江苏省七市（南通、泰州、扬州连云港）2019届高三第三次调研考试数学试题 Word版含解析 25页

www.ks5u.com 宿迁市2019届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1.已知集合，，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由补集运算得解。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题。‎ ‎2.已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理为，利用它是纯虚数列方程，问题得解。‎ ‎【详解】因为 因为复数是纯虚数，所以 解得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎3.下图是一个算法流程图．若输出的值为4，则输入x的值为____．‎ - 25 -‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对的范围分类，利用流程图列方程即可得解。‎ ‎【详解】当时，由流程图得：‎ 令，解得：，满足题意。‎ 当时，由流程图得：‎ 令，解得：，不满足题意。‎ 故输入的值为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题。‎ ‎4.已知一组数据6，6，9，，的平均数是，且，则该组数据的方差为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由这组数据6，6，9，，的平均数是可求得，结合可求得，再利用方差公式计算即可得解。‎ ‎【详解】因为数据6，6，9，，的平均数是 所以，整理得：‎ 又，解得：或 此时都等于 - 25 -‎ 所以该组数据的方差为 ‎【点睛】本题主要考查了平均数的计算公式及方差计算公式，还考查了方程思想，属于基础题。‎ ‎5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“2只球都是白球”有种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解。‎ ‎【详解】由题可得：“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，‎ ‎“摸出的2只球都是白球”有种不同的结果.‎ 所以“从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球”的概率为 ‎【点睛】本题主要考查了组合知识，还考查了古典概型概率计算公式，属于基础题。‎ ‎6.已知函数 则不等式的解集为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得：函数为奇函数，即可将不等式转化为：，对分类解不等式即可。‎ ‎【详解】由题可得：函数为奇函数，‎ 不等式等价于，即：‎ 当时，由，解得：‎ 当时，由，解得：‎ 综上所述：或 - 25 -‎ 所以不等式的解集为 ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性应用，还考查了分类思想及一元二次不等式的解法，考查转化能力，属于中档题。‎ ‎7.已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由及列方程组，即可求得，再利用等比数列前项和公式计算即可得解。‎ ‎【详解】设等比数列的首项为，公比为 由题可得：，解得：‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量计算，还考查了等比数列前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于较易题。‎ ‎8.在平面直角坐标系中，双曲线（）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点可求得：，再由△AOB的面积为列方程整理得：，问题得解。‎ ‎【详解】由题可得：双曲线（）的右准线方程为：，‎ 两条渐近线方程分别，‎ 由可得：‎ - 25 -‎ 由双曲线的对称性可得：‎ 所以△AOB的面积为 整理得：，即：‎ 所以该双曲线离心率为 ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，还考查了方程思想及三角形面积公式，考查转化能力，属于中档题。‎ ‎9.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为____cm3．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得：将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和，由锥体体积公式及圆柱体积公式计算得解。‎ ‎【详解】依据题意，作出如下直角梯形：‎ 将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，‎ 所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和。‎ 其中圆柱的半径为，高为，圆锥的半径为,高为.‎ 由题中数据可知：‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间思维能力，还考查了锥体体积公式及圆柱体积公式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎10.在平面直角坐标系中，若曲线与在上交点的横坐标为，则的值为___．‎ - 25 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得：，即可求得：，结合即可求得，对利用二倍角公式即可得解。‎ ‎【详解】由题可得：，解得：，又 所以 又，解得：‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了方程思想及计算能力，还考查了同角三角函数基本关系，考查了二倍角的正弦公式，属于中档题。‎ ‎11.如图，正六边形中，若（），则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接交于点，连接交于点，利用向量的倍数关系及向量的加法公式可得：，再利用平面向量基本定理列方程求解即可。‎ ‎【详解】连接交于点，连接交于点，如下图：‎ - 25 -‎ 由题可得：为的中点，为的一个四等分点，且，为中点 所以 所以，所以 ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及平面向量基本定理，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题。‎ ‎ ‎ ‎12.如图，有一壁画，最高点处离地面6 m，最低点处离地面3.5 m．若从离地高2 m的处观赏它，则离墙____m时，视角最大．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作的垂线，垂足为，设米，分别表示出，，在中利用余弦定理可得：，令，可得，结合二次函数的性质即可求得：时，最大，问题得解。‎ - 25 -‎ ‎【详解】如图，过点作垂线，垂足为 设米，则 在中，由余弦定理可得：‎ ‎（）.‎ 令，‎ 则 当时，最大，此时最小，此时最大.‎ 即 时，视角最大.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理及换元法，还考查了二次函数的性质及转化思想，考查计算能力，属于难题.‎ ‎13.已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将“若对任意，总存在，使得成立”等价于，求得最大值为，的最大值、最小值分别为：，，问题得解。‎ - 25 -‎ ‎【详解】不等式可化为：‎ 若对任意，总存在，使得成立，‎ 则：‎ 当时，的最大值为：‎ 当时，的最大值为：‎ 最小值为：‎ 所以可化为：，解得：.‎ 故：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等价转化能力，还考查了二次函数的性质及反比例函数的性质，考查计算能力，属于难题。‎ ‎14.在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立平面直角坐标系，设，利用即可整理得：，可判断点在以原点为圆心，半径为的圆上，取，可得：，利用相似比可得：，将转为：，结合图象可得：当三点共线时，最小，问题得解。‎ ‎【详解】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，‎ 建立如下平面直角坐标系.‎ - 25 -‎ 则，，‎ 设，则，，‎ 因为 所以，即：‎ 整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上。‎ 在轴上取，连接 可得，所以，所以 由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小。‎ 此时最小为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，还考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了转化能力及构造思想，还考查了两点距离公式，属于难题。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15.在△ABC中，，b，c分别为角A，B，C所对边的长，．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简可得：，再利用余弦定理即可求得：，问题得解。‎ ‎（2）利用余弦定理及可得：，再利用正弦定理即可得解。‎ ‎【详解】（1）在△ABC中， 因为，‎ 由正弦定理可得:．‎ 即， 由余弦定理得． ‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）方法一：因为及，得，即，‎ 由正弦定理，得，所以． ‎ 方法二：由正弦定理，得．由，得，‎ 因为，所以，即． ‎ 又因为，解得，，因为在△ABC中，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正、余弦定理解三角形，考查化简能力及方程思想，还考查了计算能力，属于中档题。‎ ‎16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，，E，F分别是PC，AD的中点．‎ - 25 -‎ 求证：（1）BE⊥CD； ‎ ‎ （2）EF∥平面PAB．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明BE⊥PC，即可证得BE⊥平面PCD，问题得证。‎ ‎（2）取PB的中点H，连结EH，AH，证明四边形AFEH是平行四边形，问题得证。‎ ‎【详解】（1）在△PBC中，因为，E是PC的中点，所以BE⊥PC．‎ ‎ 又因为平面BPC⊥平面DPC，平面BPC平面DPC，平面BPC，‎ ‎ 所以BE⊥平面PCD．又因为平面DPC， 所以BE⊥CD．‎ ‎（2）取PB的中点H，连结EH，AH．在△PBC中，又因为E是PC的中点，‎ 所以HE∥BC，．又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点，‎ ‎ 所以AF∥BC，． 所以HE∥AF且，‎ 所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF∥HA． ‎ 又因为平面PAB，平面PAB， 所以EF∥平面PAB．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，还考查了线面平行的证明及面面垂直的性质，考查转化能力及空间思维能力，属于中档题。‎ - 25 -‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点．若△PQN的面积为3，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据题意可得：，由圆经过点可得：，问题得解。‎ ‎（2）当的斜率为0时，检验得不合题意，可设设直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得，设，，解得：，，由弦长公式可得：，由△PQN的面积为3列方程可得：，即可求得：，问题得解。‎ ‎【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，所以，又圆经过点，‎ 所以． 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）若的斜率为0，则，，‎ 所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0． ‎ - 25 -‎ 设直线的方程为，由消得，‎ 设，，‎ 则，， ‎ 所以 .‎ ‎ 直线的方程为，即，所以． ‎ 所以△PQN的面积 ，‎ 解得，即直线的斜率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了弦长公式及三角形面积公式，考查计算能力及一元二次方程的求根公式，考查转化能力，属于难题。‎ ‎18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图1．‎ ‎（1）若点E恰好与点B重合，且点在BD上，如图2，求风筝面的面积；‎ ‎（2）当风筝面的面积为时，求点到AB距离的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立直角坐标系，求得直线的方程为 - 25 -‎ ‎，利用点F到AB与BD的距离相等列方程可得：，求得，问题得解。‎ ‎（2）建立直角坐标系，设，，，求得直线的方程为，利用点与关于直线对称可得：，利用四边形的面积为可得，整理得：，利用导数求得的最小值为，即可求得的最大值为，问题得解。‎ ‎【详解】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．‎ 则，，‎ 直线的方程为．设（），因为点F到AB与BD的距离相等，‎ 所以，解得或（舍去）． 所以△ABF的面积为，‎ 所以四边形的面积为．所以风筝面的面积为．‎ 方法二：设，则．在直角△ABD中，，‎ ‎ 所以，解得或（舍去）． 所以．‎ 所以△ABF的面积为，所以四边形的面积为．‎ 所以风筝面的面积为． ‎ ‎（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系.‎ - 25 -‎ 设，，，‎ 则直线方程为，因为点A与关于直线对称，‎ 所以解得． ‎ 因为四边形的面积为，所以， 所以．‎ ‎ 因为，，所以．‎ 设，．，‎ ‎ 令，得或（舍去）．列表如下：‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 当时，取得极小值，即最小值，‎ 所以的最大值为，所以点到AB距离的最大值为。‎ 方法二：设，，则．因为四边形的面积为，所以，‎ 即，所以．过点作AB的垂线，垂足为T，‎ 则 ．‎ 因为，，所以． ‎ - 25 -‎ ‎（下同方法一）‎ ‎【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形面积公式，还考查了两点关于直线对称的坐标关系，还考查了利用导数求函数的最值及转化能力，考查计算能力，属于难题。‎ ‎19.已知数列满足（），（）．‎ ‎（1）若，证明：是等比数列；‎ ‎（2）若存在，使得，，成等差数列．‎ ‎ ① 求数列的通项公式；‎ ‎② 证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对两边同除以并整理得：，结合即可证得是等比数列，问题得证。‎ ‎（2）①设，由（1）可得，结合，，成等差数列即可求得，问题得解。‎ ‎②将转化成，令，且，即可再转化成，记（），利用导数即可求得，问题得证。‎ - 25 -‎ ‎【详解】（1）由，得，得，即， ‎ 因为，所以，所以（），‎ ‎ 所以是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎（2）① 设，由（1）知，， 所以，即，‎ 所以．因为，，成等差数列，‎ 则，所以，所以，‎ 所以，即． ‎ ‎② 要证，‎ 即证，即证．‎ 设，则，且，‎ 从而只需证，当时，． 设（），‎ 则，所以在上单调递增，‎ 所以，即，因为，所以，‎ 所以，原不等式得证．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的证明及转化能力，还考查了等差数列的概念及等比数列的通项公式，考查了换元法及利用导数求函数的最值，考查计算能力及化归能力，属于难题。‎ ‎20.已知函数（），是自然对数的底数．‎ ‎（1）当时，求的单调增区间；‎ ‎（2）若对任意的，（），求的最大值；‎ ‎（3）若的极大值为，求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出并整理为，结合即可求得函数的单调增区间.‎ ‎（2）对的取值分类，当时，经检验，不合题意；当时，即可利用（1）求得的增减性，并求得时，最小值为，可将转化为，不妨设，则，利用导数即可求得最大值为，问题得解。‎ ‎（3）当时，无极大值，当时，由的极大值为可求得，设，对范围分类，利用可得：当时，，结合即可得解。‎ ‎【详解】（1）的定义域为． ‎ 因为，‎ 令，因为，得， 因为，‎ ‎ 所以的单调增区间是．‎ ‎（2）当时，，不合题意；当时，令，得或，‎ 所以在区间和上单调递减． 因为，且在区间上单调递增，‎ 所以在处取极小值，即最小值为．若，，则，即．‎ 不妨设，则． ‎ 设（），则．当时，；当时，，‎ - 25 -‎ 所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，‎ 所以的最大值为．‎ ‎（3）由（2）知，当时，无极大值，‎ 当时，在和上单调递增；在上单调递减，‎ 所以在处取极大值，所以，即．‎ ‎ 设，即，‎ 当，，所以；‎ 当，，‎ ‎ 由（2）知，，又，所以，且不恒为零，‎ ‎ 所以在上单调递增．不等式，即为，所以，‎ ‎ 即不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了分类思想及转化思想，考查化归能力及极值的判断，还考查了利用导数解不等式，考查计算能力，属于难题。‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.已知，矩阵的逆矩阵．若曲线C在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求曲线C的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用矩阵与逆矩阵的关系即可求得，设为曲线C上的任意一点，利用矩阵对应的变换可得：代入即可得解。‎ 详解】由题意得，，即，‎ - 25 -‎ ‎ 所以，即矩阵． ‎ ‎ 设为曲线C上的任意一点，在矩阵对应的变换作用下变为点，‎ ‎ 则 ，即 ‎ ‎ 由已知条件可知，满足，整理得：，‎ ‎ 所以曲线C的方程为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了矩阵与其逆矩阵的关系，考查了方程思想及矩阵对应的变换，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎22.在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点，的极坐标分别为，，曲线的方程为（）．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线有且只有一个公共点，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，，问题得解。‎ ‎（2）利用直线和曲线相切的关系可得：圆心到直线AB的距离等于圆的半径，列方程即可得解。‎ ‎【详解】（1）分别将，转化为直角坐标为，，‎ 所以直线的直角坐标方程为． ‎ ‎ （2）曲线C的方程为（），其直角坐标方程为．‎ 又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切，‎ 所以圆心到直线AB的距离等于圆的半径.‎ 又圆心到直线AB的距离为，即的值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题。‎ - 25 -‎ ‎23.已知，若关于的方程有实根，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一元二次方程有实数根可得：，整理得：，对的范围分类解不等式即可。‎ ‎【详解】因为关于的方程有实根，所以，即．‎ 当时，，得；‎ 当时， 4，恒成立，即；‎ 当时，，得，‎ 综上：所求的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的条件及含绝对值不等式的解法，考查分类思想及计算能力，属于中档题。‎ ‎24.现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．‎ ‎（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；‎ ‎（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对文章学习和视频学习后的总积分不低于9分分类，求出每种结果的概率和，问题得解。‎ ‎（2）由题可得，随机变量服从二项分布，利用二项分布的特征直接求解。‎ ‎【详解】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：‎ 因为两类学习互不影响，所以概率，‎ 所以每日学习积分不低于9分的概率为． ‎ ‎（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．‎ 由（1）每个人积分不低于9分的概率为．‎ ‎；；‎ ‎；．‎ 所以，随机变量的概率分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以．‎ 所以，随机变量的数学期望为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分类思想及独立事件同时发生的概率，还考查了二项分布概率模型，考查计算能力及分布列、期望知识，属于中档题。‎ ‎25.设，．‎ ‎（1）求的值；‎ - 25 -‎ ‎（2）化简．‎ ‎【答案】（1）0；（2）0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用条件求得，，问题得解。‎ ‎（2）整理得，，利用组合数公式将整理为：，两式相加即可得解。‎ 详解】（1）由，，‎ 所以． ‎ ‎（2）设，则 ‎ ① ‎ ‎ 因为，所以 ‎ ②‎ ‎ ①+②得，，即，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了求和的记法，还考查了化简能力及计算能力，考查了组合数公式，考查转化能力，属于难题。‎ ‎ ‎ - 25 -‎ ‎ ‎ - 25 -‎