课时27+抛物线-2019年高考数学（文）单元滚动精准测试卷 4页

模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）‎ ‎1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　B．－2‎ C．4或－4 D．12或－2‎ ‎【答案】C ‎2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＝0，则等于(　　)‎ A．9 B．6‎ C．4 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)．‎ ‎∵＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.‎ 又由抛物线定义知＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故选B.‎ ‎3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C ‎【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．‎ ‎4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3 C. D. ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为P到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2，故选A.‎ ‎【规律总结】重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.‎ ‎5．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x ‎【答案】B ‎【解析】由题可知抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，∴a＝±8. ‎ ‎6．已知抛物线y2＝4x上两个动点B、C和点A(1,2)，且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点(　　)‎ A．(2,5) B．(－2,5) C．(5，－2) D．(5,2)‎ ‎【答案】C ‎7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________．‎ ‎【答案】4米 ‎【解析】设抛物线方程为x2＝－2py，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，‎ 故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8×＝12，x＝±2.故水面宽4米．‎ ‎8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交该抛物线于A、B两点．若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点与点F重合，右顶点与A、B构成等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由y2＝4x得，抛物线的焦点为F(1,0)，过点F且垂直于x轴的直线与该抛物线的交点坐标分别为：A(1,2)，B(1，－2)，又椭圆C右焦点的坐标为(1,0)，椭圆右顶点与A，B构成等腰直角三角形，所以椭圆的右顶点坐标为(3,0)，即a＝3，所以e＝＝.‎ ‎9.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；‎ ‎(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．‎ ‎【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，‎ 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2‎ ‎[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）‎ ‎11．（5分）点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于，则这样的点P的个数为________． ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y2＝4x，设点P的坐标为，由点到直线的距离公式，知＝，即y－4y0±4＝0，易知y0有三个解，故点P个数有三个．‎ ‎12．（5分）已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4. ‎