数学理卷·2018届湖北省重点高中联考协作体高三下学期期中考试（2018 12页

‎2018届湖北省重点高中联考协作体高三春季期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.根据如下样本数据：‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ 得到回归方程，则（ ）‎ A．变量与之间是函数关系 B．变量与线性正相关 ‎ C．线性回归直线经过上述各样本点 D．‎ ‎4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）‎ A．30尺 B．150尺 C. 90尺 D．180尺 ‎5.已知实数满足，则目标函数的最大值等于（ ）‎ A．-14 B．-5 C. 4 D．6‎ ‎6. 已知直线，平面，且，，下列命题：①；②‎ ‎③；④其中正确的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C.②④ D．③④ ‎ ‎7. 运行如图所示的程序框图，若输出是126，则①应为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过直线与双曲线交于两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数（）的图象与直线的某两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，且将函数的图象向右平移 个单位得到的函数为奇函数，则函数的一个递增区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数是上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）‎ A．0 B．4 C.8 D．16 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在中，，，则 ．‎ ‎14.已知，的展开式中项的系数为1，则的值为 ．‎ ‎15.已知各项都为正数的数列，对任意的，恒成立，且，则 ．‎ ‎16.若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于的点，以点为切点作线，且，则称曲线具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为 ．（写出所有的满足条件的函数的编号）‎ ‎① ② ③ ④‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，设内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若且，求的面积.‎ ‎18.从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图，如图所示.‎ ‎（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）若要从体重在，内的两组男生中，用分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机抽取3人，记体重在内的人数为，求其分布列和数学期望.‎ ‎19.等边的边长为3，点分别为上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. ‎ ‎20.在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，函数的极大值为，求实数的值；‎ ‎（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为，其中为参数，且在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上的一点，直线被曲线截得的弦长为，求点的极坐标.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，‎ ‎（1）求，求的取值范围；‎ ‎（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎2018年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高三数学试卷（理科）参考答案 一、 选择题：DADCC BDBDA BC 二、 填空题：13.-9 14. 15.21 16.①③‎ 三、 解答题:‎ 17. 解:(1)‎ 故由已知可得: ‎ 即 ‎ 又 ‎ 由 及正弦定理得: ‎ (2) 由(1) 又 故由余弦定理得:‎ 解得: 从而 ‎ ‎ ‎ ‎18．解：(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为： ‎ 故估计100名学生的平均体重约为:‎ ‎(2)由(1)及已知可得：体重在的男生分别为： 从中用分层抽样的方法选5人，则体重在内的应选3人，体重在内的应选2人 ‎ 从而的可能取值为1，2，3且得： ‎ 其分布列为：‎ P ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故得： ‎ 17. 解：（1）证明：‎ 如图1，由已知可得： ‎ 从而 ‎ 故得 ‎ 即图2中：‎ 为二面角的平面角 ‎ 而二面角为直二面角， 即 ‎ ‎ （2） 由（1）两两垂直，分别以建立空间直角坐标系，则由已知及（1）可得：‎ ‎ ‎ 令 则因 ‎ 故 ‎ 即 由（1）知为平面的一个法向量 又 ‎ ‎ 若存在满足条件的P，则 ‎ 即 ‎ 解得 而 故存在满足条件的点P，且PB的长为 ‎ 17. ‎（1）由已知， ，圆的半径为 依题意有： ‎ 故点P的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，即 故点P的轨迹E的方程为 ‎ ‎（2）令，因A，B，D不共线，故的斜率不为0，可令的方程为：，则由 得 则 ① ‎ 被轴平分，‎ 即 亦即 ②‎ 而 代入②得：‎ ‎ ③ ‎ ‎①代入③得：‎ 时得： 此时的方程为： 过定点（1，0）‎ 时 ，亦满足 此时的方程为：‎ 综上所述，直线恒过定点（1，0） ‎ ‎21.解：（1）由题意，‎ ‎.‎ ‎①当时，，‎ 令，得；，得，‎ 所以在单调递增单调递减.‎ 所以的极大值为，不合题意.‎ ‎②当时，，‎ 令，得；，得或，‎ 所以在单调递增，，单调递减.‎ 所以的极大值为，得.‎ 综上所述. ‎ ‎（2）令，‎ 当时，，‎ 故上递增， ‎ 原问题上恒成立 ‎ ‎①当时，，，，‎ 此时，不合题意. ‎ ‎②当时，令，，‎ 则，其中，，‎ 令，则在区间上单调递增 ‎（ⅰ）时，，‎ 所以对，，从而在上单调递增，‎ 所以对任意，，‎ 即不等式在上恒成立. ‎ ‎（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，‎ 所以存在唯一的使得，且时，.‎ 从而时，，所以在区间上单调递减，‎ 则时，，即，不符合题意.‎ 综上所述，. ‎ ‎22.解:‎ ‎（Ⅰ）根据曲线的参数方程得 曲线C的普通方程为： ‎ 曲线的极坐标方程为： ‎ ‎（Ⅱ）由题得， ‎ ‎ ‎ 所以令，，则解得.‎ 故点的极坐标为 ‎ ‎ ‎ 23. 解:(1)由得 或或 综上所述, ‎ (2) 当时,记 则 ‎ 即 当 ‎ ‎ 时的最大值为 故原问题 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎、‎