数学卷·2018届内蒙古包头一中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版） 16页

2016-2017 学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷（文科） 一.选择题（本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1．椭圆 的离心率为（ ） A． B． C．2 D．4 2．设 a，b ∈ R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知| |=1，| |= ，| ﹣2 |= ，则向量 ， 的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ） A．y= B．y= C．y=±x D．y= 5．给出下列命题： （1）“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； （2）“面积相等的三角形全等”的否命题； （3）“若 m≤1，则 x2﹣2x+m=0 有实根”的逆否命题； （4）“若 A∩B=B，则 A ⊆ B”的逆否命题． 其中为真命题的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4） 6．已知椭圆的长轴是 8，离心率是 ，此椭圆的标准方程为（ ） A． B． 或 C． D． 或 7．若向量 、 、 两两所成的角相等，且| |=1，| |=1，| |=3，则| + + |等于（ ） A．2 B．5 C．2 或 5 D． 或 8．设 =（1，2）， =（1，1）且 与 +λ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A．（﹣ ，0）∪（0，+∞） B．（﹣ ，+∞） C．[﹣ ，0）∪（0，+∞） D．（﹣ ，0） 9．已知方程 ﹣ =1 表示双曲线，那么 k 的取值范围是（ ） A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2 或 k＜﹣2 D．k＞5 或﹣2＜k＜2 10．设 D 为△ABC 所在平面内一点， ，则（ ） A． B． C． D． 11．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆 +y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A． B．6 C． D．12 12．设双曲线 的焦点为 F1、F2，过 F1 作 x 轴的垂线与该双曲线相交，其中一 个交点为 M，则| |=（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 二.填空题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13．命题“ ∃∈ R，x2+2x+5=0”的否定是 ． 14．若命题 p：曲线 ﹣ =1 为双曲线，命题 q：函数 f（x）=（4﹣a）x 在 R 上是 增函数，且 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ． 15．已知点 F1（﹣4，0），F2（4，0），动点 P 满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点 P 的轨迹方程 为 ． 16．在直角三角形 ABC 中，∠C= ，AB=2，AC=1，若 = ，则 • = ． 三.解答题（本大题共 6 题，共 70 分） 17．求符合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点在 x 轴上，顶点间的距离为 6，渐近线方程为 y=± （2）与椭圆 + =1 共焦点，它们的离心率之和为 ． 18．已知 ， 的夹角为 60°， ， ，当实数 k 为何值 时， （1） （2） ． 19．已知点 P 是椭圆 + =1 上的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形面积等 于 1，求点 P 的坐标． 20．在四边形 ABCD 中，已知 ∥ ， =（6，1）， =（x，y）， =（﹣2，﹣3）． （1）求用 x 表示 y 的关系式； （2）若 ⊥ ，求 x、y 值． 21．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为 ．以原点 为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若过点 M（2，0）的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，P 为椭圆上一点，且满足 + =t （O 为坐标原点）．当|AB|= 时，求实数 t 的值． 22．已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）过点 ，且离心率 e 为 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设直线 x=my﹣1（m ∈ R）交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 2016-2017 学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷 （文科） 参考答案与试题解析 一.选择题（本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1．椭圆 的离心率为（ ） A． B． C．2 D．4 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得 a=2、b= ，从而算出 c=1，由此即 得该椭圆离心率的值． 【解答】解：∵椭圆的方程为 ， ∴a2=4，b2=3，可得 c= =1， 因此椭圆的离心率 e= ， 故选：B 2．设 a，b ∈ R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若 a=1，b=﹣2，满足 a＞b，但|a|＞|b|不成立， 若 a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但 a＞b 不成立， 即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 3．已知| |=1，| |= ，| ﹣2 |= ，则向量 ， 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量数量积运算性质即可得出． 【解答】解：∵| ﹣2 |= ， ∴ = ， ∴5= ， 解得 = ， ∴向量 ， 的夹角为 ． 故选：C． 4．已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ） A．y= B．y= C．y=±x D．y= 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2，而渐近线方程为 y=± x，代入可得答案． 【解答】解：由双曲线 C： （a＞0，b＞0）， 则离心率 e= = = ，即 4b2=a2， 故渐近线方程为 y=± x= x， 故选：D． 5．给出下列命题： （1）“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； （2）“面积相等的三角形全等”的否命题； （3）“若 m≤1，则 x2﹣2x+m=0 有实根”的逆否命题； （4）“若 A∩B=B，则 A ⊆ B”的逆否命题． 其中为真命题的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4） 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①写出逆命题，进行判断 ②写出否命题，进行判断 ③若 m≤1，△=4﹣4m≥0，原命题为真，逆否命题也为真 ④若 A∩B=B，则 A ⊆ B”为假，逆否命题也为假． 【解答】解：“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题是“若 x，y 互为倒数，则 xy=1”为真命 题．（1）正确． “面积相等的三角形全等”是假命题，其否命题为真命题．（2）正确． 当 m≤1 时，△=4﹣4m≥0，x2﹣2x+m=0 有实根，命题为真，逆否命题也为真 （3）正确． “若 A∩B=B，则 A ⊆ B”为假命题，逆否命题也为假．（4）错误 综上所述，为真命题的是（1）（2）（3） 故选 C 6．已知椭圆的长轴是 8，离心率是 ，此椭圆的标准方程为（ ） A． B． 或 C． D． 或 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】根据椭圆的基本概念，结合题意算出 a=4 且 c=3，从而得到 b2=a2﹣c2=7．再根据 椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程． 【解答】解：∵椭圆的长轴为 8，离心率是 ， ∴2a=8，e= = ，解得 a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7， 因此，当椭圆的焦点在 x 轴上时，其方程为 ； 椭圆的焦点在 y 轴上时，其方程为 ． 故选：B 7．若向量 、 、 两两所成的角相等，且| |=1，| |=1，| |=3，则| + + |等于（ ） A．2 B．5 C．2 或 5 D． 或 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】设向量所成的角为α，则先求出 的值即可求出， 【解答】解：由向量 、 、 两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或 α=120° 则 = + + +2（ + + ）=11+2 （| |•| |cosα+| |•| |cosα+| |•| |cosα）=11+14cosα 所以当α=0°时，原式=5； 当α=120°时，原式=2． 故选 C 8．设 =（1，2）， =（1，1）且 与 +λ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A．（﹣ ，0）∪（0，+∞） B．（﹣ ，+∞） C．[﹣ ，0）∪（0，+∞） D．（﹣ ，0） 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】若设θ为 与 的夹角，θ为锐角 ⇒ cosθ＞0，且 cosθ≠1，根据条件及两向量夹 角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求 时，先求它的平方． 【解答】解： =（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5， =5+6λ+2λ2， ； ∴设 与 的夹角为θ且θ为锐角，则： cosθ= = ＞0，且 ∴解得：λ ，且λ≠0． ∴实数λ的取值范围是 ． 故选 A． 9．已知方程 ﹣ =1 表示双曲线，那么 k 的取值范围是（ ） A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2 或 k＜﹣2 D．k＞5 或﹣2＜k＜2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线方程的特点可得（k﹣5）（|k|﹣2）＞0，解之可得． 【解答】解：若方程 ﹣ =1 表示的曲线为双曲线， 则（k﹣5）（|k|﹣2）＞0，解得 k＞5 或﹣2＜k＜2． 故选 D． 10．设 D 为△ABC 所在平面内一点， ，则（ ） A． B． C． D． 【考点】平行向量与共线向量． 【分析】将向量 利用向量的三角形法则首先表示为 ，然后结合已知表示为 的形式． 【解答】解：由已知得到如图 由 = = = ； 故选：A． 11．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆 +y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A． B．6 C． D．12 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a，可得△ABC 的周 长． 【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a， 可得△ABC 的周长为 4a= ， 故选 C 12．设双曲线 的焦点为 F1、F2，过 F1 作 x 轴的垂线与该双曲线相交，其中一 个交点为 M，则| |=（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】依题意，可求得 ﹣ =1 的左焦点 F1（﹣3，0），从而可求得| |，利用双 曲线的定义即可求得| |． 【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1 中 a2=3，b2=6， ∴c2=a2+b2=9， ∴c=3，故左焦点 F1（﹣3，0）． 依题意，设 M（﹣3，y0），则 = ﹣1=2， ∴y0=±2 ，故|MF1|=2 ． ∵M（﹣3，y0）为左支上的点， ∴|MF2|﹣|MF1|=2 ， ∴|MF2|=2 +|MF1|=4 ，即| |=4 ． 故选 B． 二.填空题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13．命题“ ∃∈ R，x2+2x+5=0”的否定是 ∀ x ∈ R，x2+2x+5≠0 ． 【考点】命题的否定． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断． 【解答】解：命题的特称命题，则命题的否定是全称命题， 即 ∀ x ∈ R，x2+2x+5≠0， 故答案为： ∀ x ∈ R，x2+2x+5≠0 14．若命题 p：曲线 ﹣ =1 为双曲线，命题 q：函数 f（x）=（4﹣a）x 在 R 上是 增函数，且 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则实数 a 的取值范围是 （﹣∞，2]∪[3，6） ． 【考点】复合命题的真假；双曲线的简单性质． 【分析】通过 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，判断两个命题的真假关系，分别求出命题是 真命题时 a 的范围，即可求解结果． 【解答】解：当 p 为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得 2＜a＜6． 当 q 为真命题时，4﹣a＞1，即 a＜3． 由 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题知 p、q 一真一假． 当 p 真 q 假时，3≤a＜6．当 p 假 q 真时，a≤2． 因此实数 a 的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）． 故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）． 15．已知点 F1（﹣4，0），F2（4，0），动点 P 满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点 P 的轨迹方程 为 ． 【考点】轨迹方程． 【分析】由条件知，点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支，从而写出轨迹的方程即 可． 【解答】解：由|PF2|﹣|PF1|=4＜|F1F2|知，点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支， 得 c=4，2a=4， ∴a=2， ∴b2=12， 故动点 P 的轨迹方程是 ． 故答案为 16．在直角三角形 ABC 中，∠C= ，AB=2，AC=1，若 = ，则 • = ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据结合图形得出 = = ， =0， =2× ×COS30°， 转化得出 • =（ ）• = + 求解即可． 【解答】解：∵直角三角形 ABC 中，∠C= ，AB=2，AC=1， ∴根据勾股定理得出 BC= ，sin∠ABC═ = ，即∠ABC=30° ∵若 = ， ∴ = = ， =0， =2× ×COS30°=3 ∴ • =（ ）• = + = ×3= 故答案为： 三.解答题（本大题共 6 题，共 70 分） 17．求符合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点在 x 轴上，顶点间的距离为 6，渐近线方程为 y=± （2）与椭圆 + =1 共焦点，它们的离心率之和为 ． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】（1）由题意，2a=6， = ，求出 a，b，即可求出双曲线的标准方程； （2）椭圆 + =1 的焦点坐标为（0，±4），离心率为 ，可得双曲线的焦点坐标为（0， ±4），离心率为 2，求出 a，b，即可求出双曲线的标准方程． 【解答】解：（1）由题意，2a=6， = ， ∴a=3，b=1， ∴双曲线的标准方程为 =1； （2）椭圆 + =1 的焦点坐标为（0，±4），离心率为 ， ∴双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为 2， ∴ ， ∴双曲线的标准方程为 =1． 18．已知 ， 的夹角为 60°， ， ，当实数 k 为何值 时， （1） （2） ． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】（1）由 可知存在实数 t，使 ，可得 k 与 t 的方程组，解 之可得；（2）由 =（ ）•（ ）=0 可得关于 k 的方程，解之即可． 【解答】解：（1）由 可知存在实数 t，使 ， 即 ，解得 ， 故 k= 时，可得 ； （2）由 =（ ）•（ ）=0 可得 15 +3k +（5k+9） =0， 代入数据可得 15×4+27k+（5k+9）× =0， 解得 k=﹣ ， 故当 k=﹣ 时， ． 19．已知点 P 是椭圆 + =1 上的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形面积等 于 1，求点 P 的坐标． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆方程可知： + =1，c= =1，由三角的面积公式可知：S= •2c• 丨 y 丨=1，即丨 y 丨=1，代入椭圆方程得： =1，即可求得丨 x 丨= ，即可求得 点 P 的坐标． 【解答】解：F1、F2 是椭圆 + =1 的左、右焦点，c= =1， 则 F1（﹣1，0），F2（1，0）， 设 P（x，y）是椭圆上的一点， 由三角的面积公式可知：S= •2c•丨 y 丨=1，即丨 y 丨=1， 将丨 y 丨=1 代入椭圆方程得： =1， 解得：丨 x 丨= ， ∴点 P 的坐标为（ ，1））（﹣ ，1）（ ）（ ，﹣1）． 20．在四边形 ABCD 中，已知 ∥ ， =（6，1）， =（x，y）， =（﹣2，﹣3）． （1）求用 x 表示 y 的关系式； （2）若 ⊥ ，求 x、y 值． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】（1） ，由 ，能求出 y=﹣ ． （2） =（x+6，y+1）， =（x﹣2，y﹣3），由 ，y=﹣ ，能 求出 x、y 值． 【解答】（本小题满分 12 分） 解：（1）∵ =（6，1）， =（x，y）， =（﹣2，﹣3）， ∴ … ∵ ， ∴x（﹣2+y）=y（4+x）… ∴y=﹣ ，… （2）∵ =（6，1）， =（x，y）， =（﹣2，﹣3）， ∴ =（x+6，y+1）， =（x﹣2，y﹣3）， ∵ ， ∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0， 又∵y=﹣ ， 解得 或 ． 21．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为 ．以原点 为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若过点 M（2，0）的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，P 为椭圆上一点，且满足 + =t （O 为坐标原点）．当|AB|= 时，求实数 t 的值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为 ， 可求 a﹣c 的值，利用直线与圆相切，可得 b 的值，由此可求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 AB 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|= ， + =t ，即 可求得结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知 a﹣c= ﹣1； … 又因为 b= =1，所以 a2=2，b2=1． … 故椭圆 C 的方程为 +y2=1． … （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 由 得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0． … △=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2 ． … x1+x2= ，x1x2= ． 又由|AB|= ，得 |x1﹣x2|= ，即 = … 可得 … 又由 + =t ，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则 = ， = … 故 ，即 16k2=t2（1+2k2）． … 得，t2= ，即 t=± ． … 22．已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）过点 ，且离心率 e 为 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设直线 x=my﹣1（m ∈ R）交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】解法一：（1）由已知得 ，解得即可得出椭圆 E 的方程． （2）设点 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 中点为 H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化 为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得： y0= ．|GH|2= ． = ，作差 |GH|2﹣ 即可判断出． 解法二：（1）同解法一． （2）设点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 = ， = ．直线 方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算 = 即可得出∠AGB，进而判断出位置关系． 【解答】解法一：（1）由已知得 ，解得 ， ∴椭圆 E 的方程为 ． （2）设点 A（x1y1），B（x2，y2），AB 中点为 H（x0，y0）． 由 ，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0， ∴y1+y2= ，y1y2= ，∴y0= ． G ， ∴|GH|2= = + = + + ． = = = ， 故|GH|2﹣ = + = ﹣ + = ＞0． ∴ ，故 G 在以 AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一． （2）设点 A（x1y1），B（x2，y2），则 = ， = ． 由 ，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0， ∴y1+y2= ，y1y2= ， 从而 = = +y1y2 = + = ﹣ + = ＞0． ∴ ＞0，又 ， 不共线， ∴∠AGB 为锐角． 故点 G 在以 AB 为直径的圆外．