安徽省安庆市桐城市某中学2019-2020学年高二考试数学试卷 12页

数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 2. 如图，一行人从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的体育活动中心参加志愿者活动，则这位行人到体育活动中心可以选择的最短路径条数为 A. 24 B. ‎9 ‎C. 12 D. 18‎ 3. 在的展开式中，的系数等于 A. B. C. D. ‎ 4. 若展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 A. 20 B. C. 160 D. ‎ 5. 除以88的余数是　　‎ A. B. C. 1 D. 87‎ 6. 若，则 A. 5 B. ‎7 ‎C. 6 D. 4‎ 7. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则等于 A. B. C. D. ‎ 8. 设，则的值是 A. 211 B. ‎243 ‎C. 242 D. 31‎ 9. 设随机变量的分布列为2，3，4，，则等于 A. B. C. D. ‎ 10. 已知随机变量X的分布列为，，2，，则 A. B. C. D. ‎ 11. 已知随机变量服从正态分布，则 A. 4 B. ‎6 ‎C. 11 D. 8‎ 12. 以下四个命题中是真命题的是 A. 对分类变量x与y的随机变量的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于‎0 ‎C. 若数据，，，，的方差为1，则，，，，的方差为2 ‎ D. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于______．‎ 2. 若，则的值是______．‎ 3. 有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有______种．‎ 4. 在张家口市的高二期末考试中，全市学生的数学成绩，已知，则从全市学生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 5. 解不等式：； 已知，求． ‎ 6. 求的近似值．精确到小数点后三位 ‎ 7. 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ 个不同的小球放入3个不同的盒子； 个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； 个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； 个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有1个空盒． ‎ 8. ‎2018年12月18日‎，庆祝改革开放40周年大会在北京召开，习近平在会上强调“改革开放40‎ 年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大，由弱变强，在稳定增长，促进创新增加就业，改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要力量，支持民营企业发展是党中央的一贯方针，这一点，丝毫不会动摇”在习总书记讲话的鼓舞下，驻马店某民营企业与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议，现邀请甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利80元，且每卖出一件产品厂家再返利2元：乙厂家无固定返利，卖出40件以内含40件的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元，分别记录其十天的销售件数，得到如下频数表： 甲厂家销售件数频数表 销售件数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙厂家销售件数频数表 销售件数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎2‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率． 若将频率视作概率，回答以下问题： 记乙厂家的日返利额为单位：元，求X的分布列和数学期望； 某商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由． ‎ 1. 小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响．第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为． 求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率； 记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望． ‎ 2. 为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区． 在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：‎ 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 个体经营户 ‎100‎ ‎50‎ ‎150‎ 合计 ‎140‎ ‎60‎ ‎200‎ 写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法； 根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； 以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择1家企事业单位，3家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值． 附： ‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力． 把工作分成3组，然后安排工作方式即可． 【解答】 解：4项工作分成3组，可得：， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 故选：D． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段， 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有种走法． 同理从F到G，最短的走法，有种走法． 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法． 故选：D． 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有种走法，利用乘法原理可得结论． 本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：在的展开式中， 项的系数为． 故选：D． 根据题意，利用组合数的性质即可得出结果． 本题考查了二项式定理、组合数的性质与应用问题，是基础题目． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：若展开式中二项式系数之和为64，则，， 故展开式的通项公式为，，1，，6， 令，， 故展开式中常数项为， 故选：C． 由展开式中二项式系数之和为64，可得，则在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0求得r的值，即可求得展开式中常数项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查，属于基础题． 利用二项式定理化简表达式，转化为的形式，然后通过二项式定理求解余数． 【解答】 解： ， 显然第一项是余数，其余各项都能被88整除， 故选C． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， ， 化简得， 解得． 故选：A． 直接利用排列与组合数公式，进行化简计算即可． 本题考查了排列与组合的计算与化简问题，是基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查组合数公式、古典概型和条件概率计算公式等知识，属于基础题． 利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A发生的概率和事件A、B同时发生的概率，再利用条件概率公式加以计算，即可得到的值． 【解答】 解：事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”， 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， 取出的两个球颜色不同的概率为． 又取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为， ． 故选B． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， 由二项式定理可知，，均为正数，，，‎ 均为负数， 令可得： ，时，． ． 故选：A． 由二项式定理可知，，，均为正数，，，均为负数，可得，把，代入已知式子计数可得结果． 本题考查二项式定理，赋值法的应用，考查计算能力，属于中档题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用，属于基础题． 由随机变量的分布列的性质得，从而得到a，由此能求出 【解析】 解：随机变量的分布列为2，3，4，， ， 解得， ． 故选D． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：随机变量X的分布列为，，2，， ， 解得， ． 故选：A． 利用离散型随机变量分布列的概率之和为1，求出a的值，由此能求出的值． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量分布列的概率之和为1的性质的合理运用． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：随机变量服从正态分布，， 则． 故选：D ‎． 由题意可直接得到，再根据随机变量的方差的性质，即可求出． 本题考查正态分布密度函数的特点，考查方差的性质，是基础题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查回归分析，属于基础题． 逐项分析四个选项即可得出答案． 【解答】 解：A，对分类变量x与y的随机变量的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大，故错误； B，根据越趋近于1，两个随机变量的相关性越强，故错误； C，若两组数据满足，则方差满足， 所以若数据，，，，的方差为1，则，，，，的方差为4，故错误； D，用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故正确． 故选：D． 13.【答案】252 ‎ ‎【解析】解：在的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ，解得， 中，，，1，，8， 当，即时，常数项为． 故答案为：252． 根据展开式中所有二项式系数的和等于，求得在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 14.【答案】253 ‎ ‎【解析】解：令，则． 又展开式的通项为，，1，，7， ，， ． 故答案为：253． 首先对已知赋值，令求得的值，然后令，求得的值，从而求得结果． 本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是进行求解．本题属于基础题型． 15.【答案】72 ‎ ‎【解析】解：3人坐6个座位，坐法共有 其中空坐各不相邻的坐法为 ‎ 三个空坐相连的坐法 满足条件的坐法共有 故答案为：72． 可以先做出3个人在6个位置的所有做法，再减去不是恰有两个空座位相邻的结果，其中空坐各不相邻的坐法和三个空坐相连的坐法． 本题考查的是排列问题中的相邻问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，本题也可以直接表示出所有的满足条件的做法． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，， 又，， ， 则． 他的数学成绩小于110分的概率为． 故答案为：． 由已知可得，求出，得，再由对立事件的概率性质得答案． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布密度函数的特征，属于基础题． 17.【答案】解：因为，，， 所以不等式可化为， 解得， 又，， 所以不等式的解集为3，． 因为，，， 所以， 可化为，， 解得舍去或2， 所以． ‎ ‎【解析】利用阶乘式代入直接化简，解不等式即可； 先将给的方程套用组合数的阶乘式化简，解方程求出m的值，然后计算结果． 本题考查了排列数、组合数公式的应用，以及不等式的与方程的解法，同时也考查了学生的数学运算等核心素养．属于基础题． 18.【答案】解：． ‎ ‎【解析】利用二项式定理将其展开，再取前3项即可． 本题是考查二项式展开式的应用，难点是项数的舍弃． 19.【答案】解：个不同的小球放入3个不同的盒子，每个小球都有3‎ 种可能，利用乘法原理可得不同的方法有； 个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把5个小球分组，有两种分法：2、2、1；3、1、1； 再放入3个不同的盒子，故不同的方法共有； 个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，不同的方法共有； 个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把5个小球分2组，有两种分法：3、2；4、1； 再放入3个不同的盒子，故不同的方法共有． ‎ ‎【解析】个不同的小球放入3个不同的盒子，每个小球都有3种可能，利用乘法原理可得； 先把5个小球分组，有两种分法：2、2、1；3、1、1；再放入3个不同的盒子； 个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，利用插空法即可求出． 先把5个小球分2组，有两种分法：3、2；4、1；再放入3个不同的盒子． 本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素． 20.【答案】解：记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A， 则这两天的销售量都大于40的概率为 ； 设乙产品的日销售量为a，则 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 的所有可能取值为：152，156，160，166，172； 则X的分布列为 X ‎152‎ ‎156‎ ‎160‎ ‎166‎ ‎172‎ P 数学期望为 元； 甲厂家日平均销售量为 ， 甲厂家的日平均返利额为元， 由知乙厂家的日平均返利额为元，且元元， 因此推荐该商场应选择甲厂家长期销售． ‎ ‎【解析】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题． 根据题意，直接计算“抽取的两天销售量都大于40”的概率值即可； ‎ 由题意求得X的所有可能取值，列出分布列，求出数学期望值； 计算甲厂家日平均销售量和返利额，与乙厂家的日平均返利额比较，即可得出结论． 21.【答案】解：小陈同学三次投篮都没有命中的概率为： ， 所以该同学三次投篮至少命中一次的概率为 ； 由题意知随机变量的可能取值为0，1，2，3； 则； ；  ； ； 故随机变量的概率分布为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以数学期望． ‎ ‎【解析】求出小陈三次投篮都没有命中的概率，再利用对立事件计算所求的概率值； 由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出的概率分布，计算数学期望值． 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题． 22.【答案】解：分层抽样，简单随机抽样抽签亦可分 将列联表中的数据代入公式计算得 ， 所以，有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”分 以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记 顺利的概率为，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为． X可取0，1，2，3，4． ， ， ， ， ‎ ‎． X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 分 ‎ ‎【解析】真假判断抽样的方法即可． 利用联列表求出，然后判断即可． 推出X可取0，1，2，3，求解概率，然后求解分布列，得到期望即可． 本题考查离散型随机变量的期望以及分布列，独立检验思想的应用，考查计算能力． ‎