专题03 导数及其应用-备战2018年高考数学（理）之纠错笔记系列 37页

专题03 导数及其应用 ‎ 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 ‎ A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好 C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 ‎【错解】选C.‎ 因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大． ‎ ‎【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．‎ ‎【参考答案】B ‎1．平均变化率 函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.‎ ‎2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.‎ ‎1．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，，则三者的大小关系为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”‎ 若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为 A． B．‎ C．或 D．或 ‎【错解】设，由定义得f ′(2)=12，‎ ‎∴所求切线方程为，即.‎ ‎【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论． ‎ ‎【参考答案】D ‎1．导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.‎ ‎2．曲线的切线的求法 若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：‎ ‎（1）当点是切点时，切线方程为；‎ ‎（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：‎ 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；‎ 第二步：写出过的切线方程为；‎ 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；‎ 第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程．‎ ‎2．已知曲线，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，则切线的方程为 . ‎【答案】‎ 故切线方程为. ‎ 在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.‎ ‎ 易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则 求下列函数的导数：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【错解】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.‎ ‎【参考答案】（1）；（2）.‎ ‎1．导数计算的原则 先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．‎ ‎2．导数计算的方法 ‎①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；‎ ‎3．函数在处的切线方程为 A． B．‎ C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，‎ 又x=1时，y=2，∴切线方程为，即.‎ ‎（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数与指数函数的导数公式，与的导数，与的导数及积与商的导数公式记混弄错． ‎ ‎（2）本题中是指数函数，而不是幂函数，常将幂函数与指数函数且的导数公式记混而导致错误．‎ 易错点4 区分复合函数的构成特征 ‎ 求下列函数的导数：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【错解】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【错因分析】这是复合函数的导数，若，则.如（1）中，‎ ‎，，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．‎ 解法二：（1）．‎ ‎（2）.‎ ‎【参考答案】（1）；（2）.‎ ‎1．求复合函数的导数的关键环节：‎ ‎①中间变量的选择应是基本函数结构；‎ ‎②正确分析出复合过程；‎ ‎③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；‎ ‎④善于把一部分表达式作为一个整体；‎ ‎⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.‎ ‎2．求复合函数的导数的方法步骤：‎ ‎①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；‎ ‎②求每一层基本初等函数的导数；‎ ‎③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.‎ ‎4．函数的导函数是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A 易错点5 审题不细致误 设函数.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【错解】（1）∵，∴，∴.‎ ‎∴， ‎ 令，得或，令，得，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）∵在定义域上为增函数，∴恒成立，‎ ‎∵，∴恒成立，‎ ‎∴，∴，即实数a的取值范围是.‎ ‎【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．‎ ‎（2）若在定义域上是增函数，则对x>0恒成立，‎ ‎∵，‎ ‎∴需x>0时恒成立，即对x>0恒成立．‎ ‎∵，当且仅当x=1时取等号，‎ ‎∴，即实数a的取值范围是.‎ ‎【参考答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ 用导数求函数的单调区间的“三个方法”：‎ ‎1．当不等式(或)可解时，‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数；‎ ‎③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎2．当方程可解时，‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；‎ ‎③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ ‎3．当不等式(或)及方程均不可解时，‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号；‎ ‎③得单调区间．‎ ‎5．若函数在上为单调减函数，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，由已知在区间上恒成立，所以 时，恒成立),所以 若的单调减区间为，则在的两侧函数值异号，且；‎ 若在区间上单调递减，则在上恒成立．‎ ‎ 易错点6 极值的概念理解不透彻 已知在处有极值，则________.‎ ‎【错解】或 由题得，，由已知得解得或，所以等于或. ‎ ‎【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“是f(x)的极值点”的情况．‎ 当时，在x=1两侧的符号相反，符合题意.‎ 当时，在x=1两侧的符号相同，所以不合题意，舍去.‎ 综上可知，，所以.‎ ‎【参考答案】‎ 对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．‎ ‎1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．‎ ‎2．求函数极值的方法：‎ ‎①确定函数的定义域．‎ ‎②求导函数．‎ ‎③求方程的根．‎ ‎④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．‎ ‎3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.‎ ‎6．已知在时有极值0，则常数a、b的值分别为 A． B． ‎ C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】因为在时有极值0，且.‎ 所以，即，解得，或.‎ 当时，， ‎ 因此常数a、b的值分别为.‎ ‎（1）在处有极值时，一定有，可能为极大值，也可能为极小值，应检验在两侧的符号后才可下结论；‎ ‎（2）若，则未必在处取得极值，只有确认时，，才可确定在处取得极值．‎ ‎ 易错点7 被积函数与积分上、下限确定不准致误 由抛物线与直线及y=0所围成图形的面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【错解】D 由得，由得，‎ 由得或(舍去)．‎ ‎∴所求面积，故选D.‎ ‎【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误．全品教学网 ‎【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示，‎ 由得或(舍去)，所以抛物线与直线的交点坐标为(2,4)，‎ 方法一：(选y为积分变量)‎ ‎.‎ 方法二：(选x为积分变量)‎ ‎.‎ ‎【参考答案】C 用定积分求较复杂的平面图形的面积时：‎ 一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；‎ 二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；‎ 三要找准原函数．‎ ‎1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ‎①根据题意画出图形；‎ ‎②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；‎ ‎③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；‎ ‎④计算定积分，写出答案．‎ ‎2．定积分与曲边梯形的面积的关系 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：‎ 设阴影部分面积为S,则 ‎(1) ； ‎ ‎(2) ；‎ ‎(3) ； ‎ ‎(4) .‎ ‎7．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．‎ ‎【答案】‎ 面积为，从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形的面积为，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为. ‎ 在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积是．‎ 一、导数的概念及计算 ‎1．导数的定义：.‎ ‎2．导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.‎ 求曲线的切线方程的类型及方法 ‎（1）已知切点，求过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；‎ ‎（2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得x0，再由点斜式写出方程；‎ ‎（3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．‎ ‎（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由求出切点坐标，最后写出切线方程．‎ ‎（5）①在点处的切线即是以为切点的切线，一定在曲线上.‎ ‎②过点的切线即切线过点，不一定是切点．因此在求过点的切线方程时，应首先检验点是 否在已知曲线上．‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C为常数)‎ ‎=‎ f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ln x ‎4．导数的运算法则 ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）.‎ ‎5．复合函数的导数 复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 二、导数的应用 ‎1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a,b)内：‎ ‎①如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;‎ ‎②如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;‎ ‎③如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．‎ ‎（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；‎ ‎（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条 件.例如，函数在定义域上是增函数，但.‎ ‎（3）函数在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)‎ 的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数在区间内 的单调性.‎ ‎2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数，‎ ‎①若在点x= a处有f ′(a)= 0，且在点x= a附近的左侧，右侧，则称x= a为f(x)的极小值点；叫做函数f (x)的极小值.‎ ‎②若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x= b为f(x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．‎ ‎③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.‎ ‎3．函数的最值与极值的关系 ‎①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； ‎②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；‎ ‎③函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；‎ ‎④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.‎ 求函数在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ‎①求函数在(a,b)内的极值；‎ ‎②将函数的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ 三、定积分与微积分基本定理 ‎1．定积分的定义和相关概念 ‎（1）如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，用分点将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi−1,xi]上任取一点，作和式；当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作，即= .‎ ‎（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．‎ ‎2．定积分的性质 ‎（1）(k为常数)；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）(其中a0，‎ ‎∴，故选C.‎ ‎9．若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是 A． B．[0,2]‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎10．两曲线，与两直线，所围成的平面区域的面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出曲线，与两直线，所围成的平面区域，如图.‎ 根据对称性，可知曲线，与两直线，所围成的平面区域的面积为曲线，与直线，所围成的平面区域的面积的两倍，所以，故选D. ‎ ‎11．[ 2016新课标全国Ⅲ卷理]已知f (x)为偶函数，当时，,则曲线y=f (x)在点(1,−3)处的切线方程是_______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎12．[2015福建卷理]如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数.若在矩形 ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.‎ ‎13．[2017新课标全国Ⅰ卷理]已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即.‎ 又，‎ 故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.‎ ‎14．设函数.‎ ‎（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点 处的切线方程；‎ ‎（2）若在上为减函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎（2）由（1）得，, ‎ 令，由，解得.‎ 当时，<0,,故为减函数；‎ 当时，>0, ,故为增函数；‎ 当时，<0, ,故为减函数；‎ 由在上为减函数，知，解得，‎ 故a的取值范围为. ‎ ‎15．已知函数，为自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，求实数的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，证明：.‎ ‎【答案】（1）函数的最小值为；（2）；（3）见解析.‎ ‎（2）对任意的恒成立，即在上，．‎ 由（1），设，所以．‎ 由得．‎ 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， ‎ ‎∴在处取得最大值，而．‎ 因此的解为，‎ ‎∴. ‎ ‎（3）由（2）得，即，当且仅当时，等号成立，‎ 令，则即，‎ 所以，累加得.‎ ‎________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________________________‎ 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