数学卷·2018届山东省济南外国语学校三箭分校高二上学期期中数学试卷（解析版） 12页

‎2016-2017学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，A=60°，a=，b=，则（　　）‎ A．B=45°或135° B．B=135°‎ C．B=45° D．以上答案都不对 ‎2．数列{an}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=（﹣1）n+1（n∈N+） B．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ C．an=（﹣1）n+1（n∈N+） D．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ ‎3．若b＜0＜a，d＜c＜0，则下列不等式中必成立的是（　　）‎ A．ac＞bd B． C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d ‎4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5=5a3，则=（　　）‎ A． B．5 C．9 D．‎ ‎6．已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cosA等于（　　）‎ A．﹣4 B． C．± D．﹣‎ ‎7．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（　　）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎8．在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．0＜x＜2‎ ‎9．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（　　）‎ A．（1，9） B．（﹣∞，1]∪（9，+∞） C．[1，9） D．（﹣∞，1）∪（9，+∞）‎ ‎10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（　　）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．‎ ‎11．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为　　．‎ ‎12．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，求数列{an}的通项公式　　．‎ ‎13．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为　　．‎ ‎14．在数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，则an=　　．‎ ‎15．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎17．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=7，a5+a7=26‎ ‎（1）求an及Sn；‎ ‎（2）令bn=（n∈N*）求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a﹣b）cosC．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．‎ ‎20．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．‎ ‎（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？‎ ‎（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：‎ ‎①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；‎ ‎②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；‎ 问选择哪种方案盈利更多？‎ ‎21．已知数列{an}满足a1=且an+1=．设bn+2=3，数列{cn}满足cn=an•bn．‎ ‎（1）求数列{bn}通项公式；‎ ‎（2）求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若cn≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，A=60°，a=，b=，则（　　）‎ A．B=45°或135° B．B=135°‎ C．B=45° D．以上答案都不对 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，根据a大于b，得到A大于B，即可求出B的度数．‎ ‎【解答】解：根据正弦定理=得：sinB===，‎ ‎∵b＜a，∴B＜A=60°，‎ ‎∴B=45°．‎ 故选C ‎　‎ ‎2．数列{an}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=（﹣1）n+1（n∈N+） B．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ C．an=（﹣1）n+1（n∈N+） D．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．若b＜0＜a，d＜c＜0，则下列不等式中必成立的是（　　）‎ A．ac＞bd B． C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】由已知中b＜0＜a，d＜c＜0，结合不等式的性质，对题目中的四个答案逐一进行分析，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵b＜0＜a，d＜c＜0，‎ ‎∴ac＜0，bd＞0，则ac＞bd恒不成立，故A不满足要求；‎ 同理，则恒不成立，故B不满足要求；‎ 由不等式的同号可加性可得a+c＞b+d一定成立，故C满足要求；‎ 但a﹣c＞b﹣d不一定成立，故D不满足要求；‎ 故选C ‎　‎ ‎4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理；等比数列．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．‎ ‎【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，‎ 由c=2a，则b=a，‎ ‎=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5=5a3，则=（　　）‎ A． B．5 C．9 D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a5=5a3，‎ 则====9．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cosA等于（　　）‎ A．﹣4 B． C．± D．﹣‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理、三角形面积计算公式可得：sinA=﹣4cosA，与sin2A+cos2A=1，联立即可得出．‎ ‎【解答】解：∵cosA=，面积S=bcsinA=a2﹣（b2+c2），‎ ‎∴bcsinA=﹣2bccosA，‎ ‎∴sinA=﹣4cosA，‎ 又sin2A+cos2A=1，‎ 联立解得cosA=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（　　）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，‎ ‎∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．‎ ‎∴x+y的最小值为16．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．0＜x＜2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可．‎ ‎【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，‎ 当A=90°时，圆与AB相切；‎ 当A=45°时交于B点，也就是只有一解，‎ ‎∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，‎ 由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x==2sinA，‎ ‎∵2sinA∈（2，2）．‎ ‎∴x的取值范围是（2，2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（　　）‎ A．（1，9） B．（﹣∞，1]∪（9，+∞） C．[1，9） D．（﹣∞，1）∪（9，+∞）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】若m﹣1=0，即m=1时，满足条件，若m﹣1≠0，即m≠1，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则对应的函数的图象开口朝上，且与x轴没有交点，进而构造关于m的不等式，进而得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：当m﹣1=0，即m=1时，原不等式可化为2＞0恒成立，满足不等式解集为R，‎ 当m﹣1≠0，即m≠1时，‎ 若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，‎ 则，‎ 解得：1＜m＜9．‎ 综上所述，m的取值范围为[1，9）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（　　）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．‎ ‎【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，‎ 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，‎ 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，‎ 则a﹣2d=a﹣2×=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．‎ ‎11．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为　（﹣1，6）　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】不等式左边分解因式后，利用两数相乘积为负，得到两因式异号转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式变形得：（x﹣6）（x+1）＜0，‎ 可化为或，‎ 解得：﹣1＜x＜6，‎ 则不等式的解集为（﹣1，6）．‎ 故答案为：（﹣1，6）‎ ‎　‎ ‎12．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，求数列{an}的通项公式　　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出．‎ ‎【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎13．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AC与BC，以及已知面积代入求出sinC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosC的值代入即可求出AB的长．‎ ‎【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，‎ ‎∴absinC=3，即sinC=，‎ ‎∵C为锐角，∴cosC==，‎ 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，‎ 解得：AB=c=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．在数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，则an=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】推导出数列{nan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出an．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，‎ ‎2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，‎ ‎∴数列{nan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，‎ 解得an=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为　6+4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b）≥4‎ ‎∴ab﹣4+2≥0，当且仅当a=b=2+时取等号 设=t＞1，‎ ‎∴t2﹣4t+2≥0，‎ 解得t≥2+，‎ ‎∴ab≥（2+）2=6+4，‎ ‎∴ab的最小值为6+4，‎ 故答案为：6+4．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．‎ ‎（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，‎ 根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，‎ 由△ABC为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．‎ 所以，．‎ ‎　‎ ‎17．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；‎ ‎（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；‎ ‎【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，‎ 则，∴a=1，b=2．‎ ‎（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，‎ 所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；‎ 当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；‎ 当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=7，a5+a7=26‎ ‎（1）求an及Sn；‎ ‎（2）令bn=（n∈N*）求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入通项公式和求和公式可得；（2）由（1）可知bn==（），由裂项相消法可得其和．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 则a3=a1+2d=7，a5+a7=2a1+10d=26‎ 联立解之可得a1=3，d=2，‎ 故an=3+2（n﹣1）=2n+1‎ Sn=3n+=n2+2n；‎ ‎（2）由（1）可知bn=‎ ‎===（），‎ 故数列{bn}的前n项和Tn=（1﹣++…+）=（1﹣）=‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a﹣b）cosC．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）﹣2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=，可得角C的大小；‎ ‎（2）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，‎ ‎∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，‎ 即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，‎ ‎∴sin（B+C）=2sinAcosC，‎ ‎∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，‎ ‎∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC=．‎ 又∵C是三角形的内角，‎ ‎∴C=．‎ ‎（2）∵C=，a+b+c=2+2，c=2，可得：a+b=2，‎ ‎∴由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=12﹣3ab，解得：ab=，‎ ‎∴S△ABC=absinC=××=．‎ ‎　‎ ‎20．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．‎ ‎（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？‎ ‎（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：‎ ‎①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；‎ ‎②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；‎ 问选择哪种方案盈利更多？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共n+=n2，付出投资81万元，由此可知利润y=30n﹣（81+n2），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．‎ ‎（2）①纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案②利用基本不等式进行求解，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设第n年获取利润为y万元 n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+=n2，‎ 因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0，‎ 解得：3＜n＜27，‎ 所以从第4年开始获取纯利润．‎ ‎（2）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144，‎ 所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．‎ 年平均利润W==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+50=158（万元）．‎ ‎∵154＜158，方案②时间比较短，所以选择方案②．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}满足a1=且an+1=．设bn+2=3，数列{cn}满足cn=an•bn．‎ ‎（1）求数列{bn}通项公式；‎ ‎（2）求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若cn≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列的通项公式计算可知{an}的通项，进而代入计算即得结论；‎ ‎（2）通过可知数列{cn}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论；‎ ‎（3）通过分析可知数列{cn}的单调性，进而转化为解不等式问题，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由得，数列{an}是公比为的等比数列，‎ 则，…‎ 所以，即bn=3n+1．…‎ ‎（2）由（1）知，，bn=3n+1，‎ 则． …‎ ‎，①‎ 则，②…‎ ‎①﹣②两式相减得 ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 所以．…‎ ‎（3）因为，‎ 所以=，‎ 则数列{cn}单调递减，‎ ‎∴当n=1时，cn取最大值是，…‎ 又∵cn≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，‎ ‎∴+m﹣1≥，即m2+4m﹣5≥0，‎ 解得：m≥1或m≤﹣5．…‎