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  • 2021-06-23 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第六章 3 第3讲 等比数列及其前n项和

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‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·宁波质检)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=(  )‎ A.2             B.4‎ C. D.2 解析:选B.在等比数列{an}中,a2a4=a=1,又a2+a4=,数列{an}为递减数列,所以a2=2,a4=,所以q2==,所以q=,a1==4.‎ ‎2.(2020·衢州模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则的值为(  )‎ A. B. C.2 D.17‎ 解析:选B.设{an}的公比为q,依题意得==q3,因此q=.注意到a5+a6+a7+a8=q4(a1+a2+a3+a4),即有S8-S4=q4S4,因此S8=(q4+1)S4,=q4+1=,选B.‎ ‎3.(2020·瑞安四校联考)已知数列{an}的首项a1=2,数列{bn}为等比数列,且bn=,若b10b11=2,则a21=(  )‎ A.29 B.210‎ C.211 D.212‎ 解析:选C.由bn=,且a1=2,得b1==,a2=2b1;b2=,a3=a2b2=2b1b2;b3=,a4=a3b3=2b1b2b3;…;an=2b1b2b3…bn-1,所以a21=2b1b2b3…b20,又{bn}为等比数列,所以a21=2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)=2(b10b11)10=211.‎ ‎4.(2020·丽水市高考数学模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,下列结论一定成立的是(  )‎ A.a1+a3≥2a2      B.a1+a3≤2a2‎ C.a1S3>0 D.a1S3<0‎ 解析:选C.选项A,数列-1,1,-1为等比数列,但a1+a3=-2<2a2=2,故A错误;选项B,数列1,-1,1为等比数列,但a1+a3=2>2a2=-2,故B错误;选项D,数列1,-1,1为等比数列,但a1S3=1>0,故D错误;对于选项C,a1(a1+a2+a3)=a1(a1+a1q+a1q2)=a(1+q+q2),因为等比数列的项不为0,故a>0,而1+q+q2=+>0,‎ 故a(1+q+q2)>0,故C正确.‎ ‎5.(2020·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且对任意n∈N*都有++…+0).(  )‎ A.若b7≤a6,则b4+b10≥a3+a9‎ B.若b7≤a6,则b4+b10≤a3+a9‎ C.若b6≥a7,则b3+b9≥a4+a10‎ D.若b6≤a7,则b3+b9≤a4+a10‎ 解析:选C.因为数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列(bn>0),‎ 在A中,因为b7≤a6,b4+b10≥2=2b7,‎ a3+a9=2a6,所以b4+b10≥a3+a9不一定成立,故A错误;‎ 在B中,因为b7≤a6,b4+b10≥2=2b7,‎ a3+a9=2a6,所以b4+b10≤a3+a9不一定成立,故B错误;‎ 在C中,因为b6≥a7,所以b3+b9≥2=2b6,a4+a10=2a7,所以b3+b9≥a4+a10,故C正确;‎ 在D中,因为b6≤a7,所以b3+b9≥2=2b6,a4+a10=2a7,所以b3+b9≤a4+a10不一定成立,故D错误.‎ ‎3.已知直线ln:y=x-与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点An,Bn,n∈N*,数列{an}满足:a1=1,an+1=|AnBn|2,则数列{an}的通项公式为________.‎ 解析:圆Cn的圆心到直线ln的距离dn==,半径rn=,故an+1=|AnBn|2=r-d=2an,故数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故an=2n-1(n∈N*).‎ 答案:an=2n-1(n∈N*)‎ ‎4.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n都有am+n=am·an,若Sn0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是===q,‎ ===q,‎ 即==q,‎ 所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列;‎ ‎(充分性):若对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,则 B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),‎ 于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],即an+2-a2=‎ q(an+1-a1),亦即an+2-qan+1=a2-qa1.‎ 由n=1时,B(1)=qA(1),‎ 即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0.‎ 因为an>0,‎ 所以==q.故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列.‎ 综上所述,数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.‎ ‎6.(2020·杭州市七校高三联考)已知等比数列{an}的公比为q(0a5,‎ 解得a2=1,a5=,‎ 由等比数列的性质可知a5=a2·q3,解得q=,‎ an=a2·=,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)由(1)可知bn=an·(log2an)=,‎ ‎{bn}的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn ‎=2+0++++…+,‎ Tn=1+0++++…+,‎ 两式相减可得 Tn=1-- ‎=1-- ‎=1-- ‎=- ‎=,‎ 所以Tn=.‎ ‎(3)因为Sn=4,‎ 由<⇒2<2n(4-m)<6,‎ ‎2n(4-m)为偶数,因此只能取2n(4-m)=4,‎ 所以有或⇒或.‎

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