专题2-4 函数、不等式中恒成立问题（练）-2017年高考数学（理）二轮复习讲练测 14页

www.ks5u.com 1. 练高考 ‎1.【2014山东高考理第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选. ‎ ‎2.【2015高考新课标1】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）‎ ‎(A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1）‎ ‎【答案】D ‎3.【2015高考新课标2】设函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）．‎ ‎4.【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.‎ ‎（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（Ⅱ）.‎ ‎（II）令=，=.‎ 则=.‎ 而当时，>0，‎ 所以在区间内单调递增.‎ 又由=0，有>0，‎ 从而当时，>0.‎ 当，时，=.‎ 故当>在区间内恒成立时，必有.‎ 当时，>1.‎ 由（I）有,从而，‎ 所以此时>在区间内不恒成立.‎ 当时，令，‎ 当时，，‎ 因此，在区间单调递增.‎ 又因为，所以当时， ，即 恒成立.‎ 综上，．‎ ‎5.【2016高考江苏卷】已知函数.设.‎ ‎（1）求方程的根;‎ ‎（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。‎ ‎【答案】（1）①0 ②4（2）1‎ 从而对任意，，所以是上的单调增函数，‎ 于是当，；当时，.‎ 因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.‎ 下证.‎ 若，则，于是，‎ 又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.‎ 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.‎ 因此，.‎ 于是，故，所以.‎ ‎2.练模拟 ‎1. 【2016届安徽省合肥一中等六校高三第二次联考】已知函数，若存在，使得成立，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 到直线的距离为 即上的点与上的点最短距离为，此时，即 因为存在，使得成立 所以 即，解得 故答案选.‎ ‎2.已知函数， 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎3.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列满足．若对都有成立，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，得，所以，即，所以．若对都有成立，即 恒成立，亦即 ①恒成立．当时不等式①恒成立；当时，不等式①等价于；当时，不等式①等价于，所以实数的取值范围是．‎ ‎4.【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中考试】已知函数，设函数在区间上的最大值为．‎ ‎（1）若，试求出；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，试求出的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值． ‎ ‎5. 【2016届吉林省长春外国语学校高三上第二次质检】已知函数，．‎ ‎（1）求函数图像在处的切线方程；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎6. 【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知不等式 的解集是．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎3.练原创 ‎1. 三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．‎ 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．‎ 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．‎ 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．‎ 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.‎ 设.‎ 甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，‎ 设 其解法相当于解下面的问题：‎ 对于,若恒成立,求的取值范围.‎ 所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而, 甲 的解题思路不能解决本题.‎ 按照丙的解题思路需作出函数的图象和 的图象,然而,函数的图象并不容易作出.‎ 由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时, 成立.‎ 由在时,有最小值,于是,.‎ ‎2. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）（2）或. ‎ ‎3. 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使在R上恒成立，即在R上 恒成立。‎ ‎ 时， 成立 ‎ 时，，‎ 由，可知，‎ ‎4. 当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】=，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切， <恒成立即的图象一定要在的图象所的下方，显然，并且必须也只需，故.‎ x y o ‎1‎ ‎2‎ y1=(x-1)2‎ y2=logax ‎5. 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎