数学理卷·2017届安徽省六安市第一中学高三下学期第九次月考（2017 11页

六安一中2017届高三年级第九次月考 数学试卷(理科)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,集合,则的元素个数为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数满足(是虚数单位),是的共轭复数,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.在中,角、、所对边的长分别为、、，若，，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知向量与的夹角为，且，，若且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从物理，化学，政治，历史四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹先生”的问题：松长五尺，竹长五尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的程序框图，若输入的、的值分别为5和2，则输出的（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎8.已知双曲线（）的渐进线与圆相切，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知函数（，）的两个零点分别在区间和内，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知（，）满足，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的解析式可以为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎11.如图所示，点从出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图象大致为（ ）‎ ‎12.已知实数，，，满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为（ ）‎ A．8 B．10 C．12 D．18 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.等比数列的前项和为（），已知，，，成等差数列，则数列的公比 ．‎ ‎14.已知，展开式的常数项为240，则 ．‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎16.如图，已知抛物线（），过点作直线与抛物线相交于、两点，点的坐标为，连接、，设、与轴分别相交于、两点，如果斜率与的斜率之积为，则的余弦值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列满足（）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎18.自2016年下半年起六安市区商品房价不断上涨，为了调查研究六安城区居民对六安商品房价格承受情况，寒假期间小明在六安市区不同小区分别对50户居民家庭进行了抽查，并统计出这50户家庭对商品房的承受价格（单位：元/平方），将收集的数据分成，，，，五组（单位：元/平方），并作出频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计出这50户家庭对商品房的承受价格平均值（单位：元/平方）；‎ ‎（Ⅱ）为了作进一步调查研究，小明准备从承受能力超过4000元/平方的居民中随机抽出2户进行再调查，设抽出承受能力超过8000元/平方的居民为户，求的分布列和数学期望．‎ ‎19.如图，是圆的直径，点是圆上异于、的点，直线度平面，、分别是、的中点．‎ ‎（Ⅰ）设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线与圆的另一个交点为点，且满足，，当二面角的余弦值为时，求的值．　‎ ‎20.已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，证明：直线必过定点，并求此定点坐标．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：；‎ ‎（Ⅱ）当，且时，不等式成立，求实数的取值范围 .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若为曲线上的动点，求中点到直线：距离的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在满足，求实数的取值范围．‎ 六安一中2017届高三年级第九次月考数学试卷(理科)答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）当时，由题设知；‎ 当时，由题设，知，‎ 两式相减得，即，‎ 故的通项公式为 ‎（Ⅱ）设的前项和为，‎ 则，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 化简得，‎ 当时，，满足，‎ 所以.‎ ‎18.解：（Ⅰ）５０户家庭对商品房的承受价格平均值为（元/平方），‎ 则 ‎．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图，承受价格超过4000元的居民共有户，‎ 承受价格超过8000元的居民共有户，‎ 因此的可能取值为，，，‎ ‎，，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎19.解：（Ⅰ）∵平面，∴，‎ 又∵，∴平面，‎ ‎∵，分别是，的中点，所以，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴面，‎ 又∵平面，平面平面，‎ ‎∴直线直线，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线与平面所成角为直角，．‎ ‎（Ⅱ）设，则，如图建立平面直角坐标系．　‎ 面的一个法向量为，可求出面的一个法向量，‎ 可求出.‎ ‎20.解：（Ⅰ）由切点弦方程知切线方程为，令，则，所以上顶点的坐标为，‎ 所以，令，则，‎ 所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）若直线，斜率均存在，设直线：，，，‎ 则中点．先考虑的情形．　‎ 由得，‎ 由直线过点，可知判别式恒成立，‎ 由韦达定理，得，故，同理可得. ‎ 若，得，则直线斜率不存在，此时直线过点．‎ 另当斜率为0时，直线也过点．‎ 下证动直线过定点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，即直线过点．‎ ‎21.（Ⅰ）证明：∵，，，即，‎ 令，，则在上是增函数，‎ 故，即命题结论成立．‎ ‎（Ⅱ）原不等式等价于．　‎ 当时，；当时，，‎ 原不等式等价于，‎ 令，‎ 令，，‎ ‎①当时，有，‎ 令，则，故在上是减函数，即，‎ 因此在上是减函数，从而，‎ 所以，当时，对于，有，‎ 当时，有，‎ 令，则，故在上是增函数，即，‎ 因此，在上是减函数，从而，，‎ 所以当时，对于，有，‎ 综上，当时，在，且时，不等式成立．‎ ‎22.解：（Ⅰ）由，可得点的直角坐标为，由 得，所以的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，‎ 由参数方程，设，则，‎ 那么点到直线的距离 ‎（）．　‎ 所以点到直线的距离的最小值为．‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，，‎ 当时，不等式等价于，解得，∴；‎ 当时，不等式等价于，即，∴解集为空集；‎ 当时，不等式等价于，解得，∴．‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∵原命题等价于，即，‎ ‎∴．‎