数学文卷·2017届天津市第一中学高三下学期第五次月考（2017 10页

天津一中20162017学年高三年级五月考 数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题 B．命题“已知、为一个三角形的两内角，若，则”的逆命题为真命题 C．“若，则”的否命题为“若，则”‎ D．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 ‎4.已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C．D． ‎ ‎8.已知函数则函数的零点个数为（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.若复数（，为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则 ．‎ ‎10.执行程序框图，该程序运行后输出的的值是 ．‎ ‎11.已知函数，则函数在区间上的最大值为 ．‎ ‎12.设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为 ．‎ ‎13.在直角梯形中，已知，，，，动点，分别在线段和上，且，，则的最小值为 ．‎ ‎14.设函数（，，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎16.本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产，，三种玩具共100个，且 种玩具至少生产20个，每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如表：‎ 玩具名称 工时（分钟）‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ 利润（元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）用每天生产种玩具个数与种玩具表示每天的利润（元）；‎ ‎（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎17.如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）当的长为何值时，二面角的大小为．‎ ‎18.已知数列的前项和，是等差数列，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和．‎ ‎19.已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．‎ ‎20.已知函数的图象在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求实数、的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（Ⅲ）曲线上存在两点、，使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围．‎ 天津一中20162017学年高三年级五月考数学（文科）试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-8: ‎ 二、填空题 ‎9. 10.4 11. 12. 13.5 14. ‎ 三、解答题 ‎15.解：（Ⅰ）∵，∴，‎ 又，，，‎ ‎∴．‎ 又，∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 又，∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎16.解：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）即 最优解为即 ‎∴（元）．‎ ‎17.（Ⅰ）证明：因为平面平面，，平面平面，‎ 所以平面．　‎ 因为平面，所以，‎ 又因为为圆的直径，所以，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有平面，‎ 所以为在平面上的射影，‎ 所以为直线与平面所成的角，‎ 因为，所以四边形为等腰梯形，‎ 过点作，交于．‎ 已知，，则．‎ 在中，根据射影定理，得，‎ ‎，所以．‎ 所以直线与平面所成角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）过作于，连接，则是二面角的平面角，所以．‎ 由和知，，所以，‎ 在中，，则，‎ 在中，，则．‎ 因此，当的长为时，二面角的大小为．‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题意知当时，，‎ 当时，，所以．‎ 设数列的公差为，‎ 由即解得，，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得．‎ 所以．‎ ‎19.解：（Ⅰ）由已知，，即，所以，‎ 则椭圆的方程为．　‎ 由方程组得，①‎ 方程①的判别式，由，得，‎ 此方程①的解为，‎ 所以椭圆的方程为，‎ 点坐标为．‎ ‎（Ⅱ）由已知可设直线的方程为（），‎ 由方程组可得 所以点坐标为，．‎ 设点，的坐标分别为，，‎ 由方程组可得．②‎ 方程②的判别式为，由，解得．‎ 由②得，．‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以 ‎．‎ 故存在常数，使得．‎ ‎20.解：（Ⅰ）当时，．‎ 因为函数图象在点处的切线方程为．‎ 所以切点坐标为，并且 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，，‎ 令可得或，‎ 在和上单调递减，在上单调递增，‎ 对于部分：的最大值为；‎ 当时，，‎ 当时，恒成立，，‎ 此时在上的最大值为；‎ 当时，在上单调递增，且．‎ 令，则，所以当时，‎ 在上的最大值为；‎ 当时，在上的最大值为．‎ 综上可知，当时，在上的最大值为2；‎ 当时，在上的最大值为．‎ ‎（Ⅲ）根据条件，的横坐标互为相反数，不妨设，，（）．‎ 若，则，‎ 由是直角，得，即，‎ 即，此时无解；‎ 若，则，由于的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即．‎ 同理有，即，．由于函数的值域是，实数的取值范围是，即为所求．‎