‎4.若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°,则cos2x=(  )‎ A. B. C.0 D.‎ ‎5.在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(  )‎ A.7.5 B.7 C.6 D.5‎ ‎6.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4=(  )‎ A.63或126 B.252 C.120 D.63‎ ‎7.若sinx+cosx=,则tan(x+)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知点O为△ABC内一点,∠AOB=120°,OA=1,OB=2,过O作OD垂直AB于点D,点E为线段OD的中点,则•的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的递减区间为(  )‎ A.(0,4) B. C. D.(0,1),(4,+∞)‎ ‎10.已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(其中a,b为正实数)的图象关于直线x=﹣对称,且∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)f(x2)≤4恒成立,则下列结论正确的是(  )‎ A.‎ B.不等式f(x1)f(x2)≤4取到等号时|x1﹣x2|的最小值为2π C.函数f(x)的图象一个对称中心为 ‎ D.函数f(x)在区间上单调递增 ‎11.若数列{an}满足﹣=1,且a1=5,则数列{an}的前100项中,能被5整除的项数为(  )‎ A.42 B.40 C.30 D.20‎ ‎12.已知函数f(x)=2x﹣5,g(x)=4x﹣x2,给下列三个命题:‎ p1:若x∈R,则f(x)f(﹣x)的最大值为16;‎ p2:不等式f(x)<g(x)的解集为集合{x|﹣1<x<3}的真子集;‎ p3:当a>0时,若∀x1,x2∈[a,a+2],f(x1)≥g(x2)恒成立,则a≥3,‎ 那么,这三个命题中所有的真命题是(  )‎ A.p1,p2,p3 B.p2,p3 C.p1,p2 D.p1‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.等比数列{42n+1}的公比为  .‎ ‎14.设函数f(x)=,则f(3)+f(4)=  .‎ ‎15.在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a2+b2﹣c2=ab,且acsinB=2sinC,则•=  .‎ ‎16.若函数f(x)=k﹣有三个零点,则实数k的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知m≠0,向量=(m,3m),向量=(m+1,6),集合A={x|(x﹣m2)(x+m﹣2)=0}.‎ ‎(1)判断“∥”是“||=”的什么条件 ‎(2)设命题p:若⊥,则m=﹣19,命题q:若集合A的子集个数为2,则m=1,判断p∨q,p∧q,¬q的真假,并说明理由.‎ ‎18.在等差数列{an}中,a12+a3=4,且a5+a6+a7=18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a1,a2,a4成等比数列,求数列{}的前n项和Sn.‎ ‎19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社会每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).‎ ‎(1)求f(50)的值;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?‎ ‎20.如图所示,在△ABC中,点D为BC边上一点,且BD=1,E为AC的中点,AE=,cosB=,∠ADB=.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求△ADE的面积.‎ ‎21.已知函数f(x)=(x+a)ex(x>﹣3),其中a∈R.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点A(0,a)处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行,求l的方程;‎ ‎(2)讨论函数y=f(x)的单调性.‎ ‎22.记max{m,n}表示m,n中的最大值.如max{3, }=.已知函数f(x)=max{x2﹣1,2lnx},g(x)=max{x+lnx,ax2+x}.‎ ‎(1)求函数f(x)在[,2]上的值域;‎ ‎(2)试探讨是否存在实数a,使得g(x)<x+4a对x∈(1,+∞)恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江西省金溪一中、南丰一中、广昌一中等联考高三(上)期中数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合M={x∈N|x<6},N={x|(x﹣2)(x﹣9)<0},则 M∩N=(  )‎ A.{3,4,5} B.{x|2<x<6} C.{x|3≤x≤5} D.{2,3,4,5}‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】先分别求出集合M,N,由此能求出M∩N.‎ ‎【解答】解:∵集合M={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},‎ N={x|(x﹣2)(x﹣9)<0}={x|2<x<9},‎ ‎∴M∩N={3,4,5}.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.A,B,C三个学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分均为65分,已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格,在下列四个命题中,为p的逆否命题的是(  )‎ A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格 B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分 C.若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分 D.若A,B,C至少有1人及格,则 及格分不高70于分 ‎【考点】四种命题.‎ ‎【分析】根据原命题与它的逆否命题之间的关系,写出命题p的逆否命题即可.‎ ‎【解答】解:根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,‎ 命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格,‎ p的逆否命题的是:若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.设f(x)﹣x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为(  )‎ A.x3 B.cosx C.1+x D.xex ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的性质.‎ ‎【分析】根据偶函数与偶函数的和为偶函数,只要g(x)为偶函数即可.‎ ‎【解答】解:由题意,只要g(x)为偶函数即可,由选项可知,只有选项B的函数为偶函数;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°,则cos2x=(  )‎ A. B. C.0 D.‎ ‎【考点】三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简已知条件,利用二倍角公式求解即可.‎ ‎【解答】解:cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°=sin63°cos18°﹣cos63°sin18°=sin45°=.‎ cos2x=2cos2x﹣1=2×=0.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(  )‎ A.7.5 B.7 C.6 D.5‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求c的值,进而可得周长的值.‎ ‎【解答】解:∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,‎ ‎∴由余弦定理可得:b×+a×=c2,整理可得:2c2=2c3,‎ ‎∴解得:c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4=(  )‎ A.63或126 B.252 C.120 D.63‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】根据a3+a5=20,a3a5=64构造出一元二次方程求得a3和a5,则a1和q可求得,最后求得答案.‎ ‎【解答】解:∵<1,‎ ‎∴0<q<1,‎ ‎∵a3a5=64,a3+a5=20,‎ ‎∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根,‎ ‎∵an>0,0<q<1,‎ ‎∴a3>a5,‎ ‎∴a3=16,a5=4,‎ ‎∴q=,‎ ‎∴a1=64,a2=32,a3=16,a4=8,‎ ‎∴S4=a1+a2+a3+a4=64+32+16+8=120,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎7.若sinx+cosx=,则tan(x+)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件,利用诱导公式化简所求的表达式,然后求解即可.‎ ‎【解答】解: sinx+cosx=,‎ 可得sin(x+)=.‎ tan(x+)=tan(x+)==±=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.已知点O为△ABC内一点,∠AOB=120°,OA=1,OB=2,过O作OD垂直AB于点D,点E为线段OD的中点,则•的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】由题意可得 =0,计算•=•(﹣)=.△AOB中,利用余弦定理可得AB=,再利用面积法求得OD=,从而求得•= 的值.‎ ‎【解答】解:如图:点O为△ABC内一点,∠AOB=120°,OA=1,OB=2,‎ 过O作OD垂直AB于点D,点E为线段OD的中点,∴=0,‎ 则•=•(﹣)=﹣••=﹣‎ ‎===.‎ ‎△AOB中,利用余弦定理可得AB2=OA2+OB2﹣2OA•OB•cos120°=1+4+2=7,∴AB=.‎ ‎∵S△AOB==OA•OB•sin120°,可得•OD=,‎ ‎∴OD=,∴•==,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的递减区间为(  )‎ A.(0,4) B. C. D.(0,1),(4,+∞)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】结合函数图象求出f′(x)﹣f(x)<0成立的x的范围即可.‎ ‎【解答】解:结合图象:x∈(0,1)和x∈(4,+∞)时,f′(x)﹣f(x)<0,‎ 而g′(x)=,‎ 故g(x)在(0,1),(4,+∞)递减,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(其中a,b为正实数)的图象关于直线x=﹣对称,且∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)f(x2)≤4恒成立,则下列结论正确的是(  )‎ A.‎ B.不等式f(x1)f(x2)≤4取到等号时|x1﹣x2|的最小值为2π C.函数f(x)的图象一个对称中心为 ‎ D.函数f(x)在区间上单调递增 ‎【考点】命题的真假判断与应用;三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】利用函数的对称轴,判断A的正误;‎ 利用函数的最值,判断B的正误;‎ 通过函数的周期以及对称性判断C的正误;‎ 利用对称轴以及周期判断D的正误;‎ ‎【解答】解:对于A,函数f(x)=asinx﹣bcosx(其中a,b为正实数)的图象关于直线x=﹣对称,‎ 可得,显然A不正确.‎ 对于B,∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)f(x2)≤4恒成立,说明函数最大值为2,不等式f(x1)f(x2)≤4取到等号时|x1﹣x2|的最小值为2π,满足题意.‎ 对于C,函数f(x)=asinx﹣bcosx(其中a,b为正实数)的图象关于直线x=﹣对称,周期为2π,函数f(x)的图象一个对称中心为,不是,所以C不正确;‎ 对于D,函数f(x)=asinx﹣bcosx(其中a,b为正实数)的图象关于直线x=﹣对称,x=﹣函数取得最小值,x=,函数取得最大值,函数f(x)在区间上单调递增是不正确的.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.若数列{an}满足﹣=1,且a1=5,则数列{an}的前100项中,能被5整除的项数为(  )‎ A.42 B.40 C.30 D.20‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】由﹣=1,数列{}是以=1为首项,以1为公差的等差数列,由等差数列通项公式=n,求得an=2n2+3n,由通项公式分别求得每10项,有4项能被5整除,即可得到数列{an}的前100项中,能被5整除的项数.‎ ‎【解答】解:由数列{an}满足﹣=1,即﹣=1,‎ ‎∴=1,‎ ‎∴数列{}是以1为首项,以1为公差的等差数列,‎ ‎∴=n,‎ ‎∴an=2n2+3n,‎ 由题意可知:‎ 项 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 个位数 ‎5‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎∴每10中有4项能被5整除,‎ ‎∴数列{an}的前100项中,能被5整除的项数40,‎ 故答案选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=2x﹣5,g(x)=4x﹣x2,给下列三个命题:‎ p1:若x∈R,则f(x)f(﹣x)的最大值为16;‎ p2:不等式f(x)<g(x)的解集为集合{x|﹣1<x<3}的真子集;‎ p3:当a>0时,若∀x1,x2∈[a,a+2],f(x1)≥g(x2)恒成立,则a≥3,‎ 那么,这三个命题中所有的真命题是(  )‎ A.p1,p2,p3 B.p2,p3 C.p1,p2 D.p1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】给出f(x)f(﹣x)的表达式,结合基本不等式,可判断p1,在同一坐标系中作出函数f(x)=2x﹣5,g(x)=4x﹣x2的图象,数形结合,可判断p2,p3‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=2x﹣5,g(x)=4x﹣x2,‎ ‎∴f(x)f(﹣x)=(2x﹣5)(2﹣x﹣5)=26﹣5(2x+2﹣x)≤26﹣10=16,‎ 故p1:若x∈R,则f(x)f(﹣x)的最大值为16,为真命题;‎ 在同一坐标系中作出函数f(x)=2x﹣5,g(x)=4x﹣x2的图象如下图所示:‎ 由图可得:p2:不等式f(x)<g(x)的解集为集合{x|﹣1<x<3}的真子集,为真命题;‎ p3:当a>0时,若∀x1,x2∈[a,a+2],f(x1)≥g(x2)恒成立,则a≥3,为真命题;‎ 故选:A ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.等比数列{42n+1}的公比为 16 .‎ ‎【考点】等比数列.‎ ‎【分析】利用公比的定义即可得出.‎ ‎【解答】解:等比数列{42n+1}的公比q==16,‎ 故答案为:16.‎ ‎ ‎ ‎14.设函数f(x)=,则f(3)+f(4)= 4 .‎ ‎【考点】函数的值.‎ ‎【分析】先分别求出f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,由此能求出f(3)+f(4).‎ ‎【解答】解:∵f(x)=,‎ ‎∴f(3)=f(9)=1+log69,‎ f(4)=1+log64,‎ ‎∴f(3)+f(4)=2+log69+log64‎ ‎=2+log636‎ ‎=2+2‎ ‎=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎15.在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a2+b2﹣c2=ab,且acsinB=2sinC,则•= 3 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件进行化简,结合向量数量积的定义进行求解即可.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,∵a2+b2﹣c2=ab,‎ ‎∴由余弦定理得cosC==,‎ 则C=,‎ ‎∵acsinB=2sinC,‎ ‎∴由正弦定理得ac•b=2c,‎ 即ab=2,‎ 则•=||•||cosC=abcosC=2×=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎16.若函数f(x)=k﹣有三个零点,则实数k的取值范围是 (﹣2,0)∪(0,2) .‎ ‎【考点】函数零点的判定定理.‎ ‎【分析】根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题,利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【解答】解:由f(x)=k﹣=0得k=,‎ 设g(x)=,‎ 若函数f(x)=k﹣有三个零点,‎ 等价为y=k,和g(x)有三个交点,‎ g(x)==x3﹣3x,(x≠0),‎ 函数的导数g′(x)=3x2﹣3=3(x2﹣1),‎ 由g′(x)>0得x>1或x<﹣1,此时函数单调递增,‎ 由g′(x)<0得﹣1<x<0或0<x<1,此时函数单调递减,‎ 即当x=1时,函数取得极小值,g(1)=﹣2,‎ 当x=﹣1时,函数取得极大值,g(﹣1)=2,‎ 要使y=k,和g(x)有三个交点,‎ 则0<k<2或﹣2<k<0,‎ 即实数k的取值范围是(﹣2,0)∪(0,2),‎ 故答案为:(﹣2,0)∪(0,2)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知m≠0,向量=(m,3m),向量=(m+1,6),集合A={x|(x﹣m2)(x+m﹣2)=0}.‎ ‎(1)判断“∥”是“||=”的什么条件 ‎(2)设命题p:若⊥,则m=﹣19,命题q:若集合A的子集个数为2,则m=1,判断p∨q,p∧q,¬q的真假,并说明理由.‎ ‎【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】(1)由,则6m=3m(m+1解出m即可判断出结论.‎ ‎(2)若,则m(m+1)+18m=0,解出m,即可判断出p真假.由(x﹣m2)(x+m﹣2)=0得x=m2,或x=2﹣m,若集合A的子集个数为2,则集合A中只有1个元素,‎ 则m2=2﹣m,解得m,即可判断出真假.‎ ‎【解答】解:(1)若,则6m=3m(m+1),∴m=1(m=0舍去),此时,,‎ 若,则m=±1,故“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎(2)若,则m(m+1)+18m=0,∴m=﹣19(m=0舍去),∴p为真命题.‎ 由(x﹣m2)(x+m﹣2)=0得x=m2,或x=2﹣m,若集合A的子集个数为2,则集合A中只有1个元素,‎ 则m2=2﹣m,解得m=1或﹣2,∴q为假命题.‎ ‎∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,¬q为真命题.‎ ‎ ‎ ‎18.在等差数列{an}中,a12+a3=4,且a5+a6+a7=18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a1,a2,a4成等比数列,求数列{}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由a12+a3=4,且a5+a6+a7=18.可得a12+a1+2d=4,a5+a6+a7=3a6═3(a1+5d)=18.联立解出即可得出.‎ ‎(2)由a1,a2,a4成等比数列,可得=a1•a4.可得an=n.可得: ==.利用“裂项求和”方法即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a12+a3=4,且a5+a6+a7=18.‎ ‎∴a12+a1+2d=4,a5+a6+a7=3a6═3(a1+5d)=18.‎ 联立解得a1=d=1或a1=﹣,d=.‎ ‎∴an=1+(n﹣1)=n,或an=﹣+(n﹣1)=.‎ ‎(2)∵a1,a2,a4成等比数列,∴=a1•a4.‎ ‎∴an=n.‎ ‎∴==.‎ ‎∴数列{}的前n项和Sn=+…+==.‎ ‎ ‎ ‎19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社会每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).‎ ‎(1)求f(50)的值;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】(1)由甲大棚投入50万元,则乙大投棚入150万元,把a的值代入即可得出.‎ ‎(2),依题意得,通过换元利用二次函数的单调性即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵甲大棚投入50万元,则乙大投棚入150万元,‎ ‎∴万元.‎ ‎(2),依题意得,‎ 故.‎ 令,则,‎ 当,即x=128时,f(x)max=282万元.‎ 所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.‎ ‎ ‎ ‎20.如图所示,在△ABC中,点D为BC边上一点,且BD=1,E为AC的中点,AE=,cosB=,∠ADB=.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求△ADE的面积.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB,进而利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BAD,利用正弦定理即可求得AD的值. ‎ ‎(2)由(1)可求AC=2AE=3,由余弦定理可求DC的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.‎ ‎【解答】解:(1)在△ABD中,∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 由正弦定理,知.‎ ‎(2)由(1)知AD=2,依题意得AC=2AE=3,‎ 在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos∠ADC,即,‎ ‎∴DC2﹣2DC﹣5=0,解得(负值舍去).‎ ‎∴,‎ 从而.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=(x+a)ex(x>﹣3),其中a∈R.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点A(0,a)处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行,求l的方程;‎ ‎(2)讨论函数y=f(x)的单调性.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,结合切线的斜率求出a的值,从而求出切线方程即可;‎ ‎(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,确定函数的单调区间即可.‎ ‎【解答】解:(1)f'(x)=(x+a+1)ex,‎ ‎∵f'(0)=a+1=|2a﹣2|,∴a=3或,‎ 当a=3时,f(x)=(x+3)ex,f(0)=3,‎ ‎∴l的方程为:y=4x+3,‎ 当时,,‎ ‎∴l的方程为:.‎ ‎(2)令f'(x)=(x+a+1)ex=0得x=﹣a﹣1,‎ 当﹣a﹣1≤﹣3即a≥2时,f'(x)=(x+a+1)ex>0,f(x)在(﹣3,+∞)递增,‎ 当﹣a﹣1>﹣3即a<2时,令f'(x)>0得x>﹣a﹣1,f(x)递增,‎ 令f'(x)=0得﹣3<x﹣a﹣1,f(x)递减,‎ 综上所述,当a<2时,f(x)的增区间为(﹣a﹣1,+∞),减区间为(﹣3,﹣a﹣1),‎ 当a≥2时,f(x)在(﹣3,+∞)上递增.‎ ‎ ‎ ‎22.记max{m,n}表示m,n中的最大值.如max{3, }=.已知函数f(x)=max{x2﹣1,2lnx},g(x)=max{x+lnx,ax2+x}.‎ ‎(1)求函数f(x)在[,2]上的值域;‎ ‎(2)试探讨是否存在实数a,使得g(x)<x+4a对x∈(1,+∞)恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;函数的值域.‎ ‎【分析】(1)设F(x)=x2﹣1﹣lnx,对其求导,及最小值,从而得到f(x)的解析式,进一步求值域即可.‎ ‎(2)分别对a≤0和a>0两种情况进行讨论,得到g(x)的解析式,进一步构造h(x),通过求导得到最值,得到满足条件的a的范围.‎ ‎【解答】解:(1)由题意设F(x)=x2﹣1﹣2lnx,则F'(x)=2x﹣=,‎ 所以x>1时,F(x)递增,0<x<1时F(x)递减,‎ 所以F(x)min=F(1)=0,所以F(x)≥0即x2﹣1>2lnx,‎ 所以f(x)=x2﹣1,其在[,2]上的最大值为x=2时函数值3,x=取最小值为,‎ 所以函数f(x)在[,2]上的值域[﹣,3];‎ ‎(2)①当a≤0时,因为x∈(1,+∞),所以x+lnx﹣(ax2+x)=lnx﹣ax2>0,‎ 所以x+lnx>ax2+x,所以g(x)=x+lnx,当g(x)<x+4a对x∈(1,+∞)恒成立,‎ 则lnx﹣x<4a对x∈(1,+∞)恒成立,设h(x)=lnx﹣x,则h'(x)=,‎ 令h'(x)>0得1<x<2,h(x)递增,令h'(x)<0得x>2,h(x)递减,‎ 所以h(x)max=h(2)=ln2﹣1,所以a>,又a≤0,所以a∈(,0].‎ ‎②当a>0时,由①知x+lnx<x+4a对x∈(1,+∞)恒成立,‎ 若g(x)<x+4a对x∈(1,+∞)恒成立,则ax2+x<x+4a对x∈(1,+∞)恒成立,‎ 即2ax2﹣x﹣8a<0对x∈(1,+∞)恒成立,显然不成立,‎ 即a>0时,不满足g(x)<x+4a对x∈(1,+∞)恒成立;‎ 综上,存在实数a使得g(x)<x+4a,‎ 对x∈(1,+∞)恒成立,a的取值范围是(,0].‎ ‎ ‎ ‎2016年11月18日