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- 2021-06-23 发布
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绵阳市高中2015级第一次诊断性考试
数学(理工类)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.若,且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量,,若,则( )
A. B.2 C. D.
4.若,则( )
A. B. C.3 D.
5.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为( )立方米.
A.13 B.14 C.15 D.16
6.已知命题,使得;命题,若,则.下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
7.在中,“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是
,若将的图象向右平移个单位得到的图象,则函数图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
9.已知,给出以下结论:
①;②;③;④.
则其中正确的结论个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.已知是函数的零点,是函数的零点,且满足,则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
11.已知,且满足,如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.若存在实数,使得关于的不等式(其中为自然对数的底数)成立,则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知变量满足约束条件,则的最小值是 .
14.已知偶函数在上单调递减,且,若,则的取值范围是 .
15.在中,,,,过点作,垂足为,若点满足,则 .
16.已知数列的首项,其前项和满足,则 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,,是边上一点,且,.
(1)求的大小;
(2)若,求的面积.
18.已知是公差大于0的等差数列的前项和,,且成等比数列,记数列的前项和为.
(1)求;
(2)若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围.
19.若函数的部分图象如下图所示.
(1)设,且,求的值;
(2)若,且的最大值为,求实数的值.
20.已知函数恰有三个极值点,且.
(1)求的取值范围;
(2)求的取值范围.
21.已知函数,且.
(1)求;
(2)求证:当时,.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设,,若与曲线分别交于异于原点的两点,求的面积.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)解不等式;
(2)记的最小值是,正实数满足,求的最小值.
绵阳市高2015级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
DCDAC BACBD BC
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.3 14. 15. 16.3935
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.解:(Ⅰ)△ABD中,由正弦定理,
得, …………………………………………4分
∴ ,
∴ . ……………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠BAD=∠BDA=,故AB=BD=2.
在△ACD中,由余弦定理:,
即, ……………………………………8分
整理得CD2+6CD-40=0,解得CD=-10(舍去),CD=4,………………10分
∴ BC=BD+CD=4+2=6.
∴ S△ABC=.……………………12分
18.解:(Ⅰ)设{an}的公差为d(d>0),
由S3=15有3a1+=15,化简得a1+d=5,① ………………………2分
又∵ a1,a4,a13成等比数列,
∴ a42=a1a13,即(a1+3d)2=a1(a1+12d),化简得3d=2a1,② ……………4分
联立①②解得a1=3,d=2,
∴ an=3+2(n-1)=2n+1. ……………………………………………………5分
∴ ,
∴ .
……………………………………………………7分
(Ⅱ) ∵ +11,即,
∴ ,………………9分
又≥6 ,当且仅当n=3时,等号成立,
∴ ≥162, ……………………………………………………11分
∴ . ……………………………………………………………………12分
19. 解 :(Ⅰ)由图得,. …………………………………………………1分
,解得,
于是由T=,得.…………………………………………………2分
∵ ,即,
∴ ,即,k∈Z,又,故,
∴ . ……………………………………………………3分
由已知,即,
因为,所以,
∴ .
∴
=
=. ………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
=
=
=,…………………8分
∵ x∈,于是0≤≤,
∴ 0≤≤1.………………………………………………………9分
①当时,当且仅当=0时,取得最大值1,与已知不符.
②当0≤≤1时,当且仅当=时,取得最大值,
由已知得=,解得.
③当>1时,当且仅当=1时,取得最大值4-1,
由已知得4-1=,解得=,矛盾.
综上所述,.……………………………………………………………12分
20.解:(Ⅰ).
由题知方程=0恰有三个实数根,
整理得.………………………………………………………………1分
令,则,
由解得,由解得或,
∴ 在上单调递增,在上单调递减.………3分
于是当x=0时,取得极小值,
当x=2时,取得极大值. ………………………………5分
且当时,;当时,,
∴ .…………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由题意,=0的三个根为,且,
∴ 00,对求导可得.
由解得,由解得0<,
∴ 在(0, )上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
∴ min==1-a. ………………………………………………4分
∴ 要使≥0恒成立,则须使1-a≥0成立,即≤恒成立.
两边取对数得,≤ln,整理得lna+-1≤0,即须此式成立.
令lna+-1,则,
显然当01时,>0,
于是函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)单调递增,
∴ min=0,
即当且仅当a=1时,min==0,≥0恒成立,
∴ 满足条件.
综上,a=1.……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x>1时,>0,即>恒成立.
令(n∈N),即>,
即, …………………………………………………8分
同理,
,
,
,
, …………………………………………………10分
将上式左右相加得:
.
……………………………………12分
22.解:(Ⅰ)将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,
即x2+y2-6x-8y=0. ……………………………………………………………2分
∴ C的极坐标方程为. …………………………………4分
(Ⅱ)把代入,得,
∴ . ……………………………………………………………6分
把代入,得,
∴ . ……………………………………………………………8分
∴ S△AOB
. ……………………………………………………10分
23.解:(Ⅰ)当x≤时,f(x)=-2-4x,
由f(x)≥6解得x≤-2,综合得x≤-2,………………………………………2分
当时,f(x)=4,显然f(x)≥6不成立,……………………………3分
当x≥时,f(x)=4x+2,由f(x)≥6解得x≥1,综合得x≥1, ……………4分
所以f(x)≥6的解集是.…………………………………5分
(Ⅱ)=|2x-1|+|2x+3|≥,
即的最小值m=4. ………………………………………………………7分
∵ ≤, …………………………………………………………8分
由可得≤,
解得≥,
∴ 的最小值为.………………………………………………10分