数学理卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第六次月考（2017 14页

衡阳市八中2017届高三第六次月考试题（理科数学）‎ 命题人：周德平、颜军 审题人：赵永益 一.选择题（每小题只有一个正确答案。本大题共60分）‎ ‎1已知复数满足，则（ ）‎ ‎ A 1 B C 2 D ‎ ‎2.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎3. 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.以下四个命题中：‎ ‎①在回归分析中，用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大,模拟的拟合效果越好；‎ ‎②设～，且，则；‎ ‎③若数据，，，…，的方差为，则，，，…，的方差为；‎ ‎④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为（ ）‎ ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ‎ ‎5.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：‎ 由上表求得回归方程，当广告费用为3万元时销售额为（ ）‎ ‎ A．39万元 B．38万元 C．38.5万元 D．37.3万元 ‎6．.执行如图所示的程序框图，则输出的i值为( )‎ ‎ A 3 B 4 C 5 D 6‎ 7． 设，则的值为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8.在矩形中，，在上任取一点，‎ 的最大边是的概率是（ ） ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D ‎9设是△内一点，且，，定义，其中，，分别是△，△，△的面积，若，则的最小值是（ ）‎ ‎ A．8 B．9 C．16 D．18‎ ‎10.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2，则函数的零点个数为( )‎ ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎11.如图，在四面体ABCD中，DA＝DB＝DC＝1，且DA,DB,DC两两互相垂直，点O是△ABC的中心，将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与BC所成角的余弦值的取值范围是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． D． ‎ ‎12．已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式成立的是（ ）‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 二．填空题（每小题5分.共20分）‎ ‎13.若变量满足约束条件，则的最小值是__ __．‎ ‎14.在的展开式中含项的系数是___________（用数字作答）‎ ‎15.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则 .‎ 16． 对于三次函数（），给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算 ．‎ 三．解答题 ‎17（12分）在△ABC中.角A,B,C所对的边分别为a,b,c.‎ ‎ 函数f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C) .(x∈R)，f(x)的图象关于点对称．‎ ‎ (Ⅰ)求角A的大小；‎ ‎ (Ⅱ)若a=7且，求△ABC的面积．‎ ‎18.（12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．‎ 用电量（度）‎ 户数 ‎（1）在抽到的样本中，再从用电量分布在的20户中随机抽取2户作问卷调查。记该2户用电量在内的户数为，求分布列。‎ ‎（2）在该县山区居民中随机抽取户，记其中年用电量不超过度的户数为，求的数学期望；‎ ‎（3）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电以元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？ (注：以统计表中每个区间的中点值（如用电量在内，取100度）作为该区间的平均值，进行估计)。‎ ‎19（12分）．如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ A B E C D P ‎·‎ ‎ ‎ ‎20（12分）．已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前9项和为63．‎ （1） 令，数列的前项和为，求 ‎（2）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．‎ ‎21（12分）．已知函数，，图象与轴交于点（异于原点），在处的切线为，图象与轴交于点且在该点处的切线为，并且与平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知实数，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式 恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分．‎ ‎22.（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点、．‎ ‎（I）若，求线段的中点的直角坐标；‎ ‎（II）若直线的斜率为，且过已知点，求的值．‎ ‎23（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）‎ 已知函数（）．‎ ‎（I）若不等式的解集为或，求的值．‎ ‎（II）若对，，求实数的取值范围．‎ 衡阳市八中2017届高三第六次月考试题（理科数学）‎ 命题人：周德平、审题人：颜军 ‎1 A ‎ 2. ‎ B ‎ ‎ 【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有条对角线且为实线的正方形，故选B.‎ ‎3.D ‎4.B．‎ ‎ 【解析】①：根据相关指数的意义可知①正确；②：根据正态分布的特征可知其是正确的；③：方差应为，故③错误；④：的观察值越小，与有关系的把握程度越小，故④错误，故正确的命题有2个，故选B．‎ 5. A ‎【解析】由题意得，，，即数据的样本中心点为，代入回归直线方程，得，解得，故选A.‎ ‎6． B ‎ ‎7 ‎ ‎【解析】由已知得： ，‎ 令，得：，知：曲线是以坐标原点为圆心，1为半径的圆处在x轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知：‎ ‎，‎ 又，‎ A B D P C P1‎ P2‎ 8. D．‎ 分别以、为圆心，为半径作弧，交于、，则当在线段间运动时，能使得的最大边是，易得，即的最大边是的概率是．‎ 9. D ‎【解析】：因,故,即,故,‎ 由题设可得,即,‎ 所以,故应选D.‎ ‎10.C ‎11.A 试题分析：因为为三角形的外心，；由DA,DB,DC两两互相垂直得,由DA＝DB＝DC，点O是△ABC的中心可得平面,所以与平面所成的角为,,将绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与平面所成的角不变；‎ 当DA旋转到时，过作平行于BC的直线,这样直线与BC所成角转化为直线与所成角；设与所成的角为，直线与所成角为，由三余弦定理,‎ 因为 因此选A． ‎ 12. D ‎【解析】：，所以，，，‎ 设，，由于，恒成立，所以单调递减，所以 ‎，，故有，即，因此,故选D.‎ 二．填空题（每小题5分.共20分）‎ ‎13. 6 14.‎ ‎15.【答案】-1‎ ‎【解析】:从图中得出，第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依次类推每一次边上是60度转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以.‎ ‎16【解析】：由已知可得，‎ 令的图象关于点，即当时，原式．‎ 三．解答题 ‎17（12分）【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)‎ ‎＝2(sin xcos A－cos xsin A)cos x＋sin A ‎＝2sin xcos xcos A－2cos2xsin A＋sin A ‎＝sin 2xcos A－cos2xsin A＝sin(2x－A)，‎ 由函数f(x)的图象关于点对称，知f＝0，‎ 即sin ＝0，又0＜A＜π，故A＝，…………………………6分 ‎(Ⅱ)由正弦定理得＝＝＝，则sin B＝b，sin C＝c，‎ 所以sin B＋sin C＝(b＋c)＝，即b＋c＝13，‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，从而bc＝40，‎ 则△ABC的面积为S＝bcsin A＝×40×＝10.………………………12分 18. ‎（12分）解：（1）的可能值为:0,1,2‎ P(=0)= P(=1)= P(=2)=‎ 即 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎………………………………………………………………………………………4分 ‎（2）记在该县山区居民中随机抽取户，其年用电量不超过度为事件．则．‎ 由已知可得从该县山区居民中随机抽取户，记其中年用电量不超过度的户数为服从二项分布，即，故．………………………………8分 ‎（3）设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得 ‎（度）‎ 则该自然村年均用电约度．又该村所装发电机组年预计发电量为度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约度，能为该村创造直接收益元．……………………………………………………………………12分 ‎19（12分）．（1）证明：取中点，连结，‎ 因为△是正三角形，所以.‎ 因为四边形是直角梯形，，，‎ 所以四边形是平行四边形，，‎ 又，所以 .‎ 所以平面，所以.……………………………………………4分 ‎（2）解：因为平面平面，，所以平面，‎ 所以.如图所示，以为原点建立空间直角坐标系. ………………6分 A B E C D P ‎·‎ y x z O 则，，，，.‎ 所以 ,， ‎ 设平面的法向量为，则 ‎ ‎，‎ 令，则,.所以.…………………………8分 同理求得平面的法向量为，…………………………10分 设平面与平面所成的锐二面角为，则.…11分 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……………12分 ‎20（12分）．解：（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ 又，∴． …………………………2分 ‎∵，∴数列是等差数列，‎ 设的前项和为，∵且，‎ ‎∴，∴的公差为 …………4分 ‎，‎ ‎∴‎ ‎，…………………8分 ‎（2）数列的前项和，数列的前项和，‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，‎ ‎ ，‎ ‎ 特别地，当时，也符合上式；‎ ‎③当时，．‎ 综上： …………………………12分 ‎21（12分）【解析】（1）图象与轴异于原点的交点，‎ 图象与轴的交点，‎ 由题意可得，即， ∴，………………2分 ‎（2）=‎ 令，在 时，，‎ ‎∴在单调递增， ‎ 图象的对称轴，抛物线开口向上 ‎①当即时， ‎ ‎②当即时， ‎ ‎③当即时，‎ ‎ ‎ 综上：当时， ；‎ 当；‎ 当时，…………7分 ‎,‎ 所以在区间上单调递增 ∴时，‎ ‎①当时，有，‎ ‎，‎ 得，同理， ‎ ‎∴ 由的单调性知 、‎ 从而有，符合题设. ‎ ‎②当时，，‎ ‎，‎ 由的单调性知 ，‎ ‎∴，与题设不符 ‎ ‎③当时，同理可得，‎ 得，与题设不符. ‎ ‎∴综合①、②、③得 ………………………………12分 ‎22.（10分）解：（I）由曲线（为参数），可得的普通方程是．‎ ‎……2分 当时，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线的普通方程，得，……3分 得，则线段的中点对应的，‎ 故线段的中点的直角坐标为． ……5分 ‎（II）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简得 ‎，……7分 则，……9分 由已知得，故．……10分 ‎23（10分）解：（I）由已知得，……2分 当，即，得；……3分 当，即，……4分 由已知的解集为或，则显然．……5分 ‎（II）不等式恒成立，即恒成立．……6分 当时，即恒成立，得，解得；……7分 当，即恒成立，得，解得；……8分 当，即恒成立，得，解得．……9分 综上得．……10分