数学卷·2019届江苏省无锡市普通高中高二上学期期末考试（2018-01） 9页

‎ 江苏无锡市2017-2018学年第一学期期末考试高二数 学试卷 ‎ ‎ 注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．‎ 命题单位：滨湖区教研发展中心 审核：无锡市教育科学研究院 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）‎ ‎1．直线的倾斜角的大小为 ▲ ．‎ ‎2．（文）命题“对任意的”的否定是 ▲ ．‎ ‎（理）设，，且//，则实数 ‎ ▲ ．‎ ‎3．如图，已知正方体的棱长为a，则异面 ‎ 直线与所成的角为 ▲ ．‎ ‎4．以为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．‎ ‎5. 已知命题: 多面体为正三棱锥，命题:多面体为正四面体，则命题是命题的 ▲ 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）‎ ‎6．若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为，则它的体积为 ▲ ．‎ ‎7. 函数的单调递减区间为 ▲ ．‎ ‎8．若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为 ▲ ．‎ ‎9．如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 ▲ ． ‎ ‎10．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，则 的最小值是 ▲ ． ‎ ‎11. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦 点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点 ‎，则光线所经过的总路程为 ▲ ． ‎ ‎12. 已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：‎ ‎ ① 若，则； ‎ ‎② 若，则；‎ ‎③ 若，则； ‎ ‎④ 若，，，，则. ‎ 其中所有正确命题的序号是 ▲ ．‎ ‎13．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为 ▲ ． ‎ ‎14．在平面直角坐标系中，已知是函数图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的横坐标为，则的最大值是 ▲ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 设直线，，．‎ ‎（1）若直线，，交于同一点，求m的值；‎ ‎（2）设直线过点，若被直线，截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程．‎ ‎16. （本题满分14分）‎ 如图，在四面体中，已知⊥平面，，，为的中点． ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若为的中点，点在直线上，且，‎ 求证：直线//平面．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ ‎（文科班选做此题）已知，命题{|方程表示焦点在y轴上的椭圆}，命题{|方程表示双曲线}，若 命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围．‎ ‎（理科班选做此题）如图，已知正方形和矩形 所在平面互相垂直，，．‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎18. （本题满分16分）‎ 已知圆C的圆心为，过定点，且与轴交于点B，D．‎ ‎（1）求证：弦长BD为定值；‎ ‎（2）设，t为整数，若点C到直线的距离为，求圆C的方程．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知函数（a为实数）.‎ ‎（1） 若函数在处的切线与直线平行，求实数a的值；‎ ‎（2） 若，求函数在区间上的值域；‎ ‎（3） 若函数在区间上是增函数，求a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分16分） ‎ 设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与交于，两点，点坐标为，若直线，的斜率之和为定值3，求证：直线必经过定点，并求出该定点的坐标．‎ 无锡市2017年秋学期期末考试参考答案及评分标准 2017.12‎ 高二数学 一、填空题 (每空5分，共70分)‎ ‎1. 30° 2. （文）（理）8 3. 60° 4. ‎ ‎5. 必要不充分 6. 7. 8. 9. ‎ ‎10. 7 11.12 12. ②③ 13. 14. ‎ 二、解答题（共90分）‎ ‎15. 解：（1）解，得交点． …………………………………3分 ‎ 直线交于同一点，则点C在直线上， ‎ 则 解得．…………………………………………………6分 ‎ （2）设上一点A(a，12 a)，则点A关于M（2，0）的对称点B (4a，2 a1) ．‎ ‎ ………………………………………………………………………………………8分 由点B在上，代入得，∴a=，∴．………11分 直线l过两点A、M，斜率为11，∴ 直线l的方程为． ………14分 ‎16. 证明：(1) ∵PA=AC，D为PC的中点，∴AD⊥PC． …… ………………………1分 ‎∵ PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴ PA⊥BC． ‎ ‎∵ ∠ACB=90°，BC ⊥AC，且PAAC =A， 平面 ‎∴ BC⊥平面PAC． ……………………………………………………………………3分 ‎∵ AD平面PAC， ∴ BC ⊥AD．……………………………………………………4分 且平面，‎ ‎∴AD⊥平面PBC ． ………………………………… …………………………………6分 ‎∵ BD平面PBC，∴AD⊥BD ． ……………………………………………………7分 ‎（2） 连接DM，设BD与CM交于点G，连接N G，‎ ‎∵ D、M为中点，∴DM //BC且，………………………………………9分 ‎∴ DG:GB=DM:BC=1:2．‎ ‎∵ AN:NB=1:2，∴AN:NB= DG:GB ．………………………………………………11分 ‎∴ △BNG∽△BAD，∴AD//NG，‎ ‎∵平面CMN，平面CMN，‎ ‎∴ 直线AD//平面CMN． …………………………………………………………14分 ‎17. （文科）解：命题p：，； …………………………2分 ‎ 命题q：（）（）<0, ,………………………………………4分 ‎ 命题p且q: ． ………………………………………………………………6分 ‎ 由命题“”为真，“”为假，则p、q一个为真命题，一个为假命题，……8分 ‎ 则或………………………………………………12分 ‎ 解得或．‎ ‎ 所以实数m的取值范围是． ………………………………………14分 ‎17. （理科）解：正方形和矩形所在平面互相垂直，‎ 分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，0），B（，0，0）， C（，，0）， D（0，，0），‎ E（, ，1），F（0，0，1）．…………………………………………………1分 ‎（1）设平面CDE的法向量为平面BDE的法向量， ………2分 ‎ 由 解得. ………………………………………………4分 ‎ ∴ ，………………………………………………………6分 ‎ ∴ 二面角 B—DE—C等于60°． ……………………………………………………7分 ‎（2） …………………………………………………8分 ‎， …………………………………………10分 ‎ ．设点到平面BDF的距离为h，则 ……………12分 ‎ ∴ ．所以点F到平面BDE的距离为． ……………………14分 ‎18. 解：（1）圆C的方程：， ………………………3分 ‎ 令y=0，得，故，，．…………………6分 ‎ 弦长M N==2 a为定值．……………………………………………………7分 ‎（2）∵点C到直线的距离为，………………9分 ‎ ∴ =，解得， t=2或t=4．……………………………13分 ‎ 由为整数，∴ t=2或t=4． …………………………………………………14分 ‎ ∴ 圆C的方程为和． ………16分 ‎19. 解：(1)，‎ ‎，解得． ……………………………………4分 ‎（2）时，，‎ ‎，令，解得或，………………………………6分 ‎2‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 减函数 极小值 增函数 ‎………………………8分 又，，，所以在上的值域为．……10分 ‎（3），由在区间上是增函数，‎ 则对于1≤≤3恒成立，所以．…………12分 因，故，记，则，……………………14分 而函数在上为减函数，则，所以4．‎ 所以的取值范围是. ………………………………………………………16分 ‎20. 解：（1）设点P、M的坐标分别为 (x，y)、 (x0，y0)，由，得 ‎ ∴ ……………………………………………………………………3分 由点M在圆上，故，代入得．…………5分 ‎ ∴ 点P的轨迹C的方程为 ． ………………………………………6分 ‎（2）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为：，‎ 设A，B两点的坐标分别为 (x0，y0)、(x0，y0)，‎ 由题意，得，解得，‎ 所以直线l的方程为：．……………………………………………………8分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，与C联立，‎ ‎ 消元得． ‎ ‎ 设A，B两点的坐标分别为 (x1，y1)、 (x2，y2)，‎ 则，（）． ……………………………………10分 由题意，得．‎ ‎ 将y1=kx1+b和y2=kx2+b代入上式，可得, ‎ ‎ 所以．（） ……………………………………………12分 ‎ 将（）代入（），化简得，解得，‎ ‎ 代入直线l方程，得． ……………………14分 ‎ 不论b怎么变化，当=0即x=时，． …… ………………… 15分 综上所述，直线l恒过定点． ………………………………………… 16分