2017-2018学年安徽省宣城市三校高二上学期期中联考数学（文）试题 8页

‎2017-2018学年安徽省宣城市三校高二上学期期中联考数学文试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60.0分)‎ ‎1.已知命题α：如果x＜3，那么x＜5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的（　　） A. 否命题   B. 逆命题   C. 逆否命题  D. 否定形式 ‎2.若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（　　） A.p真，q真  B.p真，q假  C.p假，q真  D.p假，q假 ‎3.命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（　　） A. 若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 B. 若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 C. 若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 D. 若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎4.抛物线的准线方程是（　　） A.x=  B.x =  C.y=2    D.y=4‎ ‎5.方程（θ∈R）所表示的曲线是（　　） A. 焦点在x轴上的椭圆       B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在x轴上的双曲线      D. 焦点在y轴上的双曲线 ‎6.“k＜0”是“方程表示双曲线”的（　　） A. 充分不必要条件         B. 必要不充分条件 C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件 ‎7.若x＞2m2-3的充分不必要条件是-1＜x＜4，则实数m的取值范围是（　　） A. [-3，3]            B. （-∞，-3]∪[3，+∞） C. （-∞，-1]∪[1，+∞）     D. [-1，1]‎ ‎8.已知命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a-1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（　　）‎ ‎ A.a            B. 0＜a＜ C.             D.‎ ‎9.若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则1＜t＜4； ②若C为双曲线，则t＞4或t＜1； ③曲线C不可能是圆； ④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为． 则为真命题的是（　　） A. ①②    B. ②③    C. ③④    D. ②④‎ ‎10.已知A，B是椭圆E：（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（　　） A.   B.   C.    D.‎ ‎11.已知P是椭圆+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y-2=0的距离的最小值为（　　） A.    B.   C.   D.‎ ‎12.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（　　） A.   B.    C.   D.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20.0分)‎ ‎13.命题“存在 x＞1，x2+（m-3）x+3-m＜0”的否定是 ______ ．‎ ‎14.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 ______ ．‎ ‎15.过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ______ ．‎ ‎16.已知双曲线的离心率为，则m= ______ ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)‎ ‎17.（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆左顶点，求此抛物线的标准方程； （2）若某双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程． ‎ ‎18.（12分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：双曲线的离心率e∈．若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围． ‎ ‎19.（12分）已知命题p：实数x满足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足． （Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎ 20.（12分）已知椭圆方程为（a＞b＞0），离心率，且短轴长为4． （1）求椭圆的方程； （2）过点P（2，1）作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程． 21.（12分）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E． （Ⅰ）求轨迹E的方程； （Ⅱ）已知直线l：y=k（x-2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长． 22.（12分）已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足． （Ⅰ）求证：直线AB经过一定点； （Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为时，求p的值． ‎ 数学试题答案 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.A 2.C 3.D 4.C.5.C 6.A 7.D 8.C 9.D 10.D 11.A 12.C 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.∀x＞1，x2+（m-3）x+3-m≥0 14.（-∞，-1] ‎ ‎15.12 16.2或-5‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)‎ ‎17.（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆左顶点，求此抛物线的标准方程； （2）若某双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程． 【答案】 解：（1）椭圆左顶点为（-8，0）， 设抛物线的方程为y2=-2px（p＞0）， 可得-=-8， 解得p=16， 则抛物线的标准方程为y2=-32x； （2）椭圆的焦点为（-4，0），（4，0）， 可设双曲线的方程为-=1，（a，b＞0）， 则a2+b2=48， 由渐近线方程y=±x， 可得=， 解得a=2，b=6， 则双曲线的方程为-=1． ‎ ‎18.（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：双曲线-=1的离心率e∈（，）．若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围． 【答案】 解：若p真，则m＞6-m＞0，解得：3＜m＜6， 若q真，则m＞0且e2=1+=1+∈（，2），解得：＜m＜5，‎ ‎ ∵p∨q为真命题，p∧q为假命题 ∴p，q中有且只有一个为真命题，即p，q必一真一假 ①若p真q假，则，即5≤m＜6； ②若p假q真，则，即＜m≤3； ∴实数m的取值范围为：（，3]∪[5，6）． ‎ ‎19.（12分）已知命题p：实数x满足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足． （Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】 解：（I）命题p：实数x满足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）． 命题q：实数x满足，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]． a=1，且p∧q为真，则A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）． ∴实数x的取值范围是（2，4）． （Ⅱ）￢p：（-∞，a]∪[4a，+∞）． ￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）． 若￢p是￢q的充分不必要条件，则，解得1≤a≤2． 又当a=1时不成立∴实数a的取值范围是（1，2]． ‎ ‎20.（12分）已知椭圆方程为，离心率，且短轴长为4． （1）求椭圆的方程； （2）过点P（2，1）作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程． 【答案】 解：（1）由已知得，解得， ∴椭圆的方程为． （2）由题意知，直线的斜率必存在， 设斜率为k，则所求直线的方程为y-1=k（x-2）， 代入椭圆方程并整理得（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0， 设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则 ‎， ∵P是AB的中点，∴，解得． ∴所求直线方程为y-1=-（x-2），即x+2y-4=0． ‎ ‎21.（12分）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E． （Ⅰ）求轨迹E的方程； （Ⅱ）已知直线l：y=k（x-2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长． 【答案】 解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0）， 因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0， 有x0=x，y0=2y， 因为点P在抛物线上，所以y02=32x，即4y2=32x， 所以y2=8x，所求点M轨迹方程为：y2=8x． （Ⅱ）抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=-2， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ∵|AF|=2|BF|，∴x1+2=2（x2+2），∴x1=2x2+2∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=4，x2=1， ∴|AB|=x1+x2+p=9． ‎ ‎22.（12分）已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足． （Ⅰ）求证：直线AB经过一定点； （Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为时，求p的值． 【答案】 解：（Ⅰ）∵， ∴OA⊥OB．设A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）则 x12=2py1，x22=2py2． 经过A，B两点的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）． 由，得． ∵．令x=0，得， ∴（*） ∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=0，从而． ∵x1x2≠0（否则，有一个为零向量）， ∴x1x2=-4p2．代入（*），得 y=2p， ∴AB始终经过定点（0，2p）．‎ ‎ （Ⅱ）设AB中点的坐标为（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y， ∴x12+x22=2py1+2py2=2p（y1+y2）． 又∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（x1+x2）2+8p2， ∴4x2+8p2=4py， 即 ．…① AB的中点到直线y-2x=0的距离． 将①代入，得． 因为d的最小值为， ∴， ∴p=2． ‎