数学理·广东省揭阳市揭西县河婆中学2017届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）+Word版含解析 18页

‎2016-2017学年广东省揭阳市揭西县河婆中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，1）‎ ‎2．“lgx＞lgy”是“10x＞10y”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．函数f（x）=的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎4．已知=（2，1），=（﹣1，k），如果∥，则实数k的值等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣ D．‎ ‎5．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．已知曲线y=x2﹣2上一点P（1，﹣），则过点P的切线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．135° D．150°‎ ‎7．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（　　）‎ A．140种 B．34种 C．35种 D．120种 ‎8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎9．已知函数f（x）=2x+log2x，g（x）=2xlog2x+1，h（x）=2xlog2x﹣1的零点分别为a，b，c，则 a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（　　）‎ A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（cosα）＜f（cosβ） C．f（cosα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）‎ ‎11．若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，﹣3] B．[﹣6，﹣4] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎12．设A，B，C，D，是平面直角坐标系中不同的四点，若=λ（λ∈R），且+=2，则称C，D是关于A，B的“好点对”．已知M，N是关于A，B的“好点对”，则下面说法正确的是（　　）‎ A．M可能是线段AB的中点 B．M，N 可能同时在线段BA延长线上 C．M，N 可能同时在线段AB上 D．M，N不可能同时在线段AB的延长线上 ‎　‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为　　．‎ ‎14．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式中的常数项，则a3•a7=　　．‎ ‎16．定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=log2x，x∈[1，22017]，则函数f（x）=log2x在∈[1，22017]上的“均值”为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎18．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．‎ ‎（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；‎ ‎（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]，上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．‎ ‎（1）求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．‎ ‎21．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）＞3；‎ ‎（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市揭西县河婆中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，1）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：log2x＜1=log22，‎ 解得：0＜x＜2，即A=（0，2），‎ 由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，‎ 解得：﹣2＜x＜1，即B=（﹣2，1），‎ 则A∩B=（0，1），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．“lgx＞lgy”是“10x＞10y”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】根据已知条件lgx＞lgy，求出x，y的范围，再根据指数的性质根据10x＞10y，求出x，y的范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解；‎ ‎【解答】解：∵lgx＞lgy，‎ ‎∴x＞y＞0，‎ ‎∵10x＞10y，‎ ‎∴x＞y，‎ ‎∴lgx＞lgy⇒10x＞10y，反之则不能，‎ ‎∴lgx＞lgy是“10x＞10y”的充分不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的值域．‎ ‎【分析】分子、分母同除以分子，出现积定、和的最值，利用基本不等式解得．‎ ‎【解答】解：①当x=0时，f（x）=0‎ ‎②当x＞0时，‎ 当且仅当，即x=1时取等号．‎ ‎∴x=1时，函数的最大值为 故选项为B ‎　‎ ‎4．已知=（2，1），=（﹣1，k），如果∥，则实数k的值等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣ D．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．‎ ‎【分析】直接由向量共线的坐标表示列式求解k的值．‎ ‎【解答】解：∵=（2，1），=（﹣1，k），∥，‎ ‎∴2k﹣1×（﹣1）=0，‎ 解得k=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，‎ 直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，‎ 由，解得，‎ 即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，‎ 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，‎ 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，‎ 由，解得，‎ 即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，‎ 则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知曲线y=x2﹣2上一点P（1，﹣），则过点P的切线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．135° D．150°‎ ‎【考点】导数的运算；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】先求出函数的导数f′（x），利用导数的几何意义求出切线的斜率k=f′（1），然后利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角．‎ ‎【解答】解：函数的导数为f′（x）=x，则函数在点P处的切线斜率为k=f′（1）=1．‎ 设切线的倾斜角为θ，则tanθ=1，所以θ=45°．‎ 即过点P的切线的倾斜角为45°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（　　）‎ A．140种 B．34种 C．35种 D．120种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：分3步来计算，‎ ‎①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；‎ ‎②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，‎ ‎③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，带入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．‎ ‎【解答】解：，，；‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=；‎ ‎∴由平面向量基本定理得：；‎ 解得；‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=2x+log2x，g（x）=2xlog2x+1，h（x）=2xlog2x﹣1的零点分别为a，b，c，则 a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】利用函数的零点定义、对数函数的单调性即可判断出．‎ ‎【解答】解：f（x）=2x+log2x=0，可得log2x=﹣2x，‎ g（x）=2xlog2x+1=0，可得log2x=﹣2﹣x，‎ h（x）=2xlog2x﹣1=0，可得log2x=2﹣x，‎ ‎∵函数f（x）=2x+log2x，g（x）=2xlog2x+1，h（x）=2xlog2x﹣1的零点分别为a，b，c，‎ ‎∴c＜b＜a，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（　　）‎ A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（cosα）＜f（cosβ） C．f（cosα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据偶函数的性质和条件判断出在[2，3]上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在[0，1]上是增函数，根据α 和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．‎ ‎【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，‎ 又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），‎ 即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，‎ ‎∴f（x）在[0，1]上是增函数，‎ ‎∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，‎ ‎∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，‎ 则f（cosα）＜f（cosβ）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，﹣3] B．[﹣6，﹣4] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间．‎ ‎【分析】由函数f（x）为R上的偶函数知，只需考察f（x）在（0，+∞）上的单调性，在[3，+∞）上为增函数，在[1，2]上为减函数，则只需函数y=x2+ax+2的对称轴，由此求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=x2+a|x|+2，‎ ‎∵f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+2=x2+a|x|+2=f（x），‎ ‎∴f（x）为实数集上的偶函数，由f（x）=x2+a|x|+2在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，‎ 知f（x）在[3，+∞）上为增函数，在[1，2]上为减函数，‎ ‎∴函数y=x2+ax+2（x＞0）的对称轴，得a∈[﹣6，﹣4]．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．设A，B，C，D，是平面直角坐标系中不同的四点，若=λ（λ∈R），且+=2，则称C，D是关于A，B的“好点对”．已知M，N是关于A，B的“好点对”，则下面说法正确的是（　　）‎ A．M可能是线段AB的中点 B．M，N 可能同时在线段BA延长线上 C．M，N 可能同时在线段AB上 D．M，N不可能同时在线段AB的延长线上 ‎【考点】命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】利用=λ中，点C的相对位置与λ的取值范围去求解，点C在线段AB上（不含端点），λ∈（0，1），点C在线段AB延长线上（不含端点），λ＞1．‎ ‎【解答】解：设A，B，C，D，是平面直角坐标系中不同的四点，若=λ（λ∈R），且+=2，对于选项A，M是线段AB的中点，‎ 则λ=2， =， =，0，故A选项错误；‎ 对于B和D，若M，N同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒+＜2，‎ 故M，N不可能同时在线段AB的延长线上，故D选项正确，B项错；‎ 对于选项C，若M，N同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒且+＞2，C选项错误；‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2，‎ ‎∴=1‎ ‎∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）‎ 则的最小值是 ‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是　[﹣2，1）　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，‎ 所以f′（x）=3x2﹣3．‎ 令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；‎ 因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），‎ 所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，‎ 所以结合二次函数的性质可得：a≤1＜6﹣a2，‎ 且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，‎ 联立解得：﹣2≤a＜1．‎ 故答案为：[﹣2，1）．‎ ‎　‎ ‎15．已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式中的常数项，则a3•a7=　36　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】由条件利用二项式的展开式的通项公式求得展开式中的常数项，可得等比数列{an}的第5项，再根据a3•a7= 求得结果．‎ ‎【解答】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为 Tr+1=•x4﹣2r，‎ 令4﹣2r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为=6，即a5=6．‎ 根据{an}为等比数列，可得a3•a7==36，‎ 故答案为：36．‎ ‎　‎ ‎16．定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=log2x，x∈[1，22017]，则函数f（x）=log2x在∈[1，22017]上的“均值”为　　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．‎ ‎【分析】求出f（x）的值域，则M为最大值与最小值的平均数．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=log2x在[1，22017]在是增函数，‎ f（1）=0，f在[1，22017]上的值域为[0，2017]，‎ ‎∴M==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinxcosx）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以，f（x）的最小正周期=π．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，‎ 由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，‎ ‎∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，‎ 当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，‎ 所以，所求的最大值为，最小值为．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．‎ ‎（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；‎ ‎（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]，上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用f（x）的定义域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求实数a的值．‎ ‎（2）可以根据函数f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2．开口向上，对称轴为x=a，可以推出a的范围，利用函数的图象求出[1，a+1]上的最值问题，对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，从而求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，…‎ ‎∴f（x）在[1，a]是单调减函数，…‎ ‎∴f（x）的最大值为f（1）=6﹣2a；f（x）的最小值为f（a）=5﹣a2…‎ ‎∴6﹣2a=a，且5﹣a2=1‎ ‎∴a=2…‎ ‎（2）函数f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2．开口向上，对称轴为x=a，‎ ‎∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，‎ ‎∴a≥2，a+1≥3，‎ f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，‎ f（x）在x=a处取得最小值，f（x）min=f（a）=5﹣a2，‎ f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=6﹣2a，‎ ‎∴5﹣a2≤f（x）≤6﹣2a，‎ ‎∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，‎ ‎∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，解得：﹣1≤a≤3；‎ 综上：2≤a≤3．‎ ‎　‎ ‎19．已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．‎ ‎（1）求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．‎ ‎【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项 ‎（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n﹣7，则|an|=|3n﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求 ‎【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d 由题意可得，‎ 解得或 由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7‎ ‎（II）当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比 当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件 故|an|=|3n﹣7|=‎ 设数列{|an|}的前n项和为Sn 当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5‎ 当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）‎ ‎=5+=，当n=2时，满足此式 综上可得 ‎　‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．‎ ‎（II）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．‎ ‎【解答】（I）证明：以D为坐标原点，‎ 分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ 设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），‎ ‎=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，‎ 设是平面BDE的一个法向量，‎ 则由，得，‎ 取y=﹣1，得．‎ ‎∵=2﹣2=0，∴，‎ 又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，‎ ‎（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，‎ 又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．‎ 设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，‎ ‎∴cosθ=cos＜，＞=．‎ 故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）解：∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），‎ ‎∴=0，∴PB⊥DE，‎ 假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），‎ 则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），‎ 由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，‎ ‎∴∈（0，1），此时PF=，‎ 即在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；‎ ‎（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎∴f（1）=b， =a﹣b，‎ ‎∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），‎ ‎∵切线过点（3，0），‎ ‎∴b=2a，‎ ‎∴，‎ ‎①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，‎ ‎②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．‎ ‎（2）等价方程在（0，2]只有一个根，‎ 即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，‎ 令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，‎ ‎∴‎ ‎①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，‎ 当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，‎ ‎∴h（1）=0或h（2）＜0，‎ ‎∴a=﹣1或．‎ ‎②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，‎ ‎∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，‎ ‎∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，‎ ‎∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，‎ ‎③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，‎ ‎∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，‎ ‎∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，‎ 故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：‎ ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，‎ ‎∴（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==，‎ ‎∵|AB|=，‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos．‎ ‎∵α∈[0，π），‎ ‎∴或．‎ ‎∴直线的倾斜角或．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）＞3；‎ ‎（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；‎ ‎（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣2时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x+x+2=﹣x+3，f（x）＞3，即﹣x+3＞3，解得x＜0，‎ 又x＜﹣2，∴x＜﹣2；‎ 当时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，f（x）＞3，即﹣3x﹣1＞3，解得，又，∴；‎ 当时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，f（x）＞3，即x﹣3＞3，解得x＞6，又，∴x＞6．‎ 综上，不等式f（x）＞3的解集为．‎ ‎（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，‎ ‎∴．‎ ‎∵∃x0∈R，使得，‎ ‎∴，‎ 整理得4m2﹣8m﹣5＜0，‎ 解得．‎ 因此实数m的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日