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- 2021-06-23 发布
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第三章 导数
一．基础题组
1. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，3】设，若函数为奇函数，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，故，逐个检验选项，带入显然满足题意，故选B.
考点：定积分与函数的表达式及奇偶性.
2. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，3】已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意得，，所以.显然，直线的斜率为，所以，解得，故选D.
考点：（1）导数的几何意义；（2）直线的垂直关系.
3. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，6】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析: 因,故由题设在上恒成立,故，即.故应选C.
考点：导函数与函数的单调性的关系及综合运用.
4. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，6】已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.
5. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，7】由直线，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由定积分的几何意义可知封闭图形的面积为，故选A.
考点：定积分的几何意义.
6.【河南百校联盟2017届高三11月质检，9】曲线直线，以及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：所求面积，选D
考点：定积分
7.【山西运城2017届上学期期中，10】已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
【答案】A
【解析】
试题分析：，显然为奇函数，其图像关于原点对称，排除B，D，
设，令，得由图象可知方程有三个根，图象A正确，
故选A．
考点：导数的应用，函数的有关性质
8.【河北武邑中学2017届高三上学四调，13】已知，则函数的单调递减区间是______.
【答案】
【解析】
试题分析：∵，∴，解得：，故
，令，令，解得：，而在对称轴，故在递增，故在递减，故答案为:.
考点：函数的单调性及单调区间.
9. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，13】计算：__________.
【答案】
【解析】
试题分析:因为,所以.故应填答案.
考点：定积分公式的运用．
10. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，13】已知函数，则 ．
【答案】
考点：定积分的计算.
二．能力题组
1. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，10】已知函数，
是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
【答案】A
【解析】
试题分析：，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D两个选项.令，，所以在时切线的斜率小于零，排除C，故选A.
考点：函数导数与图象.
2. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，11】已知函数，设，且的零点均在区间内，其中,，，则的最小整数解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：，所以函数在内有零点，且在区间上，，函数递增，故只有唯一零点，左移个单位得到，依题意，函数所有零点都在区间上，所以使得的最小整数为.
考点：函数图象平移与零点.
【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数的图像是有函数的图像向左平移个单位所得.由于
零点都在某个区间上，所以函数的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算的值，，且函数递增，有唯一零点在区间，左移个单位就是.
3. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，8】已知函数与的图像如下图所示，则函数的递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：结合图象：和时，，而，故在,递减，故选：D．
考点：函数的单调性.
4. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，12】已知函数的图像上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：时，；时，.设且，当或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为，即当时，函数在点处的切线方程为，即，两切线重合的充要条件是，且，消去得：，令，则，构造函数，，，，所以在单调递减，在单调递增，又所以，所以在单调递减，所以，即，故选C.
考点：导数的几何意义.
【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义及函数的值域问题，属于难题. 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
5. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，8】若曲线的一条切线为
，其中为正实数，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设切点为，则有，，，故选C.
考点：函数的切线及函数值域.
6. 【重庆八中2017届高三上学期二调，8】函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，难度中档．一般情况下，当出现时，构造，在该题中，出现，构造函数，利用导数可判断的单调性，再根据，求得，继而求出答案．
7. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，12】已知函数的定义域为,
为函数的导函数，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：令，则.因为当时，，即，所以，所以在上单调递增.又，，所以，所以，故为奇函数，所以在上单调递增，所以.即，故选B.
考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数的综合应用.
8. 【福建厦门一中2017届上学期期中，12】已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：令，令，，故在上是减函数，
上是增函数，故当时，有最小值，
而，（当且仅当，即时，等号成立）；故（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故，即．故选：D．
考点：函数与方程的综合运用.
【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系的综合应用，属于中档题．令，运用导数求出的单调性求其最小值；运用基本不等式可得，从而可证明，由等号成立的条件，从而解得．
9. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，7】已知，，为的导函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：（1）定积分的计算；（2）基本不等式的应用.
10. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，12】设函数（），若不等式有解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：∵，∴，令，，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数；故；故选：A．
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；不等式有解，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为成立，令即即可，利用导数知识结合单调性求出即得解.
11. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析:令,则,故函数在上单调递减;因,即,故是奇函数,则不等式可化为.,故函数的单调性可得,即,故应选A.
考点：函数的奇偶性单调性及导数的知识等知识的综合运用.
【易错点晴】本题以函数满足的条件为背景,考查的是导数的知识与函数的单调性之间的关系运用,以及创造性的构造函数运用函数的单调性奇偶性图象等函数几何性质,去分析问题和解决问题的能力.解答时充分借助题设条件构造函数,然后求导判断其单调性,再运用等价转化化归的数学思想将不等式进行转化,最后运用函数的单调性求出的取值范围.
12. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，12】设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，∴，令，，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数；故；则实数的最小值为故选C．
考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性转化与化归思想，将不等式有解转化为恒成立为题，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
13. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，12】已知，直线与函数的图象在处相切，设.若在区间上，不等式
恒成立，则实数（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C.有最小值 D．有最小值
【答案】A
考点：正切函数的图像和性质及导数的知识的综合运用.
【易错点晴】解答本题的关键是对条件“直线与函数的图象在处相切及不等式恒成立”的理解和运用.由此可得,进而将问题转化为求函数在上的最大最小值的问题.求解时借助导数这一工具,先对函数进行求导,判断其单调性,再求出其最小值为,从而使得问题获解.
14. 【四川自贡普高2017届一诊，12】设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程、不等式.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于（或小于）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可.
15. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，12】已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由得，由得，所以， ，当时，，当时，，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，故选D.
考点：导数与函数的单调性、极值、最值.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.
16.【山西运城2017届上学期期中，11】已知函数，设，且的零点均在区间内，其中，，，则的最小整数解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：，
∴当或时，而当时，对任意恒成立，得函数是上的增函数，，，则的最小整数解为，选D
考点：利用导数研究函数的性质
17.【河北武邑中学2017届高三上学四调，12】已知定义在上的奇函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意可知：设，，求导
，由，即，，由函数的单调性可知：恒成立，∴恒成立，∴在单调递减，由为奇函数，则，∴，由，即，由函数的单调递减，∴，∴不等式的解集，故选A.
考点：函数单调性与导数的关系.
18.【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，12】已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由图可知，先减后增的那条曲线为的图象，先增再减最后增的曲线为的图象，当时，，令，得，则，故的减区间为，,故选B.
考点：1、函数的图象；2、函数的导数；3、函数的单调性.
【方法点晴】本题考查函数的图象、函数的导数、函数的单调性，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先由图可知，先减后增的那条曲线为的图象，先增再减最后增的曲线为的图象，当时，，令，得，则，故的减区间为，.
19.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，12】若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，方程只有一个解，不满足题意，所以，所以原方程等价于方程有两解．令，则．设＝，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，当时，，所以要使存在两解，则需，所以且，即，所以的取值范围为，故选D．
考点：1、方程的根；2、利用导数研究函数的单调性．
【规律点睛】根据导数与函数单调性的关系可知，在内可导的函数，若此函数在指定区间上单调递增(减)，则函数在这个区间上的导数（），且不在的任意子区间内恒等于0．求解后注意进行验证
20.【河南百校联盟2017届高三11月质检，16】已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：
由题意可得即有解得则则切线的导数为过的切线与切线
平行时，距离最短．
由，可得即切点则到切线的距离为
故答案为：
考点：导数的几何意义
【名师点睛】本题考查导数的运用，求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查点到直线的距离公式运用，运算能力，属于中档题．
21. 【四川自贡普高2017届一诊，16】设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果
计算： ．
【答案】
【解析】
试题分析：由，∴所以，由得.
∴函数的对称中心为，∴，故设
，则，
两式相加得
考点：1.新定义问题；2.导数的运算；3.函数的对称性.
【名师点睛】本题考查新定义问题、导数的运算、函数的对称性，属难题；解决新定义问题首先要对新概念迅速理解，并学以致用，本题注意经过两次求导得到的零点为函数的拐点，也是函数的对称中心，再就是对函数中心对称的性质在掌握，即若函数关于点成中心对称，则.
22. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，12】已知函数,当时，的取值范围为，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
考点：函数的定义域值域及图象性质的综合运用．
【易错点晴】数形结合的数学思想是不仅是高中数学的重要思想方法,也是高考必考的重要考点.本题以分段函数满足的关系式为背景,考查的是数形结合是思想的灵活巧妙运用.解答时先依据题设条件将求出函数的导数,确定函数的图象变化情况,画出函数的图象,进而数形结合求出,定义域中的参数的取值范围,从而使得问题巧妙获解.
23. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，16】 已知函数
,其中，若存在唯一的整数，使得, 则的取值范围是_________.（为自然对数的底数）
【答案】
【解析】
试题分析:设,由题设存在唯一的整数使得在直线的下方.因,故当时, ,函数单调递减；当时, ,函数单调递增.所以当时,函数取最小值,而,且直线恒过点,故由题设须满足,即.故应填答案.
考点：导数的知识及数形结合的思想等有关知识的综合的运用．
【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用数形结合思想化归转化的数学思想,先运用导数判断出函数的单调性,进而求出函数的最小值,然后结合图象通过对函数值的分析建立了关于的不等式组,求出实数的取值范围是不,使得问题获解.
三、拔高题组
1. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，20】已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若对于任意，都有，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1），代入，求得；（2）由，化简得，令，利用导数求得的最大值为，所以，故的最小值为.
试题解析：
（1）对求导，得，
所以，解得．
（2）由，得，
因为，所以对于任意，都有．
设，则，
令，解得，
当变化时，与的变化情况如下表：
1
增
极大值
减
所以当时，，
因为对于任意，都有成立，所以，
所以的最小值为．
考点：函数导数与不等式.
2. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，22】已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．
【答案】（1）；（2）当时，，当时，，当时，；（3）证明见解析.
【解析】
试题解析：
（1）因为点在曲线上，所以，解得．
因为，所以切线的斜率为0，
所以切线方程为．
（2）因为，
①当时，，，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；
③当，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
④当，即时，，，
函数在上单调递减，则．
综上，当时，；
当时，；
当时，．
（3）不妨设，
因为，
所以，，
可得，，
要证明，即证明，也就是，
因为，
所以即证明，
即，
令，则，于是，
令（），
则，
故函数在上是增函数，
所以，即成立，所以原不等式成立．
考点：导数与切线、最值.
【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对
进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.
3. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，21】已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的方程；
（2）若，函数在上为增函数，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用导数的几何意义确定切线的斜率，建立方程，解之即可；（2）由题可得对恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，构造新函数，研究单调性求最值即可.
试题解析：（1）∵，∴或．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
当时，，∴的方程为：．．．．．．．．．．．．4分
当时，，∴的方程为：．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由题可得对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．7分
∵，∴，即对恒成立，
∴，即对恒成立，
设，
则，∴在上递增，∴，∴．
又，即对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：导数的应用.
4. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，22】记表示中的最大值，如.已知函数
.
（1）设，求函数在上零点的个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】
试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．
试题解析：（1）设，．．．．．．．．．．．．．1分
令，得递增；令，得递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分
设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（或由方程在上有两根可得）
（2）假设存在实数，使得对恒成立，
则，对恒成立，
即，对恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
①设，
令，得递增；令，得递减，
∴，
当即时，，∴，∵，∴4．
故当时，对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
当即时，在上递减，∴．
∵，∴，
故当时，对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②若对恒成立，则，∴．．．．．．．．．．．11分
由①及②得，．
故存在实数，使得对恒成立，
且的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：导数应用.
【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
5. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，21】（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，函数 (其中为函数的导数)的图像关于直线对称，求函数单调区间；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；(Ⅲ) .
【解析】
试题解析：（Ⅰ）由有
因为在处取得极值，故
∴
经检验：当时，符合题意，故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
∵的图像关于直线对称，故函数为偶函数
又
∴，解得
∴
∴
令有或
令有或
∴函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，对任意的，都有恒成立可转化为
在上恒成立
易知∴在上恒成立
令，∴
令，∴
∴在上递减，上递增
∴
∴，即在上递增
∴
∴.
考点：函数的极值，函数导数的应用.
6. 【重庆八中2017届高三上学期二调，21】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）若，则在上单调递增，在单调递减，若，则在上单调递增，若，则在上单调递增，在单调递减；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据导数乘法的运算法则求出函数的导函数，然后讨论时两根大小，然后分别解不等式与，从而求出函数的单调区间；（2）对于任意，，都有恒成立，即，利用分离参数求出的范围.
试题解析：（1）
、若，则在上单调递增，在单调递减；
、若，则在上单调递增；
、若，则在上单调递增，在单调递减；
（2） 由（1）知，当时，在上单调递增，在单调递减，
所以，
故，
恒成立，即恒成立
即恒成立，
令，易知在其定义域上有最大值，
所以.
考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数恒成立问题.
7. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，22】（本小题满分10分）
已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由.
【答案】（1）当时，函数无极值，当时，函数有极小值，无极大值；
（2）方程有唯一解.
【解析】
试题分析：（1）求出函数定义域，求导，令．利用导函数的符号，判断函数的单调性，求
出函数的极值；（2）令，对其求导，分为和两种情形，根据导数与的关系，判断函数的单调性，根据其大致图象得到其与轴的交点分数，故而得到方程解的个数.
试题解析：（1）依题意得，，，
当时，，故函数在上单调递增，无极值；
当时，，
令，得，函数单调递减，
令，得，函数单调递增，
故函数有极小值.
综上所述，当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值.
（2）令，，问题等价于求函数的零点个数.
易得.
①若，则，函数为减函数，
注意到，，所以有唯一零点；
②若，则当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
注意到，，所以有唯一零点.
综上，若，函数有唯一零点，即方程有唯一解.
考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数零点个数的判断.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，以及函数零点个数的判断，属于难题．利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④解不等式和，根据单调性确定极值；方程的解即为相对应函数的图象与交点的个数，利用导数判断其单调性，根据其图象的大致形状确定与交点的个数.
8. 【福建厦门一中2017届上学期期中，22】（本题满分12分）已知函数是自然对数的底数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）当时，若存在，使得，求实数的取值范围．（参考公式：）
【答案】（1）在上单调递增；（2）.
【解析】
试题分析：（1）求导数，利用导数的正负，分为和，可求函数单调区间；（2）的最大值减去的最小值大于或等于，由单调性知，的最大值是或，最小值，由的单调性，判断与的大小关系，再由的最大值减去最小值大于或等于求出的取值范围．
试题解析：（1）．
当时，，当时，，∴，
所以，故函数在上单调递增；
当时，，当时，，∴，
所以，故函数在上单调递增，
综上，在上单调递增，
（2），因为存在，使得，所以当时，．
，
①当时，由，可知，∴；
②当时，由，可知，∴；
③当时，，∴在上递减，在上递增，
∴当时，，
而，
设，因为（当时取等号），
∴在上单调递增，而，
∴当时，，∴当时，，
∴，
∴，∴，即，
设，则，
∴函数在上为增函数，∴，
既的取值范围是．
考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大、最小值问题中的应用.
9. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，21】设函数，，其中，．
（1）求的单调区间；
（2）若存在极值点，且，其中，求证：；
（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．
【答案】（1）当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为
，单调递增区间为，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
试题解析：（1）解：由，可得．
下面分两种情况讨论：
①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为；
②当时，令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知，且，
由题意，得，即，
进而，
又
,
即为，即有，即为．
（3）要证在区间上的最大值不小于，即证在上存在， ，使得，
，
，
，，，
由于，成立．
综上可得，在区间上的最大值不小于．
考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）利用导数研究函数在闭区间上的最值.
【一题多解】最后一问还可采用：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值；当时，，由（1）（2）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此
．
10. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，20】（本小题满分12分）已知函数,为自然对数的底数.
（1）当时，试求的单调区间；
（2）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；(2).
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用导数求解；(2)依据题设进行转化,构造函数运用导数知识探求.
试题解析：
（1）函数的定义域为,.当时，对于
恒成立，所以，若，若 ，所以的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）由条件可知，在上有三个不同的根，即在上有两个不同的根，且，令，则，当单调递增，单调递减，的最大值为，而.
考点：导数与函数单调性关系等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.
11. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，21】（本小题满分12分）已知函数,为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明: 为函数的导函数).
【答案】(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数的单调性的关系与分类整合思想求解；(2)依据题设构造函数运用导数知识推证.
试题解析：
（1）由题可知，. ①当时，
令，则，令，则.
（2,,当时，在上单调递增，与轴不可能有两个交点，故.
当时，令，则；令，则.故在上单调递增，在上单调递减.不妨设，且.要证，需证，即证，又，所以只需证.即证：当时，.设，则在上单调递减，又，故.
考点：导数与函数的单调性的关系及分类整合思想化归转化思想等有关知识和思想方法的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则及分类整合思想,通过对实数的讨论及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证不等式问题的成立,从而使得不等式简捷巧妙获证.
12. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，22】（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若当时，求的单调区间；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是；（2）.
【解析】
试题分析：（1）求出，令，解出的单调区间；（2）当时，显然成立；当时，存在使得，使得即可，即，令，由其单调性得，且，令，根据其单调性，求出其范围即可.
试题解析：（1）由题意得，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴的单调减区间是，单调增区间是．
（2）①当时，，显然符合题意；
②当时，，
对于，
∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在，使得，即，∴当时，，当时，，
∴，
∵，∴，即，
由于在上是增函数，∴．
由得，
设，则，
∴ 函数在上单调递减，
∴
综上所述，实数的取值范围 .
考点：利用导数研究函数的单调性；恒成立问题.
13. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，22】（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）若斜率为的直线与曲线交于，两点，其中
，求证：.
【答案】(1)；(2)时，在区间递增，时，在内递增，在内递减；(3)证明见解析.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设运用导数的知识求解；(3)依据题设先等价转化,再构设函数运用运用导数的知识分析推证.
试题解析：
（1），令，得，
当时，，当时，，
则在内递减，在内递增，
所以当时，.
（2），，
当时，恒有，在区间内是增函数；
当时，令，即，解得，
令，即，解得，
综上，当时，在区间内是增函数，当时，在内单调递增，在内单调递减.
（3）证明：，要证明，即证
，
等价于，令（由，知），
则只有证，由，知，故等价于（*）
<1>设，则，所以在内是增函数，当时，，所以，
<2>设，则，所以在内是增函数，所以当时，，即，
由<1><2>知（*）成立，所以.
考点：导数的知识及转化与化归的数学思想等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了三道常见的有关函数的问题.其目的是考查导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数最小值问题,求解时直接借助导数与函数的单调性之间的关系而获解;第二问是求函数的单调区间,求解时则依据导数与函数的单调性之间的关系建立不等式即可获解;第三问中的不等式证明问题,则运用等价转化的数学思想及分类整合思想进行分析推理,从而使得问题简捷巧妙获证.
14. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，17】如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池和其附属设施．附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在圆周上．
（1）设，征地面积记为，求的表达式；
（2）当为何值时，征地面积最大？
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用梯形面积公式建立函数关系求解；(2)依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行探求.
试题解析：
（1）连接，可得，，，，
所以，．
（2），
令，∴（舍）或者．
因为，
所以时，，时，，
所以当时，取得最大，
故时，征地面积最大．
考点：梯形面积公式、导数与函数单调性的关系等有关知识的综合运用．
15. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，20】已知函数（）．
（1）若,求值；
（2）若存在，使函数的图象在点和点处的切线互相垂直，求的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，则是否存在实数，使对任意的恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件解方程求解；(2)依据题设运用导数的几何意义建立不等式求解；(3)借助导数,构造函数分析探求.
试题解析：
（1）由，得，
解得．
（2）函数的定义域为，，，由题意得，即，整理得，
设，由，得，则有，则在上有零点，考虑到，所以或解得或，所以的取值范围是．
（3），
令，由题意，在区间上有两个不同零点，
则有解得，设函数的两个极值点为和，则和是在区间上的两个不同零点，不妨设，则，①
得且关于在上递增，因此，又由①可得，②
当时，，，递减；
当时，，，递增；
当时，，，递减．
结合②可得
，，设，，
则，所以在上递增，所以，从而，，
所以．又，所以存在，使，
综上，存在满足条件的，的取值范围为．
考点：导数与函数的单调性之间的关系、分类整合思想等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式
为背景,精心设置了三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数中参数的值,求解时直接解方程即可获解;第二问是借助导数的几何意义建立不等式,从而求出未知数的范围;第三问则是运用分类整合思想和等价转化思想进行分析推证,从而使得问题简捷巧妙获解.
16. 【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，19】（本小题满分12分）已知是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在处的切线与直线平行．
（Ⅰ）求的值及函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得的值，由此求得函数的解析式；（Ⅱ）将问题转化为函数的图象与有三个公共点，由此结合图象求得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）当时，，
因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，解得，
所以．
考点：1、导数几何意义；2、函数的零点；3、函数的图象．
【知识点睛】对于函数零点的判定：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有，那么函数在区间内有零点,即存在，使得，这个也就是方程的根．
17. 【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，21】（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数，…．
（Ⅰ）判断函数的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后分、求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先将问题转化为，恒成立，由此令，然后通过求导研究其单调性并求得其最大值，从而求得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）由题可知，，则，
（i）当时，，函数为上的减函数，
（ii）当时，令，得，
①若，则，此时函数为单调递减函数；
②若，则，此时函数为单调递增函数．
（Ⅱ）由题意，问题等价于，不等式恒成立，
即，恒成立，
令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．
由，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以函数在的最大值为，
故，不等式恒成立，实数的取值范围为．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题常用分离参数法，即将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可．
18. 【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，20】已知函数图象过点，且在该点处的切线与直线垂直．
（1）求实数，的值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）首先求得导函数，然后根据导数的几何意义得到关于的方程组，从而求解即可；（2）首先假设曲线上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，从而根据条件设出的坐标，然后根据向量垂直的充要条件建立方程，再根据方程解的情况构造新函数，从而通过求导研究新函数的单调性，进而得出结论．
试题解析：（1）当时，，则，
由题意知解得．
（2）假设曲线上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，则，只能在轴的两侧，不妨设（），则，且．
因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，
即，（1）
是否存在点，等价于方程（1）是否有解，
若，则，代入方程（1）得：，此方程无实数解．
若，则，代入方程（1）得到，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，从而，
所以当时，方程有解，即方程（1）有解，
所以对任意给定的正实数，曲线上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．
考点：1、导数的几何意义；2、向量垂直的充要条件；3、利用导数研究函数的单调性．
19. 【四川自贡普高2017届一诊，21】（本小题满分12分）
已知函数是的导数，为自然对数的底数），.
（Ⅰ）求的解析式及极值；
（Ⅱ）若，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；的极大值为，无极小值；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，令，可求得，令得，从而求得，即可求出函数的解析式；（Ⅱ），求函数的导数，讨论函数的单调性与最小值，由得，,令,各求得，即可得到的最大值为.
试题解析：（Ⅰ）由已知得，
令，得，
即 （1分）
又，∴，
从而 （2分）
∴，
又在上递增，且，
∴当时，；时，，
故为极值点，∴ （2分）
（Ⅱ）得，
①当时，在上单调递增，时，
与相矛盾；
②当时，，得：当时，，
即，
∴， （9分）
令，则，
∴，，
当时，，
即当，时，的最大值为，
∴的最大值为. （12分）
考点：1.导数的运算；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.
20. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，22】（本小题满分10分）
已知函数.
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1) 综上，当时在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；（2）.
【解析】
试题解析： （1），定义域为，
，
①当，即时，令，∴，
令，∴；
②当，即时，恒成立，
综上，当时在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增………………………5分
（2）当时，恒成立，
即在上恒成立，取，
则，
再取，则，
故在上单调递增，
而，
故在上存在唯一实数根，
故时，；时，，
故，故……………12分
考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.
21. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，21】（本小题满分12分）
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)求函数的导函数，由即可求出 的值；(2) 不等式等价于即或，构造函数，研究函数的单调性可知在上单调递增，而，所以当或时，；同理可得，当时，，则恒成立，等价于当或时，，即和是方程的两根，从而求出的值即可.
试题解析： （1）
，…………1分
，又.………………4分
（2）不等式，
整理得，
即或，…………6分
令.
当时，；当时，，
在单调递减，在单调递增，，
即，所以在上单调递增，而；
故.
当或时，；同理可得，当时，.
当恒成立可得，当或时，，
当时，，故和是方程的两根，
从而.…………12分
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.
22. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，20】已知函数，.
（Ⅰ）记的极小值为，求的最大值；
（Ⅱ）若对任意实数恒有，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是.
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值的表达式，根据函数的单调性求出的最大值即可；
（2）通过讨论的范围，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可．
（Ⅱ）当时，，恒成立.
当时，，即，即.
令，，，
当时，，当，故的最小值为，
所以，故实数的取值范围是.
，，，由上面可知恒成立,
故在上单调递增，所以，
即的取值范围是.
考点：利用导数研究函数的性质
23. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，22】已知.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：当时，.
【答案】（Ⅰ）、（Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证，即，设，则，. 再次构造函数，通过求导研究函数的性质可得在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，且所以. 当对恒成立时，不等式恒成立. 构造函数，讨论的单调性，即可得证.
试题解析：（Ⅰ）不等式，即不等式.
设，则，.
再次构造函数，则在时恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以，即成立.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，当时，且，
所以.
当对恒成立时，不等式恒成立.
不等式，即不等式对恒成立.
构造函数，则，令，
则，当时，，故在上单调递增，
所以，故，即在上单调递增，所以，
故恒成立.
故当时，，
即当时，不等式恒成立.
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，属中档题．解题时根据题目的自身特点构造新函数是解题的关键
24.【河南百校联盟2017届高三11月质检，20】已知函数，.
（Ⅰ）记的极小值为，求的最大值；
（Ⅱ）若对任意实数恒有，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是.
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值的表达式，根据函数的单调性求出的最大值即可；
（2）通过讨论的范围，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可．
（Ⅱ）当时，，恒成立.
当时，，即，即.
令，，，
当时，，当，故的最小值为，
所以，故实数的取值范围是.
，，，由上面可知恒成立,
故在上单调递增，所以，
即的取值范围是.
考点：利用导数研究函数的性质
25.【河南百校联盟2017届高三11月质检，22】已知.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：当时，.
【答案】（Ⅰ）、（Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证，即，设，则，. 再次构造函数，通过求导研究函数的性质可得在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，且所以. 当对恒成立时，不等式恒成立. 构造函数，讨论的单调性，即可得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，当时，且，
所以.
当对恒成立时，不等式恒成立.
不等式，即不等式对恒成立.
构造函数，则，令，
则，当时，，故在上单调递增，
所以，故，即在上单调递增，所以，
故恒成立.
故当时，，
即当时，不等式恒成立.
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，属中档题．解题时根据题目的自身特点构造新函数是解题的关键
26.【山西运城2017届上学期期中，20】已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若对于任意，都有，求的最小值．
【答案】（1）（2）的最小值为．
【解析】
试题分析：（1）求导，得，由已知可得的值；（2）由，得，即对于任意，都有，构造函数，利用导数研究其性质，可得当时，，即可得到的最小值
试题解析：（1）对求导，得，
所以，解得．
（2）由，得，
因为，所以对于任意，都有．
设，则，
令，解得，
当变化时，与的变化情况如下表：
1
0
增
极大值
减
所以当时，，
因为对于任意，都有成立，所以，
所以的最小值为．
考点：利用导数研究函数的性质
27.【山西运城2017届上学期期中，22】已知函数（）．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．
【答案】（1）切线方程为（2）当时，；当时，；
当时，．（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）由点在曲线，可解得，求导，可得切线的斜率为0，进而得到切线方程（2）求导，对分，，，四种情况分类讨论，分别求出在不同情况下在区间上的最大值；（3）将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．
试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得，
因为，所以切线的斜率为0，
所以切线方程为．
（2）因为．
①当时，，，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；
③当，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
④当，即时，，，
函数在上单调递减，则．
综上，当时，；
当时，；
当时，．
（3）不妨设，
因为，
所以，，
可得，，
要证明，即证明，也就是．
因为，
所以即证明，
即，
令，则，于是，
令（），
则，
故函数在上是增函数，
所以，即成立，所以原不等式成立．
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，转化思想，属中档题第二问中问题转化为，进而构造新函数（）是解题的关键，
28.【河北武邑中学2017届高三上学四调，20】（本小题满分12分）已知函数．
(Ⅰ)若函数的图像在处的切线不过第四象限且不过原点，求的取值范围；
(Ⅱ)设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求出切线方程为，由切线不过第四象限且不过原点即斜率大于，在轴上的截距大于得解；（Ⅱ）可求得，设（），利用在上不单调，可得，从而可求得，再利用条件仅在处取得最大值，可求得
，两者联立即可求得的范围．
试题解析：(Ⅰ)，，………………2分
所以函数图像在的切线方程为，即，……………3分
由题意知，，的取值范围为，………………5分
(Ⅱ)，………………6分
设，
若在上不单调，则，………………7分
，，………………9分
同时仅在处取得最大值，所以只要.
即可得出：………………11分
则的范围：………………12分
考点：利用导数研究函数在某点处的切线方程；利用导数求函数闭区间上的最值.
【思路点晴】本题考查利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查构造函数与转化思想的综合运用，属于难题；利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.
29.【河北武邑中学2017届高三上学四调，22】（本小题满分12分）．
(Ⅰ)若,求函数的单调区间；
(Ⅱ)若,求证:
【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为：，，单调递减区间为：；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求导，令，可得到单调区间；（Ⅱ），由函数单调性可知，在取极大值，也为最大值，，因此，构造辅助函数，求导，求出的单调区间及最大值，，可知，，即可证明.
试题解析：(Ⅰ)，，
则，………………1分
的解集为，：的解集为，………………2分
函数的单调递增区间为：，，
函数的单调递减区间为：：………………4分
(Ⅱ)证明：，故由可知，在上，函数单调递增，在，单调递减，在时取极大值，并且也是最大值，即………………7分
又，，………………8分
设，，………………9分
的单调增区间为，单调减区间为，
，………………10分
，，，，
………………12分
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数在闭区间上的最值.
30.【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，21】（本小题满分12分）
已知函数.
⑴若且，求；
⑵求曲线在点处的切线方程；
⑶记函数在上的最大值为，且函数在（）上单调递增，求实数的最小值.
【答案】（1）；⑵；⑶.
试题解析：⑴，……………………1分
∵，∴，∵，∴，
∴.…………………………………………3分
∴.………………4分
⑵∵，∴，又，∴所求切线方程为……7分
⑶当时，，，
∴.…………………………………………………………9分
由得.……………………10分
又函数在（）上单调递增，
∴，∴，∴.………………12分
考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的图象与性质.
【方法点晴】本题考查导数的三角恒等变换、三角函数的图象与性质，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题先化简，又
.第二小题由，又
切线方程为.第三小题由先求出.由
.又函数在（）上单调递增.
31.【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，22】（本小题满分12分）
已知函数.
⑴讨论函数的单调性；
⑵若存在两个极值点，且是函数的极小值点，求证：.
【答案】⑴当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；⑵证明见解析.
【解析】
试题分析：⑴求导，在对导函数分析可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；⑵化简
，由函数存在两个极值点（）是方程的两根
，，且，由
，设，利用导数工具可得
.
试题解析： 函数的定义域为，
⑴，
当，恒成立，∴函数在上单调递增；
当时，令，得或（不合题意，舍去），
则当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增.…………5分
⑵∵，∴，
∵函数存在两个极值点，设两个极值点为，
∴是方程的两根，∴，，且，
∵函数开口向上，与轴交于两点，是函数的极小值点，
∴，从而，
由，得，，，
设，
∵，∴在上递增，
∴，∴.……………………………………12分
考点：1、函数的单调性；2、函数的极值；3、函数与不等式.
【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的极值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.
32.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，21】（本小题满分12分）已知函数，且在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
试题分析：（1）首先求得，然后利用导数的几何意义建立关于的方程组求解即可；（2）首先根据函数的单调性证得，由此将问题转化为证明，从而令＝，然后通过求导研究函数
的单调性，并求得其最值，进而使问题得证．
试题解析：（1），，且，
以点为切点的切线方程为
即： …………………2分
由②得，代入①得：
又为单调递增函数……………………4分
所以可得； ……………………………5分
（2）由（1）可知，
思路：易知：，证明如下：
令
则
当时，
,即： ……………………………7分
思路：易知：，证明如下：
，
显然，当，
，即
又，（当时取等号）. ……………………7分
要证：，即：
只需证：，即证：
令
则，
令……………………………9分
则（只有时，等号成立）
在为增函数，
在为增函数，
，即.…………………………12分
考点：导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明
【思路点睛】研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，证明不等式时，可构造一个新函数，将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题，即利用求导方法求单调区间，比较函数值与0的关系．
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