高中数学北师大版新教材必修一同步课件：7-1-4　随机事件的运算 41页

1.4 　随机事件的运算 必备知识 · 自主学习 1. 随机事件的运算 导思 1. 什么是交事件和并事件 ? 2. 什么是互斥事件和对立事件 ? 事件的 运算 定义 图形表示 符号表示 交事件 一般地 , 由事件 A 与事 件 B_______ 所构成的 事件 , 称为事件 A 与事 件 B 的交事件 ( 或积事 件 ) ___________ 都发生 A∩B( 或 AB) 事件的 运算 定义 图形表示 符号表示 并事件 一般地 , 由事件 A 和 事件 B___________ 发 生所构成的事件 , 称为事件 A 与事件 B 的并事件 ( 或和事件 ) ____________ 至少有一个 A∪B( 或 A+B) 【 思考 】 一枚骰子掷一次 , 记事件 A={ 出现的点数为 2}, 事件 C={ 出现的点数为偶数 }, 事件 D={ 出现的点数小于 3}, 则事件 A,C,D 有什么关系 ? 提示 : A=C∩D. 2. 互斥事件与对立事件 事件的 关系 定义 图形表示 符号表示 互斥 事件 一般地 ,_____________ 的两 个事件 A 与 B(A∩B= ) 称为互 斥事件 . 它可以理解为 A,B 同 时发生这一事件是不可能事 件 . A∩B=__ 对立 事件 若 A 与 B 互斥 (A∩B= ), 且 A∪B=Ω, 则称事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 事件 A 的对 立事件记作 . A∩B=__ 且 A∪B=___ 不能同时发生 Ω 【 思考 】 命题“事件 A 与 B 为互斥事件”与命题“事件 A 与 B 为对立事件”什么关系 ?( 指充分性与必要性 ) 提示 : 根据互斥事件和对立事件的概念可知 ,“ 事件 A 与 B 为互斥事件”是“事件 A 与 B 为对立事件”的必要不充分条件 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 若两个事件是互斥事件 , 则这两个事件是对立事件 . ( 　　 ) (2) 若事件 A 和 B 是互斥事件 , 则 A∩B 是不可能事件 . ( 　　 ) (3) 事件 A∪B 是必然事件 , 则事件 A 和 B 是对立事件 . ( 　　 ) 提示 : (1) ×. 对立事件是互斥事件 , 但互斥事件不一定是对立事件 . (2)√. 因为事件 A 和 B 是互斥事件 , 所以 A∩B 为空集 , 所以 A∩B 是不可能事件 . (3) ×. 反例 : 抛掷一枚骰子 , 事件 A 为 : 向上的点数小于 5, 事件 B 为 : 向上的点数大于 2, 则事件 A∪B 是必然事件 , 但事件 A 和 B 不是对立事件 . 2. 从装有 3 个红球和 4 个白球的口袋中任取 3 个小球 , 则下列选项中两个事件是互斥事件的为 ( 　　 ) A.“ 都是红球”与“至少一个红球” B.“ 恰有两个红球”与“至少一个白球” C.“ 至少一个白球”与“至多一个红球” D.“ 两个红球 , 一个白球”与“两个白球 , 一个红球” 【 解析 】 选 D.A,B,C 中两个事件是可以同时发生的 , 只有 D, 两个事件不可能同时发生 , 是互斥事件 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 抛掷一枚骰子 ,“ 向上的点数是 1 或 2” 为事件 A,“ 向上的点数是 2 或 3” 为事件 B, 则 ( 　　 ) A.A ⊆ B B.A=B C.A+B 表示向上的点数是 1 或 2 或 3 D.AB 表示向上的点数是 1 或 2 或 3 【 解析 】 选 C. 设 A={1,2},B={2,3},A∩B={1},A∪B={1,2,3}, 所以 A+B 表示向上的点数为 1 或 2 或 3. 关键能力 · 合作学习 类型一　互斥事件与对立事件的判断 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 在 8 件同类产品中 , 有 6 件是正品 ,2 件次品 , 从这 8 件产品中任意抽取 2 件产品 , 则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 事件“至少有一件是正品”是必然事件 B. 事件“都是次品”是不可能事件 C. 事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件 D. 事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件 【 解析 】 选 D. 因为抽取的两件产品有可能都是次品 , 所以 A 、 B 错 ; 因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品” , 所以 C 错 ; 因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件 , 故互为对立事件 , 所以 D 正确 . 2.( 多选题 )(2020· 聊城高一检测 ) 下列命题中为真命题的是 ( 　　 ) A. 若事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 则事件 A 与事件 B 为互斥事件 B. 若事件 A 与事件 B 为互斥事件 , 则事件 A 与事件 B 互为对立事件 C. 若事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 则事件 A+B 为必然事件 D. 若事件 A+B 为必然事件 , 则事件 A 与事件 B 为互斥事件 【 解析 】 选 AC. 对于 A, 对立事件首先是互斥事件 , 故 A 为真命题 . 对于 B, 互斥事件不一定是对立事件 , 如将一枚硬币抛掷两次 , 共出现 ( 正 , 正 ),( 正 , 反 ),( 反 , 正 ),( 反 , 反 ) 四种结果 , 事件 M=“ 两次出现正面”与事件 N=“ 只有一次出现反面”是互斥事件 , 但不是对立事件 , 故 B 为假命题 . 对于 C, 事件 A,B 为对立事件 , 则在一次试验中 A,B 一定有一个发生 , 故 C 为真命题 . 对于 D, 事件 A+B 表示事件 A,B 至少有一个要发生 ,A,B 不一定互斥 , 故 D 为假命题 . 3. 从一堆产品 ( 其中正品与次品都多于 2 件 ) 中任取 2 件 , 观察正品件数与次品件数 , 判断下列每对事件是不是互斥事件 , 如果是 , 再判断它们是不是对立事件 . (1)“ 恰好有 1 件次品”和“恰好有 2 件次品” ; (2)“ 至少有 1 件次品”和“全是次品” ; (3)“ 至少有 1 件正品”和“至少有 1 件次品” . 【 解析 】 依据互斥事件的定义 , 即事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生可知 :(1) 中恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生 , 因此它们是互斥事件 , 又因为它们的和事件不是必然事件 , 所以它们不是对立事件 ; 同理可以判断 (2) 中的 2 个事件不是互斥事件 ;(3) 中的 2 个事件不是互斥事件 . 【 解题策略 】 判断事件间关系的方法 (1) 要考虑试验的前提条件 , 无论是包含、相等 , 还是互斥、对立 , 其发生的条件都是一样的 . (2) 考虑事件间的结果是否有交事件 , 可考虑利用 Venn 图分析 , 对较难判断关系的 , 也可列出全部结果 , 再进行分析 . 【 补偿训练 】 　　从装有完全相同的 4 个红球和 2 个黄球的盒子中任取 2 个小球 , 则互为对立事件的是 ( 　　 ) A.“ 至少一个红球”与“至少一个黄球” B.“ 至多一个红球”与“都是红球” C.“ 都是红球”与“都是黄球” D.“ 至少一个红球”与“至多一个黄球” 【 解析 】 选 B. 从装有完全相同的 4 个红球和 2 个黄球的盒子中任取 2 个小球 , 各种情况为 : 两红 , 一红一黄 , 两黄 , 三种情况 ,“ 至少一个红球”即一红一黄或两红 ,“ 至少一个黄球”即一红一黄或两黄 , 所以这两个事件不是对立事件 ;“ 至多一个红球”即一黄一红或两黄 , 与“都是红球”互为对立事件 ;“ 都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件 ;“ 至少一个红球”即一红一黄或两红 ,“ 至多一个黄球”即一红一黄或两红 , 不是对立事件 . 类型二　事件的运算 ( 数学运算 ) 【 典例 】 在投掷骰子试验中 , 根据向上的点数可以定义许多事件 , 如 :A={ 出现 1 点 },B={ 出现 3 点或 4 点 },C={ 出现的点数是奇数 },D={ 出现的点数是偶数 }. (1) 说明以上 4 个事件的关系 ; (2) 求 A∩B,A∪B,A∪D,B∩D,B∪C. 【 思路导引 】 【 解析 】 在投掷骰子的试验中 , 根据向上出现的点数有 6 种 , 记作 A i ={ 出现的点数 为 i}( 其中 i=1,2, … ,6). 则 A=A 1 ,B=A 3 ∪A 4 ,C=A 1 ∪A 3 ∪A 5 ,D=A 2 ∪A 4 ∪A 6 . (1) 事件 A 与事件 B 互斥 , 但不对立 , 事件 A 包含于事件 C, 事件 A 与 D 互斥 , 但不对立 ; 事件 B 与 C 不是互斥事件 , 事件 B 与 D 也不是互斥事件 ; 事件 C 与 D 是互斥事件 , 也是 对立事件 . (2)A∩B= , A∪B=A 1 ∪A 3 ∪A 4 ={ 出现点数 1,3 或 4},A∪D=A 1 ∪A 2 ∪A 4 ∪A 6 ={ 出现 点数 1,2,4 或 6},B∩D=A 4 ={ 出现点数 4}, B∪C= A 1 ∪A 3 ∪A 4 ∪A 5 ={ 出现点数 1,3,4 或 5}. 【 变式探究 】 1. 在例题的条件下 , 求 A∩C,A∪C,B∩C. 【 解析 】 A∩C=A,A∪C=C={ 出现点数 1,3 或 5}, B∩C=A 3 ={ 出现点数 3}. 2. 用事件 A i ={ 出现的点数为 i}( 其中 i=1,2,…,6) 表示下列事件 :(1)B∪D; (2)C∪D. 【 解析 】 (1)B∪D={ 出现点数 2,3,4 或 6}=A 2 ∪A 3 ∪A 4 ∪A 6 . (2)C∪D={ 出现点数 1,2,3,4,5,6}=A 1 ∪A 2 ∪A 3 ∪A 4 ∪A 5 ∪A 6 . 【 解题策略 】 进行事件运算应注意的问题 (1) 进行事件的运算时 , 一是要紧扣运算的定义 , 二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果 , 必要时可利用 Venn 图或列出全部的试验结果进行分析 . (2) 在一些比较简单的题目中 , 需要判断事件之间的关系时可以根据常识来判断 . 但如果遇到比较复杂的题目 , 就得严格按照事件之间关系的定义来推理 . 【 跟踪训练 】 抛掷相同硬币 3 次 , 设事件 A={ 至少有一次正面向上 }, 事件 B={ 一次正面向上 , 两次反面向上 }, 事件 C={ 两次正面向上 , 一次反面向上 }, 事件 D={ 至少一次反面向上 }, 事件 E={3 次都正面向上 }. (1) 试判断事件 A 与事件 B,C,E 的关系 ; (2) 试求事件 A 与事件 D 的交事件 , 事件 B 与事件 C 的并事件 , 并判断二者的关系 . 【 解析 】 (1)B ⊆ A,C ⊆ A,E ⊆ A, 且 A=B+C+E. (2)A∩D={ 有正面向上 , 也有反面向上 },B∪C={ 一次正面向上或两次正面向上 },A∩D=B∪C. 类型三　随机事件的表示及含义 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 典例 】 设 A,B,C 表示三个随机事件 , 试将下列事件用 A,B,C 表示出来 . (1) 三个事件都发生 ; (2) 三个事件至少有一个发生 ; (3)A 发生 ,B,C 不发生 ; (4)A,B 都发生 ,C 不发生 ; (5)A,B 至少有一个发生 ,C 不发生 ; (6)A,B,C 中恰好有两个发生 . 【 思路导引 】 结合随机事件并集与交集的关系判断并表示 . 【 解析 】 (1)ABC.(2)A∪B∪C. (3)A .(4)AB .(5)(A∪B) . (6)AB ∪A C∪ BC. 【 变式探究 】 　本例条件不变 , 试用 A,B,C 表示以下事件 . (1) 三个事件都不发生 ; (2) 三个事件至少有两个发生 . 【 解析 】 (1) 　 . (2)ABC∪AB ∪A C∪ BC. 【 解题策略 】 清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题 . 符号 事件的运算 集合的运算 A 随机事件 子集 A 的对立事件 A 的补集 AB 事件 A 与 B 的交事件 集合 A 与 B 的交集 A∪B 事件 A 与 B 的并事件 集合 A 与 B 的并集 【 跟踪训练 】 　 5 个相同的小球 , 分别标上数字 1,2,3,4,5, 依次有放回地抽取两个小球 . 记事 件 A 为“第一次抽取的小球上的数字为奇数” , 事件 B 为“抽取的两个小球上的 数字至少有一个是偶数” , 事件 C 为“两个小球上的数字之和为偶数” , 试用集 合的形式表示 A,B,C,A∩B, ∩ , ∩C. 【 解析 】 样本空间为 Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}, A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}, B={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,2),(5,4)}, C={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (5,1),(5,3),(5,5)}. A∩B={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}, ∩ ={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)}, ∩C={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}. 课堂检测 · 素养达标 1. 抽查 10 件产品 , 记事件 A 为“至少有 2 件次品” , 则 A 的对立事件为 ( 　　 ) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. 至多有 2 件次品 B. 至多有 1 件次品 C. 至多有 2 件正品 D. 至少有 2 件正品 【 解析 】 选 B. 至少有 2 件次品包含 2,3,4,5,6,7,8,9,10 件次品 , 共 9 种结果 , 故它的对立事件为含有 1 或 0 件次品 , 即至多有 1 件次品 . 2. 给出命题 :(1) 对立事件一定是互斥事件 .(2) 若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1, 则 A,B 为对立事件 .(3) 把 J 、 Q 、 K3 张红桃牌随机分给甲、乙、丙三人 , 每人 1 张 , 事件 A:“ 甲得红桃 J” 与事件 B:“ 乙得红桃 J” 是对立事件 .(4) 一个人打靶时连续射击两次 , 事件“至少有一次中靶”的对立事件是两次都不中靶 . 其中正确的命题个数为 ( 　　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 【 解析 】 选 C.(1) 由对立事件的定义可判断 (1) 正确 ;(2) 若事件 A,B 不是互斥事件 , 即无法由 P(A)+P(B)=1 判断事件 A,B 的关系 , 故 (2) 错误 ;(3) 事件 A: “ 甲得红桃 J ” 的对立事件为 “ 甲未得红桃 J ” , 即 “ 乙或丙得红桃 J ” , 故 (3) 错误 ; (4) “ 至少有一次中靶 ” 包括 “ 一次中靶 ”“ 两次都中靶 ” , 则其对立事件为 “ 两次都不中靶 ” , 故 (4) 正确 ; 故 (1)(4) 正确 . 3.( 多选题 )(2020· 济宁高一检测 ) 某小组有 3 名男生和 2 名女生 , 从中任选 2 名同学去参加演讲比赛 , 则下列不是对立事件的为 ( 　　 ) A. 恰有 1 名男生和恰有 2 名男生 B. 至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 C. 至少有 l 名男生和全是男生 D. 至少有 1 名男生和全是女生 【 解析 】 选 ABC.A 是互斥事件 , 不是对立事件 , 理由 : 在所选的 2 名同学中 , “ 恰有 1 名男生 ” 实质选出的是 “ 1 名男生和 1 名女生 ” , 它与 “ 恰有 2 名男生 ” 不可能同时发生 , 所以是一对互斥事件 , 但其并事件不是必然事件 , 所以不是对立事件 . B 不是互斥事件 , 从而也不是对立事件 . 理由 : “ 至少有 1 名男生 ” 包括 “ 1 名男生、 1 名女生 ” 和 “ 2 名都是男生 ” 两种结果 . “ 至少有 1 名女生 ” 包括 “ 1 名女生、 1 名男生 ” 和 “ 2 名都是女生 ” 两种结果 , 它们可同时发生 . C 不是互斥事件 , 从而也不是对立事件 , 理由 : “ 至少有 1 名男生 ” 包括 “ 1 名男生、 1 名女生 ” 和 “ 2 名都是男生 ” , 这与 “ 全是男生 ” 可同时发生 . D 是互斥事件 , 也是对立事件 . 理由 : “ 至少有 1 名男生 ” 包括 “ 1 名男生、 1 名女生 ” 和 “ 2 名都是男生 ” 两种结果 , 它与 “ 全是女生 ” 不可能同时发生 , 且其并事件是必然事件 , 所以是对立事件 . 4.( 教材二次开发 : 习题改编 ) 甲、乙两人破译同一个密码 , 令甲、乙破译出密码 分别为事件 A,B, 则 B∪A 表示的含义是 　　　　　　　 , 事件“密码被 破译”可表示为 　　　　　　　　 .  【 解析 】 B 表示只有乙破译密码 ,A 表示只有甲破译密码 , 所以 B∪A 表 示的含义是只有一人破译密码 . “ 密码被破译 ” 为至少一人破译密码 , 所以是 B∪A ∪AB. 答案 : 只有一人破译密码　 B∪A ∪AB