高中数学选修2-2课时提升作业(三) 1_2_1 10页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(三)‎ 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.已知f(x)=xa，若f′(-1)=-4，则a等于(　　)‎ A.4 B.‎-4 ‎ C.5 D.-5‎ ‎【解题指南】先求出函数的导数，然后把f′(-1)=-4代入即可求出参数的值.‎ ‎【解析】选A.因为f(x)=xa，‎ 所以f′(x)=axa-1，‎ 又因为f′(-1)=-4，即a(-1)a-1=-4，‎ 解得a=4.‎ ‎2.(2014·济南高二检测)在曲线f(x)=上切线的倾斜角为π的点的坐标为 ‎(　　)‎ A.(1，1) B.(-1，-1)‎ C.(-1，1) D.(1，1)或(-1，-1)‎ ‎【解析】选D.因为f(x)=，‎ 所以f′(x)=-，‎ 因为切线的倾斜角为π，‎ 所以切线斜率为-1，‎ 即f′(x)=-=-1，‎ 所以x=±1，则当x=1时，f(1)=1；‎ 当x=-1时，f(1)=-1，‎ 则点坐标为(1，1)或(-1，-1).‎ ‎3.已知函数f(x)=lgx，则f′(e)=(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.因为f(x)=lgx，‎ 所以f′(x)=，‎ 所以f′(e)=.‎ ‎【变式训练】f(x)=logax，若f′(e)=，则a=__________.‎ ‎【解析】因为f′(x)=，‎ 所以f′(e)==.‎ 所以lna=1，a=e.‎ 答案：e ‎4.(2014·北京高二检测)已知曲线y=x3在点(2，8)处的切线方程为y=kx+b，则k-b=(　　)‎ A.4 B.‎-4 ‎ C.28 D.-28‎ ‎【解析】选C.因为y′=3x2，‎ 所以k=y′|x=2=12，‎ 切线方程为y-8=12(x-2)，即12x-y-16=0，‎ y=12x-16，所以k=12，b=-16，所以k-b=28.‎ ‎【变式训练】已知函数f(x)=在(x0，y0)(x0>0)处的切线方程为y=-x+b，则b=________.‎ ‎【解析】因为f(x)=，所以f′(x)=-，‎ 又f(x)=在(x0，y0)(x0>0)处的切线方程为y=-x+b，‎ 所以f′(x0)=-=-，‎ 解得x0=2，所以y0=，‎ 又因为点在y=-x+b上，代入方程，解得b=1.‎ 答案：1‎ ‎5.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么(　　)‎ A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0‎ C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 ‎【解析】选B.因为切线方程为x+2y-3=0，‎ 所以k=f′(x0)=-<0.‎ ‎【误区警示】解答此题时常因不能正确理解导数的几何意义而无从下手，从而得不到正确答案.‎ ‎6.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2…xn的值为(　　)‎ A. B. C. D.1‎ ‎【解析】选B.对y=xn+1(n∈N*)求导得y′=(n+1)xn，令x=1，得在点(1，1)处的切线的斜率k=n+1，在点(1，1)处的切线方程为y-1=k(xn-1)=(n+1)(xn-1)，不妨设y=0，xn=，则x1·x2…xn=×××…××=，故选B.‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.质点的运动方程是s=(其中s的单位是m，t的单位是s).质点在t=3s时的速度是________.‎ ‎【解析】由导数公式，s′=′=(t-4)′=-4t-5，质点在t=3时的速度为s′|t=3=-4×(3)-5=-.‎ 答案：-‎ ‎8.已知f(x)=a2(a为常数)，g(x)=lnx，若2x[f′(x)+1]-g′(x)=1，则x=________.‎ ‎【解析】因为f′(x)=0，g′(x)=，‎ 所以2x[f′(x)+1]-g′(x)=2x-=1，‎ 解得x=1或x=-，因为x>0，所以x=1.‎ 答案：1‎ ‎【误区警示】解答此题时易忽视隐含条件x>0，造成增根，致使答案错误.‎ ‎9.(2014·南京高二检测)已知函数y=f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y=x+2，则f(1)+f′(1)=________.‎ ‎【解析】由已知切点在切线上，‎ 所以f(1)=+2=，‎ 切点处的导数为切线斜率，‎ 所以f′(1)=，所以f(1)+f′(1)=3.‎ 答案：3‎ ‎【变式训练】函数f(x)=lnx在点(e，1)处的切线方程为________.‎ ‎【解析】因为f(x)=lnx，‎ 所以f′(x)=，‎ 所以f(x)=lnx在点(e，1)处的切线斜率k=f′(e)=，‎ 切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0.‎ 答案：x-ey=0‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎10.(2014·长沙高二检测)求过曲线f(x)=cosx上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.‎ ‎【解析】f(x)=cosx，所以f′(x)=-sinx，‎ 则曲线f(x)=cosx在点P的切线斜率为 f′=-sin=-，‎ 所以所求直线的斜率为，‎ 所求直线方程为y-=，‎ 即y=x-π+.‎ ‎11.(2014·苏州高二检测)设曲线y=ex(x≥0)在点M(t，et)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的解析式.‎ ‎【解析】对y=ex求导可得 f′(x)=(ex)′=ex，‎ 故切线l在点M(t，et)处的斜率为 f′(t)=et，‎ 故切线l的方程为 y-et=et(x-t).‎ 即etx-y+et(1-t)=0，‎ 令y=0可得x=t-1，‎ 令x=0可得y=et(1-t)，‎ 所以S(t)=|(t-1)·et(1-t)|‎ ‎==(t-1)2et(t≥0).‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·广州高二检测)若f(x)=sinx，f′(α)=，则下列α的值中满足条件的是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.f′(x)=cosx，‎ f′(α)=cosα=，‎ 又cos=，故选A.‎ ‎2.曲线y=过点(4，2)的切线方程为(　　)‎ A.y=x+1 B.y=x+1‎ C.y=-x+ D.y=x ‎【解题指南】先求出在点(4，2)处的导数，即得斜率，再利用点斜式方程写出切线方程.‎ ‎【解析】选B.y′=，x=4时，k=y′|x=4=×=，切线方程为y-2=(x-4)，‎ 即y=x +1.‎ ‎【举一反三】将点改为(1，1)，切线方程为________.‎ ‎【解析】k=y′|x=1=，‎ 所以切线方程为y-1=(x-1)，即y=x+.‎ 答案：y=x+‎ ‎3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为(　　)‎ A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0‎ C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0‎ ‎【解析】选A.因为l与直线x+4y-8=0垂直，所以直线l的斜率为4，而y′=4x3，由y′=4得x=1，而x=1时，y=x4=1，故直线l的方程为：y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0.‎ ‎【误区警示】本题易认为切线l的斜率即为直线x+4y-8=0的斜率，而导致结果错误.‎ ‎4.(2014·长春高二检测)若函数f(x)=x2014，则f′=(　　)‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2014 D.2013‎ ‎【解析】选B.f′(x)=2014x2013，‎ f′=2014=1.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.(2014·潍坊高二检测)点P是f(x)=x2上任意一点，则点P到直线y=x-1的最短距离是__________.‎ ‎【解析】根据题意，设平行于直线y=x-1的直线与曲线f(x)=x2相切于点(x0，y0)，该切点即为与y=x-1距离最近的点.‎ 由题意知，曲线在(x0，y0)处的切线斜率为1，‎ 即f′(x0)=1，因为f′(x)=2x，‎ 所以f′(x0)=2x0=1，‎ 所以x0=，代入曲线方程得y0=，‎ 所以最短距离为d==.‎ 答案：‎ ‎【拓展延伸】利用求导公式解决综合问题的方法 ‎　　利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何最值问题.解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标，解题时还要注意数形结合思想的应用.‎ ‎6.曲线y=sin在点A处的切线方程是________.‎ ‎【解题指南】首先利用三角函数的诱导公式对函数进行化简，再判断点A是否为函数图象上的点，利用导数求切线的斜率，最后写出切线方程.‎ ‎【解析】y=sin=cosx，点A是曲线y=sin上的点，‎ y′=-sin=，所求的切线方程为y-=，‎ 即x-2y+π+1=0.‎ 答案：x-2y+π+1=0‎ 三、解答题(每小题12分，共24分)‎ ‎7.(2013·淮南高二检测)已知P(-1，1)，Q(2，4)是曲线y=x2上的两点，‎ ‎(1)求过点P，Q的曲线y=x2的切线方程.‎ ‎(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.‎ ‎【解析】(1)因为y′=2x，‎ P(-1，1)，Q(2，4)都是曲线y=x2上的点.‎ 过P点的切线的斜率k1=y′|x=-1=-2，‎ 过Q点的切线的斜率k2=y′|x=2=4，‎ 过P点的切线方程：y-1=-2(x+1)，即：2x+y+1=0.‎ 过Q点的切线方程：y-4=4(x-2)，即：4x-y-4=0.‎ ‎(2)因为y′=2x，直线PQ的斜率k==1，‎ 切线的斜率k=y′=2x0=1，‎ 所以x0=，所以切点M，‎ 与PQ平行的切线方程：y-=x-，‎ 即：4x-4y-1=0.‎ ‎【变式训练】求过点的抛物线y=x2的切线方程.‎ ‎【解析】设切点(x0，y0)，所以y0=，　①‎ 又切线斜率k=y′=x0，‎ 所以切线方程：y-y0=x0(x-x0)，‎ 切线过(4，)，所以-y0=x0(4-x0)，‎ 所以y0=-2x0+，　②‎ 解①②得：x0=1或x0=7，‎ 所以切点为或，‎ 所以切线方程：y-=(x-1)或y-=(x-7)，‎ 即：2x-4y-1=0或14x-4y-49=0.‎ ‎8.求证：曲线y=(a为非零常数)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值.‎ ‎【解题指南】设出切点坐标，求出切点处的导数即得切线斜率，写出切线方程，令x=0，y=0得与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式求得面积，即可使问题得证.‎ ‎【证明】设曲线上任意一切点为P，‎ 因为y′=-，所以k=-，‎ 过P点的切线方程为：‎ y-=-(x-x0)，‎ 切线与两坐标轴的交点为：‎ ‎(2x0，0)，，‎ 显然三角形的面积为：‎ ‎|2x0|·=‎2a2，‎ 为常数.故命题得证.‎ 关闭Word文档返回原板块