2019届二轮复习　平面向量学案（全国通用） 16页

第4练　平面向量 ‎[明晰考情]　1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度．‎ 考点一　平面向量的线性运算 要点重组　(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘．‎ ‎(2)共线向量定理．‎ ‎(3)平面向量基本定理．‎ 方法技巧　(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减．‎ ‎(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.‎ ‎(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决．‎ ‎1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　作出示意图如图所示．‎ ＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)‎ ‎＝－.‎ 故选A.‎ ‎2.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．3‎ 答案　B 解析　∵＝，∴＝，‎ ‎∴＝m＋＝m＋.‎ 又B，N，P三点共线，‎ ‎∴m＝.‎ ‎3.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A．2 B.　C. D. 答案　D 解析　方法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1)．‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，‎ ‎∴解得故λ＋μ＝.‎ 方法二　以，作为基底，‎ ‎∵M，N分别为BC，CD的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋，‎ ＝＋＝－，‎ ‎∴＝λ＋μ＝＋，‎ 又＝＋，‎ 因此解得 所以λ＋μ＝.‎ ‎4．已知AB，DC为梯形ABCD的两腰，若＝(－1,3)，＝(1－x，2x)，则x＝_____.‎ 答案　3‎ 解析　由梯形的性质知，∥，且同向，‎ 则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.‎ ‎5．在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM＝3CM，若＝x＋y，则x－y＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　因为＝＋＝＋，＝－，‎ 所以＝＋(－)＝－，‎ 所以x＝－，y＝，则x－y＝－2.‎ 考点二　平面向量的数量积 要点重组　(1)a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎(2)|a|2＝a·a；cos θ＝.‎ 方法技巧　(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法．‎ ‎(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法．‎ ‎6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)‎ A．－ B．－　C. D. 答案　A 解析　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.‎ ‎7．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ 答案　B 解析　方法一　(解析法)‎ 建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)．设P点的坐标为(x，y)，‎ 图①‎ 则＝(－x，－y)，‎ ＝(－1－x，－y)，‎ ＝(1－x，－y)，‎ ‎∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)‎ ‎＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.‎ 当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.‎ 故选B.‎ 方法二　(几何法)‎ 如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.‎ 图②‎ 要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，‎ 问题转化为求||||的最大值．‎ 又当点P在线段AD上时，‎ ‎||＋||＝||＝2×＝，‎ ‎∴||||≤2＝2＝，‎ ‎∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.‎ 故选B.‎ ‎8．已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 答案　A 解析　||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝.‎ 又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.‎ ‎9．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．‎ 答案　 解析　由已知可得≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，‎ 由于上式对任意单位向量e都成立．‎ ‎∴≥|a＋b|成立．‎ ‎∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.‎ 即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.‎ ‎10．在平面内，·＝·＝·＝6，动点P，M满足||＝2，＝，则||2的最大值是________．‎ 答案　16‎ 解析　由已知易得△ABC是等边三角形且边长为2.设O是△ABC的中心，则||＝||＝||＝2.‎ 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，‎ 如图所示，‎ 则A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，)．‎ 设P(x，y)，由已知||＝2，‎ 得(x－2)2＋y2＝4.∵＝，‎ ‎∴M，∴＝，‎ ‎∴||2＝，‎ 它表示圆(x－2)2＋y2＝4上的点P(x，y)与点D(－1，－3)的距离的平方的，‎ ‎∵||max＝＋2＝＋2＝8，‎ ‎∴||＝＝16.‎ 考点三　平面向量的综合应用 方法技巧　(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题．‎ ‎(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题．‎ ‎11．(2018·温州模拟)如图已知△ABC的边BC的垂直平分线交BC于Q，交AC于P，若||＝1，||＝2，则·的值为(　　)‎ A．3 B. C. D. 答案　B 解析　因为BC的垂直平分线交AC于Q，所以·＝0，·＝·＝·＋·＝＝＝，故选B.‎ ‎12．如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝120°，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB, M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案　C 解析　· ＝·＝2＋·＋· ‎ ‎＝1＋||cos150°＋||·||cos120°≤1＋0×＋0×＝1，当且仅当M点与O点重合时取等号，故选C.‎ ‎13．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋ ＝x＋y，则＋的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C. D. 答案　D 解析　由题图可知x，y均为正，设＝m＋n，＝λ＋μ，∵B，D，E，C共线，‎ ‎∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，‎ ‎∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，‎ 则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，‎ ‎∴＋＝＝≥＝，‎ 当且仅当x＝，y＝时，等号成立．‎ 则＋的最小值为，故选D.‎ ‎14．(2018·浙江省名校协作体联考)设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.△ABC内的点Pn(n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2∶1，若＋xn＋1·＋(2xn＋1)＝0，则x4的值为(　　)‎ A．15 B．17‎ C．29 D．31‎ 答案　A 解析　由＋xn＋1＋＝0得＋(2xn＋1)·＝－xn＋1 ，‎ 设＝(2xn＋1)，‎ 以线段PnA，PnD 作出平行四边形AEDPn ，如图，‎ 则＋＝＝－xn＋1，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝ , ＝＝， ‎ ‎∴＝＝， ‎ 则＝＝，‎ 即xn＋1＝2xn＋1，‎ ‎∴xn＋1＋1＝2(xn＋1), ‎ 则{xn＋1} 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，‎ 所以x4＋1＝2×23＝16 ，所以x4＝15.故选A.‎ ‎15．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1, ＝x＋y且x＋y＝1，函数f(m)＝|－m|的最小值为，则||的最小值为________．‎ 答案　 解析　在△ABC中，∠ACB为钝角， AC＝BC＝1，‎ 函数f(m)的最小值为.‎ ‎∴函数f(m)＝|－m|‎ ‎＝ ‎＝≥，‎ 化为4m2－8mcos∠ACB＋1≥0恒成立．‎ 当且仅当m＝＝cos∠ACB时等号成立，‎ 代入得到cos∠ACB＝－(舍去正值)，‎ ‎∴∠ACB＝.‎ ‎∴2＝x22＋y22＋2xy· ‎＝x2＋y2＋2xy×cos ‎＝x2＋(1－x)2－x(1－x)‎ ‎＝32＋，‎ 当且仅当x＝＝y时， 2取得最小值，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎1．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ A．|a·b|≤|a||b| ‎ B．|a－b|≤||a|－|b||‎ C．(a＋b)2＝|a＋b|2 ‎ D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2‎ 答案　B 解析　选项B中，当向量a，b反向及不共线时，‎ 有|a－b|＞，故B中关系式不恒成立．‎ ‎2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则·等于(　　)‎ A. B. C．3 D．2 答案　C 解析　∵＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，‎ 又△ABC的外接圆的半径为1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30°，‎ ‎∴·＝||||·cos 30°＝×2×＝3.‎ ‎3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．‎ 答案　∪ 解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，由a·(a＋λb)＞0，可得λ＞－.‎ 又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.故λ＞－且λ≠0.‎ ‎4．向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，若|λa－b|的最小值为2(λ∈R)，则a·b＝______.‎ 答案　8‎ 解析　向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，‎ 即a·b＝b2.‎ 若|λa－b|＝＝≥2(λ∈R)，‎ 化为16λ2－2λa·b＋a·b－4≥0对于λ∈R恒成立，‎ ‎∴Δ＝4(a·b)2－64(a·b－4)≤0，‎ 化为(a·b－8)2≤0，‎ ‎∴a·b＝8.‎ 解题秘籍　(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质．‎ ‎(2)注意向量夹角的定义和范围．在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)．‎ ‎1．(2018·金华模拟)已知平面向量a，b，c，满足＋＝，且|a|＋|b|＋|c|＝4，则c·(a＋b)的最大值为(　　 )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　由题意可得＋＝，‎ 可得〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°，‎ 故c·(a＋b)＝ ，‎ 将|a|＋|b|＋|c|＝4两边同时乘以|c|，‎ 可得|a||c|＋|b||c|＝－|c|2＋4|c|，‎ 故c·(a＋b)＝ ＝ ＝，‎ 故[c·(a＋b)]max＝＝2.‎ ‎2．若||＝1，||＝4，·＝2，＋＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．1 B．2 C. D．2 答案　C 解析　因为＋＝，‎ 所以＝－＝，＝－＝，‎ 又||＝1，||＝4，‎ 所以||＝1，||＝4，·＝2，即·＝2.‎ 设与的夹角为θ，易知θ与∠BCA互为对顶角，‎ 所以θ＝∠BCA.‎ 由·＝||·||cos θ＝1×4cos θ＝2，‎ 得cos θ＝，∠BCA是三角形的内角，sin∠BCA＝sin θ＝，‎ 所以S△ABC＝||·||sin∠BCA＝.‎ ‎3．(2018·诸暨月考)平行四边形ABCD中，，在上的投影分别为3，－1，则在上的投影的取值范围是(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．(－1,3)‎ C．(0，＋∞) D．(0,3)‎ 答案　A 解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，0)，∠CBD＝θ，‎ 则C(3，b)，D(a－1，b), ‎ 则3－(a－1)＝a，解得a＝2 .‎ 所以D(1，b)，C(3，b) .‎ 在上的投影为||cos θ＝cos θ.‎ 当b→0 时，cos θ→－1 ，得BM→－1 .‎ 当b→＋∞ 时，θ→0 ，得BM→＋∞.‎ 故选A.‎ ‎4．(2018·浙江湖州、衢州、丽水三市联考)已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，则＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．[－，] B．[－，1)‎ C．[－，－1] D．(1，]‎ 答案　B 解析　由题意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上，设C(cos α，sin α)，则α∈，‎ 显然＝cos α＋sin α，‎ 即m＝cos α，n＝sin α， m＋n＝cos α＋sin α＝sin，‎ 由于α∈，所以α＋∈， sin∈，‎ 所以m＋n∈[－，1)，故选B.‎ ‎5．(2018·浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点A，B，C，则·＋·＋·的值为(　　)‎ A．正数 B．负数 C．0 D．以上说法都有可能 答案　B 解析　·＋·＋· ‎＝×2(·＋·＋·)‎ ‎＝[(·＋·)＋(·＋·)＋(·＋·)]‎ ‎＝[·(＋)＋·(＋)＋·(＋)]‎ ‎＝(·＋·＋·)‎ ‎＝(－2－2－2)<0.‎ 即·＋·＋·的值为负数．‎ ‎6．设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，若＝λ1＋λ2，则(　　)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　A 解析　设＝λ1，＝λ2.因为O是△ABC的内心，所以AO平分∠BAC，所以平行四边形AMON为菱形，且λ1>0，λ2>0，由||＝||，得|λ1|＝|λ2|，即λ1c＝λ2b，亦即＝，故选A.‎ ‎7．(2018·浙江省新昌中学、台州中学等联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则·的最大值是(　　)‎ A．2 B．1 C．0 D．－1‎ 答案　B 解析　连接BC，则∠ACB＝90°，‎ ‎∵AP⊥PC，‎ ‎∴·＝·＝·＝·＝2，‎ 依题意可证Rt△APC∽Rt△ACB，则＝，‎ 即|PC|＝.‎ ‎∵|AC|2＋|CB|2＝|AB|2，‎ ‎∴|AC|2＋|CB|2＝4≥2|AC||CB|，‎ 即|AC||CB|≤2，当且仅当|AC|＝|CB|＝时取等号，‎ ‎∴|PC|≤1，‎ ‎∴·＝2≤1，‎ ‎∴·的最大值为1，故选B.‎ ‎8．(2018·浙江省嘉兴一中、杭州高级中学等联考)设a1，a2，a3，a4∈R，且a1a4－a2a3＝1，记f(a1，a2，a3，a4)＝a＋a＋a＋a＋a1a3＋a2a4，则f(a1，a2，a3，a4)的最小值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．2 答案　B 解析　设m＝(a1，a2)，n＝，‎ 因为a1a4－a2a3≠0，所以m，n不共线，‎ 则f(a1，a2，a3，a4)＝|m|2＋|n|2＋m·n，‎ 记cos θ＝，θ∈(0，π)，‎ 则S△＝|m||n|sin θ＝|m||n| ‎＝|a1a4－a2a3|＝⇒|m||n|＝⇒f(a1，a2，a3，a4)‎ ‎≥2|m||n|＋m·n＝＋≥(利用三角函数的有界性)．‎ ‎9．(2018·浙江省嘉兴市第一中学模拟)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b ＝________，e1与e2的夹角为________．‎ 答案　2　 解析　因为＝2，所以a·b＝2.‎ 设e1与e2的夹角为θ，则＝ ‎＝＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2，‎ 解得cos θ＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ ‎10．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，＝m＋，则的最小值为________， 又若⊥，则m＝________.‎ 答案　　 解析　因为·＝||·||·cos A＝3，‎ 所以2＝2‎ ‎＝m22＋2m·＋2‎ ‎＝9m2＋6m＋4＝(3m＋1)2＋3 ，‎ 所以当3m＋1＝0时， 取最小值；‎ 因为⊥，‎ 所以·＝· ‎＝(m－1)·－m2＋2＝3(m－1)－9m＋4＝0，‎ 解得m＝.‎ ‎11．(2018·浙江省杭州市第二中学月考)已知点M为单位圆x2＋y2＝1上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x＝2上，则·的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　设A(2，t)，M(cos θ，sin θ)θ∈[0,2π]，‎ 则＝(cos θ－2，sin θ－t)，＝(－2，－t)，‎ 所以·＝4＋t2－2cos θ－tsin θ.‎ 又(2cos θ＋tsin θ)max＝，‎ 故·≥4＋t2－.‎ 令s＝，则s≥2，又4＋t2－＝s2－s≥2，‎ 当s＝2 即t＝0时等号成立，故min＝2.‎ ‎12．若向量a，b满足a2＋a·b＋b2＝1，则的最大值为________．‎ 答案　 解析　因为2＋2＝2a2＋2b2，2－2＝4a·b，‎ 所以＋＝1，‎ 即＋＝1，‎ 即2＝－≤，‎ 故≤.‎