西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（理）四试卷 18页

理 科 数 学（四）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，则等于（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎2．如果全集，，，则图中的阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．的展开式中常数项是（ ）‎ A．14 B． C．42 D．‎ ‎4．等差数列满足，记的前项和为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是（ ）‎ A．45 B．60 C．75 D．90‎ ‎6．函数在区间上的简图是（ ）‎ ‎ ‎ ‎7．已知变量，满足的约束条件为，目标函数，则的最大值和 最小值分别为（ ）‎ A．10，0 B．，0 C．， D．10，‎ ‎8．已知，，且，，成等比数列，则（ ）‎ A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 ‎9．一个多面体的直观图和三视图如图，则此多面体外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．曲线在处的切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设方程的两个根分别为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．不存在 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．如图所示为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的值为23，那么应输入的值 为______．‎ ‎14．已知向量，，若，则 ．‎ ‎15．双曲线的右焦点为，点是渐近线上的点，且，则_______．‎ ‎16．每人最多投篮5次，若连续两次投篮不中则停止投篮，否则继续投篮，直到投满5次，每次投篮投中的概率是0．5，则投中3次的概率为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，，求、（其中）．‎ ‎18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润．‎ ‎（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；‎ ‎（2）求的分布列及期望．‎ ‎19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，‎ 是的中点，是中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．‎ ‎21．（12分）已知，，，其中是自然对数的底，．‎ ‎（1）讨论时，的单调性、极值；‎ ‎（2）求证：在（1）的条件下，；‎ ‎（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，‎ 说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】‎ 在极坐标系中，已知点到直线的距离为3．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程，‎ 并指出轨迹是什么图形．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围 理 科 数 学（四）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】可得，则，那么．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】图中的阴影部分为去掉，则为．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】展开式的通项为，‎ 由，得，那么展开式中常数项是．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】设的公差为，由，则，‎ 那么，可得，‎ 那么．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】小于100克的的频率为，‎ 大于或等于98克并且小于104克的频率为，‎ 由，可得．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】当时，，排除B、D；‎ 当时，，排除C．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】画出不等式表示的平面区域如图，‎ 因为，则知当，时，；‎ 当，时，．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】可得，则，‎ 则，则．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】取的中点为、的中点为，连结，‎ 知的中点即为此多面体外接球的球心，可得，‎ 那么外接球的表面积是．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】，‎ 则，‎ 则．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】不妨设，画与的图象，知，‎ 则，，‎ 那么，则．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】设抛物线方程为，则，，‎ 设，则，‎ 设，则，‎ 即，‎ 当时，则；‎ 当时，则，解得，当时等号成立，‎ 综上，当时，，所以的最大值为．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】或 ‎【解析】当时，由，则；‎ 当时，不符合要求；‎ 当时，由，得．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】，，‎ 由已知，则，‎ 则．‎ ‎15．【答案】2或 ‎【解析】知，点有如图的两种位置情况．‎ 当为位置情况时，，则；‎ 当为位置情况时，，则．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】从5次中选3次，有种选法，‎ 而其中1与2连续没投中、2与3连续没投中、3与4连续没投中，不满足要求，‎ 则投中3次的概率为．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎（2），∴，‎ 由，得，‎ ‎∵，∴，．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，元．‎ ‎【解析】（1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，‎ ‎，则．‎ ‎（2）的可能取值为200元，250元，300元，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为 ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0．4‎ ‎0．4‎ ‎0．2‎ 元．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】解法一：（1）取中点，连结，，‎ 所以，‎ 又，所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）三棱柱为直三棱柱，所以，‎ 又，所以平面，‎ 在平面内过作于，‎ 又，所以⊥面，连结，‎ 则就是直线与平面所成的角．‎ 在等腰三角形中，，，‎ 所以，‎ 又可得，则，‎ 那么直线与平面所成角的正弦值为．‎ 解法二：（1）如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ 取中点，连结，‎ 由已知得，，，，，‎ 所以，，‎ 所以，所以，‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）又，，则，，‎ 设平面的法向量为，则，，‎ 所以，解得，，所以，‎ 又，所以，‎ 则直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），，，∴，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2），，‎ 设，，则，，‎ 直线，代入椭圆方程，‎ 得，‎ ‎，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（定值）．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）存在，．‎ ‎【解析】（1），则，‎ ‎∴当时，，此时单调递减；‎ 当时，，此时单调递增，‎ ‎∴的极小值为．‎ ‎（2）的极小值，即在的最小值为1，∴．‎ 令，则，‎ 当时，，则在上单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，．‎ ‎（3）假设存在实数，使有最小值3，‎ 因为，‎ ‎①当时，由于，则，‎ ‎∴函数是上的增函数，‎ ‎∴，解得（舍去）；‎ ‎②当时，则当时，，‎ 此时是减函数，‎ 当时，，此时是增函数，‎ ‎∴，解得，‎ 由以上知，存在实数，使的最小值是3，它的值为．‎ ‎22．【答案】（1）；（2），点的轨迹是以为圆心，‎ 为半径的圆．‎ ‎【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系．‎ 则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为．‎ 由点到直线的距离为，∴．‎ ‎（2）由（1）得直线的方程为，‎ 设，，则，①‎ 因为点在直线上，所以，②‎ 将①代入②，得．‎ 则点的轨迹方程为，‎ 化为直角坐标方程为，‎ 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，不等式化为，‎ 则可得或或，‎ 可得或或，‎ 则不等式解集为．‎ ‎（2）当时，恒成立，‎ 则恒成立，‎ 化为在上恒成立，‎ 而在上为增函数，则．‎ ‎，等号成立时．‎ 所以的取值范围为