2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题05 三角函数与解三角形（讲）（解析版） 11页

专题05 三角函数与解三角 ‎1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ ‎，又，，又，．‎ ‎【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．‎ ‎2．【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则( )‎ ‎． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵为奇函数，∴；‎ 又∴，又，∴，‎ ‎∴，故选C. ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，再根据函数性质逐步得出的值即可.‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则 的面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理得，所以，即，‎ 解得(舍去)，所以，‎ ‎【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．‎ ‎4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ‎．‎ ‎(1)求A； (2)若，求sinC．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】(1)由已知得，故由正弦定理得．‎ 由余弦定理得．因为，所以．‎ ‎(2)由(1)知，由题设及正弦定理得，‎ 即，可得．‎ 由于，所以，故 ‎．‎ ‎【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.‎ 一、考向分析： ‎ ‎ 三角函数与解三角形 三角函数求值 三角恒等变形 三角函数图象与性质 三角函数与解三角形 解三角形 ‎ 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 三角函 数求值 三角函数求值的3类求法 ‎1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。‎ ‎2．“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。‎ ‎3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。‎ 三角恒 等变形 三角恒等变形时，要注意三看：角、名、形 ‎1．角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β，＝2等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。‎ ‎2．名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。‎ ‎3．形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。‎ 三角函数图象与性质 ‎1．已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解。但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错。‎ ‎2.三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路 ‎(1)‎ 奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式。‎ ‎(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解。‎ ‎(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断。‎ ‎3.图象变换注意事项：‎ ‎(1)由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度。‎ ‎(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值。‎ ‎4. 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 ‎(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝。‎ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝。‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入。‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口。‎ 解三角形 ‎1. 解三角形即求三角形中的一些基本量，主要指求三角形的三边、三角等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题步骤，利用三角形内角和定理、正弦定理及余弦定理等工具进行边角关系的互化。‎ ‎2．判断三角形形状主要有以下两种途径 ‎(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。‎ ‎(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。‎ ‎3.三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式。‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。‎ 三角函数与解三角形 ‎1、利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路 ‎(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。‎ ‎(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。‎ 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。‎ ‎2、解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：‎ 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。‎ 考查三角函数求值：‎ ‎【例1】已知α∈，且sinα＝－，则cosα＝(　　)‎ A．－ B． C．± D． ‎【答案】A ‎【解析】因为α∈，且sinα＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cosα＝－＝－＝－。‎ ‎【例2】　已知＝－1，求下列各式的值：(1)； (2)sin2α＋sinαcosα＋2。‎ ‎【答案】－； ‎【解析】由已知得tanα＝。‎ ‎(1)＝＝－。‎ ‎(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝。‎ ‎【例3】已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝。‎ ‎(1)求sinx－cosx的值。 (2)求的值。‎ ‎【答案】－；－。‎ ‎【解析】　(1)由sinx＋cosx＝，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，整理得2sinxcosx＝－。‎ 所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝。由x∈(－π，0)，知sinx<0，又sinx＋cosx>0，‎ 所以cosx>0，则sinx－cosx<0， 故sinx－cosx＝－。‎ ‎(2)＝＝＝－。‎ ‎【例4】设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝_________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为f(α)＝＝＝＝，‎ 所以f＝＝＝＝。‎ 考查三角恒等变形：‎ ‎【例1】【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，‎ 解得，或.‎ ‎，‎ 当时，上式 当时，上式=综上，‎ ‎【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.‎ 考查三角函数图像与性质：‎ ‎【例1】【广东省韶关市2019届高考模拟测试(4月)数学文试题】已知函数的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即， 所以，解得，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．‎ ‎【例2】【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图象易知，，，即，且，即，由图可知， 所以，即，又由图可知，周期，且，所以由五点作图法可知，所以函数，因为，所以函数关于对称，即有，所以可得，所以的最小正值为.故选B.‎ ‎【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由易知的图象关于对称，即可求得a的值.‎ 考查解三角形：‎ ‎【例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1)B=60°；(2).‎ ‎【解析】(1)由题设及正弦定理得．因为sinA0，所以．‎ 由，可得，故．‎ 因为，故，因此B=60°．‎ ‎(2)由题设及(1)知．由正弦定理得．‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)‎ A．98π B．π C．π D．100π ‎【答案】B ‎【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以49T＝·≤1，所以ω≥π，‎ 二、三角函数的单调性与ω的关系 ‎【例2】　若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【解析】令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，所以得：6k＋≤ω≤4k＋3。又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0。即≤ω≤3。‎ 三、三角函数最值与ω的关系 ‎【例3】　已知函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，求ω的取值范围。‎ ‎【答案】(－∞，－2]∪。‎ ‎【解析】显然ω≠0。‎ 若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥。‎ 若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2。所以ω≤－，解得ω≤－2。‎ 综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪。‎