宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第四次月考数学（理）试卷 15页

数学试卷（理科）‎ 一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知集合，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2．下列函数中为偶函数且在上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎3．“”是“”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎，充分性；‎ 或 或，故，必要性.‎ 故选：C ‎4.已知，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎5．已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎6．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则ABC的面积等于（ ）‎ A.或 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用余弦定理得到，代入面积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 利用余弦定理得到：或（舍去）‎ ‎ ‎ 故选：D ‎.7.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数 过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.‎ ‎8.已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系　　‎ A．两两垂直 B．两两相交 C．两两平行 D．两两异面 ‎【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；‎ 如图2，可得、、可能两两相交；‎ 如图3，可得、、可能两两异面；‎ 故选：C．‎ ‎9.设函数若方程有且只有一个根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程有且只有一个根，等价于图像有一个交点，画出函数图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ 方程有且只有一个根，等价于图像有一个交点.‎ 画出函数图像：‎ 根据图像知： ‎ 故选：B ‎10...关于函数有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ‎③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A． ‎①②④ B．②④ C．①④ D．①③‎ ‎【答案】C ‎11如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）‎ A.，且直线，是相交直线 B.，且直线，是相交直线 C.，且直线，是异面直线 D.，且直线，是异面直线 ‎【答案】B ‎【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．‎ ‎【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．‎ 连，平面平面．‎ 平面，平面，平面，‎ 与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，‎ ‎．，故选B．‎ ‎12.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【分析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立。‎ ‎【详解】∵，即，‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，故当时，在上恒成立；‎ 若上恒成立，即在上恒成立，‎ 令，则，当函数单增，当函数单减，‎ 故，所以。当时，在上恒成立；‎ 综上可知，的取值范围是，故选A。‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13..如图，在正三棱锥中，．‎ 若的中点为，的中点为，求与的夹角余弦_________.‎ ‎【解答】解：（1），分别为，的中点，，‎ 则为与所成角，‎ 在中，由，，‎ 可得，‎ 与的夹角为；‎ ‎.14在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.‎ 若m与n的夹角为， x_________‎ ‎∵m与n的夹角为，∴cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 故sin＝.‎ 又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，‎ 故x的值为.‎ 15. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，.打印所用的材料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________.‎ 根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.‎ ‎【详解】由题意得， ，‎ 四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．‎ 又长方体的体积为，‎ 所以该模型体积为，其质量为．‎ ‎【点睛】本题考查几何体体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．‎ 16. ‎。设，则的最小值为_____________．‎ ‎【答案】‎ 分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即时成立，故所求的最小值为。‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每题必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.设函数.‎ ‎（1）已知函数是偶函数，求的值；‎ ‎（2）求函数 的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；‎ ‎(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.‎ ‎【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，‎ 函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.‎ ‎(2)由函数的解析式可得：‎ ‎.‎ 据此可得函数值域为：.‎ 本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．‎ 求证：（1）A1B1∥平面DEC1；‎ ‎（2）BE⊥C1E．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；‎ ‎(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.‎ ‎【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，‎ 所以ED∥AB.‎ 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，‎ 所以A1B1∥ED.‎ 又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，‎ 所以A1B1∥平面DEC1.‎ ‎（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.‎ 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.‎ 又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.‎ 因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，‎ 所以BE⊥平面A1ACC1.‎ 因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.‎ ‎ ‎ ‎19．已知的内角、、所对的边分别为、、.且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，求周长的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据三角形中隐含条件以及三角恒等变换的公式得到的正切值，然后计算出的结果；‎ ‎（2）利用余弦定理和面积公式求解出的最小值，再将周长用含的式子表示，即可求解出周长的最小值，注意取等号条件的说明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）由，得.‎ 又，‎ ‎，（当且仅当时取等号），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 周长的最小值为.‎ ‎20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；‎ ‎(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．‎ ‎(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.‎ 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.‎ 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.‎ 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，‎ 所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.‎ 又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.‎ 因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.‎ ‎(3)解：棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.‎ 取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，‎ 则FG∥AB，且FG＝AB.‎ 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，‎ 所以CE∥AB，且CE＝AB.‎ 所以FG∥CE，且FG＝CE.‎ 所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.‎ 因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，‎ 所以CF∥平面PAE.‎ ‎.21．设函数．‎ ‎（1）当b=0时，求函数的极小值；‎ ‎（2）若已知b>1且函数与直线y=-x相切，求b的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，函数与直线y=-x+m有三个公共点，求m的取值范围.(直接写出答案)‎ ‎【答案】（1）（2）b=3（3）‎ ‎【解析】（1）求导得到函数的单调区间，再计算极小值.‎ ‎（2）设切点是()，求导，根据条件得到计算得到答案.‎ ‎（3）化简得到，设，画出函数图象得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当b=0时，则，由得，‎ 当或时，；当时，，‎ 则当时，f(x)取得极小值 ‎（2）因，则 设函数与直线y=-x相切的切点是()，‎ 因为，所以，‎ 所以有 又，相减得，‎ 所以，所以，解得b=3.‎ ‎（3）‎ 设，‎ 在上单调递增；在单调递减.‎ 极大值，极小值，画出函数图象：‎ 根据图象得到答案：.‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到l距离的最小值．‎ 解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.‎ 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.‎ C上的点到的距离为.‎ 当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知 ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围.‎ 解：（1）当a=1时，.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 当，时，‎ 所以，的取值范围是.‎