专题06 函数与导数（考点速记）-备战2018年高考之数学（理）解答题高分宝典 5页

专题06函数与导数 一、导数的运算及导数的几何意义 ‎(一)导数的运算 ‎1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0,a≠1)‎ f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0,a≠1)‎ f′(x)＝ ‎2.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)(g(x)≠0)．‎ ‎3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u),u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎(二)导数的几何意义 ‎1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f (x0))处的切线的斜率k,即k＝f′(x0)．‎ ‎2．求曲线在某点处的切线的方法 若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可．‎ 二、用导数研究函数的单调性、极值及最值 ‎(一)函数的单调性 ‎1.在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．‎ ‎2.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．‎ ‎3.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零．‎ ‎(二) 函数的极值 ‎(1)一般地,求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0,当f′(x0)＝0时：‎ ‎①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值；‎ ‎②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值．‎ ‎(2)求可导函数极值的步骤：‎ ‎①求f′(x)；‎ ‎②求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值．‎ ‎（三）函数的最值 ‎(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值．‎ ‎(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下：‎ ‎①求函数y＝f(x)在(a,b)内的极值；‎ ‎②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．‎ ‎(四) 知识拓展 ‎1.根据函数单调性求参数的一般思路 ‎(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．‎ ‎(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解．‎ ‎(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．‎ 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值．‎ ‎2.利用导数解不等式的思路 ‎(1)已知一个含f′(x)的不等式,可得到和f(x)有关的函数的单调性,然后可利用函数单调性解不等式．‎ ‎(2)利用导数证明不等式的方法 证明f(x)A恒成立,则f(x)min>A；‎ ‎（2）∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min>0；‎ ‎（4）∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max<0；‎ ‎（5）∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；‎ ‎（6）∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) A成立,则f(x) max>A；‎ ‎（2）∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) ming(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),则F(x) max>0；‎ ‎（4）∃x0∈D,使得f(x0) g(x2)成立,则f(x) max> g(x) min；‎ ‎（6）∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) g(x2)成立,则f(x)min> g(x)min；‎ ‎（2）x1∈D,∃x2∈E, 使得f(x1)