命题角度1-3 数列的单调性与最值（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 6页

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度3：数列的单调性与最值 ‎1.已知数列满足：.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，为数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求及实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件和递推关系式求解；（2）先用裂项相消法求出,再建立不等式求解.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵对于任意的正整数，恒成立，又易知是增函数，‎ ‎∴，即.‎ 考点：数列及求和方法等有关知识的综合运用．‎ ‎2.数列、满足：．‎ ‎（1）若的前项和，求、的通项；‎ ‎（2）若，数列是单调递减数列，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】‎ 考点：和项求通项，数列单调性 ‎【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎3.设数列的前项和为，且首项．‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）若为递增数列，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，可得，根据等比数列的定义即可证明数列为等比数列；（2）当时，，利用数列为递增数列，即可求的取值范围.‎ 考点：等比数列的定义及等比数列的性质的应用.‎ ‎4.已知各项均不相等的等差数列‎{an}‎的前五项和S‎5‎‎=20‎，且a‎1‎‎,a‎3‎,‎a‎7‎成等比数列.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式； ‎ ‎（2）若Tn为数列‎{‎1‎anan+1‎}‎的前n项和，且存在n∈‎N‎*‎，使得Tn‎-λan+1‎≥0‎成立，求实数λ的取值范围.‎ ‎【答案】（1）an‎=n+1‎；（2）‎(-∞,‎1‎‎16‎]‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意列出公差d，首项a‎1‎的不等式组，求出a‎1‎，d，根据等差数列的通项公式求解；（2）由（1）可知‎1‎anan+1‎‎=‎1‎‎(n+1)(n+2)‎=‎1‎n+1‎-‎‎1‎n+2‎，求出Tn，若存在n∈N*‎，使得Tn‎-λan+1‎≥0‎成立，只需λ≤n‎2‎‎(n+2)‎‎2‎=‎‎1‎‎2(n+‎4‎n+4)‎，根据均值不等式求得实数λ的取值范围．‎ 试题解析：（1）设数列‎{an}‎的公差为d，则‎{‎‎5a‎1‎+‎5×4‎‎2‎d=20,‎‎(‎a‎1‎‎=a‎1‎(a‎1‎+6d),‎即‎{‎a‎1‎‎+2d=4,‎‎2d‎2‎=a‎1‎d,‎ 又因为d≠0‎，所以‎{‎a‎1‎‎=2,‎d=1,‎ 所以an‎=n+1‎．‎ ‎（2）因为‎1‎anan+1‎‎=‎1‎‎(n+1)(n+2)‎=‎1‎n+1‎-‎‎1‎n+2‎，‎ 所以Tn‎=‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+…+‎1‎n+1‎-‎1‎n+2‎=‎1‎‎2‎-‎1‎n+2‎=‎n‎2(n+2)‎．‎ 因为存在n∈N*‎，使得Tn‎-λan+1‎≥0‎成立，‎ 所以存在n∈N*‎，使得n‎2(n+2)‎‎-λ(n+2)≥0‎成立，‎ 即存在nN*‎，使λ≤‎n‎2‎‎(n+2)‎‎2‎成立．‎ 又n‎2‎‎(n+2)‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2(n+‎4‎n+4)‎，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎1‎‎2(n+‎4‎n+4)‎‎≤‎‎1‎‎16‎‎（当且仅当n=2‎时取等号），所以λ≤‎‎1‎‎16‎，即实数λ的取值范围是‎(-∞,‎1‎‎16‎]‎．‎ 考点：等差数列的通项公式与裂项法求和.‎ ‎5.在等差数列an和等比数列bn中，a‎1‎‎=1,b‎1‎=2,bn>0‎n∈‎N‎*‎,且b‎1‎‎,a‎2‎,‎b‎2‎成等差数列，a‎2‎‎,b‎2‎,a‎3‎+2‎成等比数列.‎ ‎（1）求数列an,bn的通项公式；‎ ‎（2）设cn‎=3bn-2‎，数列cn的前n项和为Sn，若‎1‎‎3‎Sn‎+2n+6‎‎>an+t‎2‎+2t对所有正整数n恒成立，求常数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）an‎=3n-2,bn=2⋅‎‎3‎n-1‎；（2）的取值范围是‎-3,1‎‎.‎.‎ ‎（2）‎cn‎=3bn-2=2⋅‎3‎n-2,∴Sn=c‎1‎+c‎2‎+⋯+cn=2‎3‎‎1‎‎+‎3‎‎2‎+⋯+‎‎3‎n-2n=‎3‎n+1‎-2n-3,‎ ‎∴‎1‎‎3‎Sn‎+2n+6‎>an+t‎2‎+2t即‎3‎n‎+1>3n-2+t‎2‎+2t恒成立，即t‎2‎‎+2t<‎3‎n‎-3n+3‎min.‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 令fn=‎3‎n-3n+3‎，则fn+1‎-fn=2⋅‎3‎n-3>0‎，所以fn单调递增，‎ 故t‎2‎‎+2t