2020-2021龙岩实验中学高中必修三数学上期中第一次模拟试题含答案 21页

2020-2021 龙岩实验中学高中必修三数学上期中第一次模拟试题含答案 一、选择题 1．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数 x （天） 3 4 5 6 繁殖个数 y （千个） 2.5 3 4 4.5 由最小二乘法得 y 与 x 的线性回归方程为 ? ?0.7y x a ，则当 7x 时，繁殖个数 y 的预测 值为（ ） A．4.9 B．5.25 C．5.95 D．6.15 2．设 ,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程 2 0x mx n 有实根的概率为 （ ） A． 19 36 B． 11 36 C． 7 12 D． 1 2 3．汽车的 “燃油效率 ”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是（ ） A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米 /小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 4．我校高中生共有 2700 人, 其中高一年级 900 人, 高二年级 1200 人, 高三年级 600 人, 现采 取分层抽样法抽取容量为 135 的样本 , 那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A．45,75,15 B．45,45,45 C．45,60,30 D．30,90,15 5．如图，是民航部门统计的某年春运期间 12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比 上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ） A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 . B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降 . C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 . D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 . 6．执行如图的程序框图，则输出 x 的值是 ( ) A． 2018 B． 2019 C． 1 2 D． 2 7．A 地的天气预报显示， A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 30%，现用随机 模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生 0 9 之间整数值 的随机数，并用 0，1，2，3， 4，5，6 表示没有强浓雾，用 7，8，9 表示有强浓雾，再以 每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数： 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为 ( ) A． 1 4 B． 2 5 C． 7 10 D． 1 5 8．运行该程序框图，若输出的 x 的值为 16，则判断框中不可能填（ ） A． 5k B． 4k C． 9k D． 7k 9．已知不等式 5 0 1 x x 的解集为 P ，若 0x P ，则 “ 0 1x ”的概率为（ ）． A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 10． 我国古代名著《庄子 g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”， 其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完 .现将该木棍依此规律截取，如图所 示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度 ( 单位：尺 ) ，则①②③处可分别 填入的是 ( ) A． 17?, , +1i s s i i i B． 1128?, , 2i s s i i i C． 17?, , +1 2 i s s i i i D． 1128?, , 2 2 i s s i i i 11． 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示 “不小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为 （ ） A． 2 3 B． 1 3 C． 1 2 D． 5 6 12． 采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1， 2 ， ...， 960，分组后某组抽到的号码为 41．抽到的 32人中，编号落入区间 401,755 的人 数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 13． 有一批产品，其中有 2 件次品和 4 件正品，从中任取 2 件，至少有 1件次品的概率为 ______． 14． 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土， 土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质 不相克的概率为 _________ 15． 某校高一年级有 600 个学生，高二年级有 550 个学生，高三年级有 650 个学生，为调 查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了 48 个学 生，则应在高一年级抽取学生 ______个 16． 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执 行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 98、63，则输出的 a =_______． 17． 某单位为了了解用电量 y（度）与气温 x（℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量 与当天气温（如表），并求得线性回归方程 ? 3 60y x 为: x c 9 14 -1 y 18 48 30 d 不小心丢失表中数据 c， d，那么由现有数据知 3c d ____________． 18． 某公共汽车站，每隔 15 分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到 站候车时间大于 10 分钟的概率为 ________．（结果用分数表示） 19． 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合 A＝{0 ，1，2， 3，4，5} 内取值的点 中任取一个点，此点正好在直线 y x 上的概率为 ________． 20． 从一副扑克牌中取出 1 张 A，2 张 K ， 2 张 Q 放入一盒子中，然后从这 5 张牌中随机 取出两张，则这两张牌大小不同的概率为 __________． 三、解答题 21． 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法 从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 . （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II ）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一 步的身体检查 . （i ）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii ）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事 件 A 发生的概率 . 22． 自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况， 随机抽取了 100 人，调查结果整理如下： 20 以下 [20 ， 30） [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60 ，70] 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （1）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 [30，50）且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在 [50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取 2 人进一步了解情况，求 这 2 人年龄都在 [50，60）的概率； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送 1 个环保购物袋．若某日该 超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？ 23． 某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数 y 与 当天气温（平均温度） /℃x 的对比表： x 0 1 3 4 y 140 136 129 125 （1）请在图中画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ?? ?y bx a ； （3）如果某天的气温是 5℃，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的 热饮杯数． 参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式： 1 2 2 1 ? n i i i n i i x y nxy b x nx ， ??a y bx ． 参考数据： 0 140 1 136 3 129 4 125 1023,(140 136 129 125) 4 132.5 ． 24． “大众创业，万众创新 ”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号 .共 生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该 产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 , ( 1,2, ,6)i ix y i L ，如表所示： 试销单价 x （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y （件） 90 84 83 80 75 68 已知 6 1 1 80 6 i i y y ， 6 1 3050i i i x y . （1）已知变量 ,x y ，只有线性相关关系，求产品销量 y （件）关于试销单价 x （元）的线 性回方程 y bx a$ $ $ ； （2）用 μ iy 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与 ix 对应的产品销量的估计值 .当销 售数据 ,i ix y 对应的差的绝对值 μ| | 1i iy y 时，则将售数数 ,i ix y 称为一个 “好数据 ”.现 从 6 小销售数据中任取 2 个；求 “好数据 ”至少有一个的概率 . （参考公式：线性回归方程中 ,b a 的最小二乘估计分别为 1 22 1 n i i i n i i x y nx y b x nx $ ， a y bx$ $ ） 25． 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3个． （1）求三种粽子各取到 1个的概率． （ 2 ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望． 26． 2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“ 3+1+2”模式，即语文、数 学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物 中选择 2 门 . 为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析， 其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示 . (1) 若甲同学随机选择 3 门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2) 试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3) 甲同学发现，其物理考试成绩 y ( 分) 与班级平均分 x ( 分) 具有线性相关关系，统计数据 如下表所示，试求当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩 . 参考数据 : 7 2 1 34840i i x ， 7 2 1 50767i i y ， 7 1 41964i i i x y ， 7 1 ( )( ) 314i i i x x y y . 参考公式： y bx a$ $ $ ， 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x n x $ ， $a y b x$ (计算 $a b$，时精确到 0.01). 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．B 解析： B 【解析】 【分析】 根据表格中的数据，求得样本中心为 9 7( , ) 2 2 ，代入回归直线方程，求得 ? 0.35a ，得到回 归直线的方程为 ? 0.7 0.35y x ，即可作出预测，得到答案． 【详解】 由题意，根据表格中的数据，可得 3 4 5 6 9 2.5 3 4 4.5 7, 4 2 4 2 x y ， 即样本中心为 9 7( , ) 2 2 ，代入回归直线方程 ? ?0.7y x a ，即 7 9 ?0.7 2 2 a ， 解得 ? 0.35a ，即回归直线的方程为 ? 0.7 0.35y x ， 当 7x 时， ? 0.7 7 0.35 5.25y ，故选 B． 【点睛】 本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直 线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．A 解析： A 【解析】 由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是 6×6=36 种结果， 方程 x2+mx+n=0 有实根要满足 m2-4 n? 0， 当 m=2，n=1 m=3， n=1，2 m=4， n=1，2，3，4 m=5， n=1，2，3，4， 5，6， m=6， n=1，2，3，4， 5，6 综上可知共有 1+2+4+6+6=19 种结果 ∴方程 x2+mx+n=0 有实根的概率是 19 36 ； 本题选择 A 选项 . 3．D 解析： D 【解析】 【分析】 【详解】 解：对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h 时，乙车的燃油效率大于 5km/L， ∴当速度大于 40km/h 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A 错误； 对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽 油，甲车的行驶路程最远， ∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误； 对于 C，由图象可知当速度为 80km/h 时，甲车的燃油效率为 10km/L， 即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，故 C 错误； 对于 D，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故 D 正确 故选 D． 考点： 1、数学建模能力； 2、阅读能力及化归思想 . 4．C 解析： C 【解析】 因为共有学生 2700，抽取 135，所以抽样比为 135 2700 ，故各年级分别应抽取 135900 45 2700 ， 1351200 60 2700 ， 135600 30 2700 ，故选 C. 5．D 解析： D 【解析】 【分析】 根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】 由图可知，选项 A、B、C都正确，对于 D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅 度，所以错误． 故选 D． 【点睛】 本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题． 6．D 解析： D 【解析】 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x，y 的值，当 2019y 时，不满足条件退 出循环，输出 x 的值即可得解． 【详解】 解：模拟执行程序框图，可得 2, 0x y . 满足条件 2019y< ，执行循环体， 1, 1x y ； 满足条件 2019y< ，执行循环体， 1, 2 2 x y ； 满足条件 2019y< ，执行循环体， 2, 3x y ； 满足条件 2019y< ，执行循环体， 1, 4x y ； ⋯ 观察规律可知， x 的取值周期为 3，由于 2019 673 3＝ ，可得： 满足条件 2019y< ，执行循环体， 当 2, 2019x y ,不满足条件 2019y< ，退出循环，输出 x 的值为 2． 故选 D． 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 x，y 的值，根据循环的周 期，得到跳出循环时 x 的值是解题的关键． 7．D 解析： D 【解析】 【分析】 由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数， 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共 4 组随机数，根据 概率公式，得到结果． 【详解】 由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数， 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有， 可以通过列举得到共 5 组随机数： 978，479、588、779，共 4 组随机数， 所求概率为 4 1 20 5 ， 故选 D． 【点睛】 本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应 用． 8．D 解析： D 【解析】 运行该程序，第一次， 1,k 2x , 第二次， 2,k 3x ， 第三次， 4,k 4x ， 第四次， 16,k 5x ， 第五次， 4,k 6x ， 第六次， 16,k 7x ， 第七次， 4,k 8x ， 第八次， 16,k 9x ， 观察可知， 若判断框中为 5k ．，则第四次结束，输出 x 的值为 16，满足； 若判断框中为 4k ．，则第四次结束，输出 x 的值为 16，满足； 若判断框中为 9k ．，则第八次结束，输出 x 的值为 16，满足； 若判断框中为 7k ．，则第七次结束，输出 x 的值为 4，不满足； 故选 D. 9．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：解分式不等式得集合 P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果 . 详解： ( 5)( 1) 05 0 1 01 x xx xx ， ∴ | 1 5P x x ， | | 1 1 1x x ， ∴ 1 ( 1) 1 5 ( 1) 3 P ． 选 B ． 点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找， 有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 10．B 解析： B 【解析】 【分析】 分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出 S 的值，由此可得到结论 . 【详解】 由题意，执行程序框图，可得： 第 1 次循环： 11 , 4 2 S i ； 第 2 次循环： 1 11 , 8 2 4 S i ； 第 3 次循环： 1 1 11 , 16 2 4 8 S i ； 依次类推，第 7 次循环： 1 1 1 11 , 256 2 4 128 8 S iL ， 此时不满足条件，推出循环， 其中判断框①应填入的条件为： 128?i ， 执行框②应填入： 1S S i ，③应填入： 2i i . 故选： B. 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答 的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 . 11．A 解析： A 【解析】 【分析】 由古典概型概率公式分别计算出事件 A 和事件 B发生的概率，又通过列举可得事件 A 和事 件 B 为互斥事件，进而得出事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率即为事件 A 和事件 B 的 概率之和． 【详解】 事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”， ∴P(A) 2 1 6 3 ，P(B) 2 1 6 3 ， 又小于 5 的偶数点有 2 和 4，不小于 5 的点数有 5 和 6， 所以事件 A 和事件 B 为互斥事件， 则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为 P（A∪B）＝ P(A)+P(B) 1 1 2 3 3 3 ， 故选： A． 【点睛】 本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 12．C 解析： C 【解析】 【分析】 由题意可得抽到的号码构成以 11 为首项、以 30 为公差的等差数列，求得此等差数列的通 项公式为 an＝30n﹣19，由 401≤ 30n﹣21≤ 755，求得正整数 n 的个数，即可得出结论． 【详解】 ∵960÷32＝30，∴每组 30 人，∴由题意可得抽到的号码构成以 30 为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为 41，可知第一组抽到的号码为 11， ∴由题意可得抽到的号码构成以 11 为首项、以 30 为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为 an＝11+（n﹣1） 30＝30n﹣19， 由 401≤30n﹣19≤755， n 为正整数可得 14≤n≤25， ∴做问卷 C 的人数为 25﹣14+1＝12， 故选 C． 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为 等差数列是解决本题的关键，比较基础． 二、填空题 13．【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事 件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详 解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式 解析： 5 6 . 【解析】 【分析】 利用古典概型概率公式求出事件“至少有 1件次品”的对立事件“全都是次品”的概率， 再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率 . 【详解】 记事件 :A 至少有 1件次品，则其对立事件为 :A 全都是次品， 由古典概型的概率公式可得 2 2 2 4 1 6 CP A C ， 1 51 1 6 6 P A P A . 因此，至少有 1件次品的概率为 5 6 ，故答案为 5 6 . 【点睛】 本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及 “至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计 算能力，属于中等题 . 14．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有 5种故不相克的种数有 5种 故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答 案为 解析： 1 2 【解析】 五种抽出两种的抽法有 2 5 10C 种，相克的种数有 5 种，故不相克的种数有 5 种，故五种 不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是 1 2 ，故答案为 1 2 . 15．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为 n首先求出高一年级人数 占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生 数【详解】设应在高一年级抽取学生数为 n因为某校高一年级有 600 解析： 24 【解析】 【分析】 设应在高一年级抽取学生数为 ，首先求出高一年级人数占总人数的百分比，然后通过分 层抽样的性质，由此能求出应在高一年级抽取学生数。 【详解】 设应在高一年级抽取学生数为 ， 因为某校高一年级有 个学生，高二年级有 个学生，高三年级有 个学生， 用分层抽样的方法抽取一个样本，在高二、高三共抽取了 个学生， 所以 ， 解得 ， 所以应在高一年级抽取学生为 个，故答案为 。 【点睛】 本题考查应在高一抽取的学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求 解能力，本题是基础题。 16．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐 次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此 输出的为故答案为 7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属 解析： 7 【解析】 【分析】 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 得到输出 a 的值 . 【详解】 由程序框图可知： 98 63a b ， 35 98 63, 28 63 35a b ， 7 35 28, 21 28 7a b ， 14 21 7, 7 21 14a b ， 7 14 7a ，则 7a b ，因此输出的 a 为 7 ，故答案为 7. 【点睛】 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 . 解决程序框图问题时一定注意以下 几点： (1) 不要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结 构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确 控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 ,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要 按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 . 17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心 点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则： 即：整理可得：故答案为： 270点睛： (1)正确理解计算的公式和准确 解析： 【解析】 分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最 终结果 . 详解：由题意可得： 9 14 1 22 4 4 c cx ， 18 48 30 96 4 4 d dy ， 回归方程过样本中心点，则： 96 223 60 4 4 d c ， 即： 96 3 22 240d c ， 整理可得： 3 270c d . 故答案为： 270． 点睛： (1)正确理解计算 $,b a$ 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程 y bx a$ $ $ 必过样本点中心 ,x y ． (3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具 有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测． 18．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔 15 分钟有一辆车出 发所以基本事件总数包括的时间长度为 15 由于出发前要停靠 3 分钟所以乘客到 站候车时间大于 10 分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间 解析： 2 15 【解析】 由题意知，这是一个几何概型，因为公共汽车每隔 15 分钟有一辆车出发，所以基本事件总 数包括的时间长度为 15，由于出发前要停靠 3 分钟，所以乘客到站候车时间大于 10 分钟 的事件包括的时间长度为 15 13 2 ，则乘客到站候车时间大于 10 分钟的概率为 2 15 P 。 点睛：本题主要考查了利用几何概型求概率，属于基础题。本题首先要判断是古典概型还 是几何概型，由于乘客到达车站的时刻是任意的，所以是几何概型。 19．【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点共有 种结果满足条件的事件是点正好在直线上可以列举出结果数得到概率【详解】 由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是横纵坐标都 解析： 1 6 【解析】 【分析】 试验发生包含的事件是横纵坐标都在 01 2 3 4 5A ，，，，， 内任取一个点，共有 6 6 种结果， 满足条件的事件是点正好在直线 y x 上，可以列举出结果数，得到概率． 【详解】 由题意知本题是一个等可能事件的概率， ∵试验发生包含的事件是横纵坐标都在 01 2 3 4 5A ，，，，， 内任取一个点， 共有 6 6 36种结果， 满足条件的事件是点正好在直线 y x 上，可以列举出共有（ 0，0）（ 1，1）（ 2，2） （3，3）（ 4，4）（ 5，5）共有 6 种结果， ∴要求的概率是 6 1 36 6 P ， 故答案为 1 6 . 【点睛】 本题考查等可能事件的概率，解决本题的关键是注意利用列举法求满足条件的事件数时， 注意做到不重不漏，千万不要漏掉原点． 20．【解析】试题分析：从这 5 张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有 ８种故概率是 解析： 4 5 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 从 这 5 张 牌 中 随 机 取 出 两 张 的 情 况 有 ： , , , , , , , , ,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ， 其 中 不 同 的 有 ８ 种 ， 故 概 率 是 8 4 10 5 P 。 三、解答题 21． （Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人， 2 人， 2 人．（Ⅱ）（ i）答案 见解析；（ ii ） 6 7 ． 【解析】 分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人， 2 人， 2 人． （Ⅱ）（ i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即 P （X=k）= 3 4 3 3 7 C C C k k （k=0，1，2， 3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为 12 7 E X ． （ii ）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件 A 发生的概率为 6 7 ． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人， 2 人， 2 人． （Ⅱ）（ i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3． P（X=k）= 3 4 3 3 7 C C C k k （k=0，1， 2，3）． 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量 X 的数学期望 1 12 18 4 120 1 2 3 35 35 35 35 7 E X ． （ii ）设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”； 事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”， 则 A=B∪C，且 B 与 C 互斥， 由（ i）知， P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故 P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= 6 7 ． 所以，事件 A 发生的概率为 6 7 ． 点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样 .超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机 变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对 象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布，超几何分布主要用 于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计 算时，常利用以下关系式巧解： (1) n N 样本容量 该层抽取的个体数 总体的个数 该层的个体数 ；(2) 总体中某 两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 22． （1） 17 100 ．（ 2） 2 5 ；（ 3） 2200个 【解析】 【分析】 （1）直接计算概率得到答案 . （2）列出所有情况，包含 15 个基本事件，满足条件的共有 6 个基本事件，计算得到概率 . （3）按照比例关系计算得到答案 . 【详解】 （1）随机抽取的 100 名顾客中，年龄在 [30，50）且未使用自由购的有 3+14＝17 人， 所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在 [30，50）且未参加自由购的概率估计为 17 100 P ． （2）设事件 A 为“这 2 人年龄都在 [50，60）”. 被抽取的年龄在 [50，60）的 4 人分别记为 a1，a2，a3，a4， 被抽取的年龄在 [60，70]的 2 人分别记为 b1，b2， 从被抽取的年龄在 [50，70]的自由购顾客中随机抽取 2 人 共包含 15 个基本事件， 分别为 a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1， a2b2， a3a4， a3b1，a3b2，a4b1， a4b2， b1b2， 事件 A 包含 6 个基本事件， 分别为 a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4， 则 6 2 15 5 P A ； （3）随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的有 3+12+17+6+4+2 ＝44 人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 44 5000 2200 100 ． 【点睛】 本题考查了概率的计算，总体估计，意在考查学生的计算能力和应用能力 . 23． （1）散点图见解析；（ 2） ? 3.7 139.9y x ；（ 3）121 杯 . 【解析】 【分析】 （1）根据表中数据，画出散点图即可； （2）根据表中数据，计算 4 4 2 1 1 , , ,i i i i i x y x y x ，代入公式求出 , ^ ^ b a ，写出回归方程； （3）根据回归方程计算 5x 时 ^ y 的值即可 . 【详解】 （1）根据表中数据，画出散点图，如图所示； （2）计算 1 (0 1 3 4) 2 4 x ， 1 (140 136 129 125) 132.5 4 y 又 4 1 1023i i i x y ， 4 2 1 26i i x ， ∴ 2 1023 4 2 132.5? 3.7 26 4 2 b ， ?? 132.5 ( 3.7) 2 139.9a y bx ， 故所求线性回归方程为 ? 3.7 139.9y x ； （3）当 5x 时， ? 3.7 5 139.9 121.4 121y ；预测这天大约可以卖出 121 杯热 饮． 【点睛】 本题考查线性回归方程的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题 . 24． （1） $ 4 106y x ；（ 2） 4 5 ． 【解析】 【分析】 （1）根据所给数据计算回归方程中的系数，得回归方程； （2）由回归方程计算每个销量的估计值，确定“好数据”的个数，然后确定基本事件的个 数后可求得概率． 【详解】 （1）由已知 4 5 6 7 8 9 6.5 6 x ， 1 22 1 n i i i n i i x y nx y b x nx $ 2 2 2 2 2 2 2 3050 6 6.5 80 4 (4 5 6 7 8 9 ) 6 6.5 ， $ 80 ( 4) 6.5 106a ， ∴所求回归直线方程为 $ 4 106y x ． （2）由（ 1） 4x 时， μ1 90y ， 2 5x 时， μ2 86y ， 3 6x 时， μ3 82y ， 4 7x 时， μ4 78y ， 5 8x 时， μ5 74y ， 6 9x 时， μ6 70y ， 与销售数据比较，“好数据”有 3 个 ,(4,90) , (6,82) , (8,74) , 从 6 个数据中任取 2 个的所有可能结果共有 6 5 2 15 种，其中 2 个数据中至少有一个是 “好数据”的结果有 3 3 3 12 种， 所求概率为 12 4 15 5 P ． 【点睛】 本题考查线性回归直线方程，考查古典概型．解题时根据所给数据计算回归方程的系数， 考查了学生的运算求解能力与数据处理能力． 25． (1) 1( ) 4 P A ;(2) 见解析 . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量 X 的取值为： 0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望 试题解析：（ 1）令 A 表示事件 “三种粽子各取到 1 个”，由古典概型的概率计算公式有 P（A）＝ 1 1 1 2 3 5 3 10 C C C C ＝ 1 4 . （2）X 的可能取值为 0,1,2，且 P（X＝0）＝ 3 8 3 10 C C ＝ 7 15 ， P（X＝1）＝ 1 2 2 8 3 10 C C C ＝ 7 15 ， P（X＝2）＝ 2 1 2 8 3 10 C C C ＝ 1 15 综上知， X 的分布列为： X 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 故 E（X）＝ 0×7 15 ＋1×7 15 ＋2×1 15 ＝ 3 5 （个） 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 26． （1） 1 4 ；（ 2）见解析；（ 3）见解析 【解析】 【分析】 (1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得 到答案 . (2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科； （3）先计算 x 和 y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值 50 即可得到答 案 . 【详解】 (1) 记物理、历史分别为 1 2,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为 1 2 3 4, , ,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有 1 1 2, ,A B B ， 1 1 3, ,A B B ， 1 1 4, ,A B B ， 1 2 3, ,A B B ， 1 2 4, ,A B B ， 1 3 4, ,A B B ， 2 1 2, ,A B B ， 2 1 3, ,A B B ， 2 1 4, ,A B B ， 2 2 3, ,A B B ， 2 2 4, ,A B B ， 2 3 4, ,A B B ，共 12 种 他选到物理、地理两门功课的满情形有 1 1 2 1 2 3 1 2 4, , , , , ,A B B A B B A B B ，共 3 种 甲同学选到物理、地理两门功课的概率为 3 1 12 4 P (2) 物理成绩的平均分为 76 82 82 85 87 90 93 85 7 x物理 历史成绩的平均分为 69 76 80 82 94 96 98 85 7 x历史 由茎叶图可知物理成绩的方差 2s 物理 历史成绩的方差 2s 物理 故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从 最高分的情况来看，应选择历史学科 ( 答对一点即可 ) (3) 57+61+65+72+74+77+84 70 7 x ， 85y , 7 1 7 22 2 1 7 41964 7 70 85 314 0.58 34840 7 70 540 ? 7 i ii ii x y x y b x x 85 0.58 70 44.? 0? 4a y b x y 关于 x 的回归方程为 0.58 +44.40y x 当 50x 时， 0.58 50+44.40 73y , 当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩为 73 分 【点睛】 本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读 理解能力，计算能力和分析能力，难度不大 .