数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二上学期第二次月考数学试卷（理科） （解析版） 15页

‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若＜＜0，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|‎ ‎2．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题 ‎3．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（　　）‎ A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|x＜﹣3或x＞2}‎ ‎4．在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（　　）‎ A． B． C． D．±2‎ ‎5．数列{an}中，a1=2，an+1=an+（n∈N*），则a10=（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=8，b=4，A=60°，则cosB=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎7．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．1 D．3‎ ‎8．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知函数f（n）=，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a50=（　　）‎ A．50 B．60 C．70 D．80‎ ‎10．已知数列{an}为等比数列，则下列结论正确的是（　　）‎ A．a1+a3≥2a2 B．若a3＞a1，则a4＞a2‎ C．若a1=a3，则a1=a2 D．a12+a32≥2a22‎ ‎11．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：‎ p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2‎ p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1‎ 其中真命题是（　　）‎ A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3‎ ‎12．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．不等式≤x﹣1的解集是　　．‎ ‎14．已知△ABC各角的对应边分别为a，b，c，且满足+≥1，则角A的取值范围是　　．‎ ‎15．已知数列{an}中，a1=1，a2n=n﹣an，a2n+1=an+1，则a1+a2+a3+…+a100=　　．‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：‎ ‎①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；‎ ‎②若，则△ABC为等边三角形；‎ ‎③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；‎ ‎④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；‎ ‎⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．‎ 其中正确的命题为　　（写出所有正确命题的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知m，n∈R+，且m＞n ‎（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；‎ ‎（2）若m+2n=1，求+的最小值．‎ ‎18．（1）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知在△ABC中，C=2A，，且2=﹣27．‎ ‎（1）求cosB的值； ‎ ‎（2）求AC的长度．‎ ‎20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=2+2cos（A+B）．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面积．‎ ‎21．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项 ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．‎ ‎（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若＜＜0，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得a和b为负数且a＞b，由不等式的性质逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，‎ ‎∴a2＜b2，故A正确；‎ 再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；‎ 由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；‎ 再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】对于A根据否命题的意义即可得出；‎ 对于B按照垂直的条件判断；‎ 对于C按照含有一个量词的命题的否定形式判断；‎ 对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断．‎ ‎【解答】解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；‎ 对于B，“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．‎ 对于命题C：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确 对于D，根据正弦定理，∵x=y⇔sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的．‎ 故答案选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（　　）‎ A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|x＜﹣3或x＞2}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】由不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}得到a、b的值，代入到不等式中确定出不等式，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：因为ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}‎ 根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0‎ 解得a=﹣5，b=30．‎ 则不等式bx2﹣5x+a＞0变为30x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x 故选B ‎　‎ ‎4．在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（　　）‎ A． B． C． D．±2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；函数的零点．‎ ‎【分析】利用根与系数的关系可得a4a8，再利用等比数列的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．‎ ‎∴a4＞0，a8＞0．‎ 由等比数列{an}，，∴．‎ 由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎5．数列{an}中，a1=2，an+1=an+（n∈N*），则a10=（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】把已知递推式移项变形，然后分别取n=1，2，3，…，n，累加后求出数列通项公式（n≥2），则a10可求．‎ ‎【解答】解：由an+1=an+，得：‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎（n≥2）．‎ 累加得：‎ ‎=2=2﹣．‎ 又a1=2，‎ ‎∴=4﹣（n≥2）．‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=8，b=4，A=60°，则cosB=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知及正弦定理可得：sinB==，由b＜a，可得范围B＜60°，利用同角三角函数基本关系式即可得解cosB的值．‎ ‎【解答】解：∵a=8，b=4，A=60°，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB===，‎ ‎∵b＜a，‎ ‎∴B＜60°，‎ ‎∴cosB=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．1 D．3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z取得最大值1．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）‎ 设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，‎ 当l经过点C时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F（1，0）=1‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用二次函数的对称轴以及单调区间，推出条件p中m的范围，然后判断充要条件即可．‎ ‎【解答】解：因为条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，‎ 所以，可得m≥﹣1．‎ 条件q：m≥﹣，则p是q的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（n）=，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a50=（　　）‎ A．50 B．60 C．70 D．80‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】根据条件，讨论当n是奇数和偶数时的通项公式，结合等差数列的前n项和公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若n是奇数，则an=f（n）+f（n+1）=n2﹣（n+1）2=﹣2n﹣1，构成等差数列，‎ 则a1=﹣3，a3=﹣7，公差d=﹣7﹣（﹣3）=﹣7+3=﹣4，‎ 则奇数项的和S=﹣25×3+×（﹣4）=﹣25×51，‎ 若n是偶数，则an=f（n）+f（n+1）=﹣n2+（n+1）2=2n+1，‎ 则a2=5，a4=9，公差d=9﹣5=4，‎ 则25个偶数项和S=25×5+×4=25×53，‎ 则a1+a2+a3+…+a50═﹣25×51+25×53=50，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}为等比数列，则下列结论正确的是（　　）‎ A．a1+a3≥2a2 B．若a3＞a1，则a4＞a2‎ C．若a1=a3，则a1=a2 D．a12+a32≥2a22‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列的通项公式、不等式的性质进行解答．‎ ‎【解答】解：设{an}的公比为q．‎ A、因为a1+a3=a1（1+q2），a3=a1q2，所以当a1＜0时，该不等式不成立，故本选项错误；‎ B、若a3＞a1，即a1q2＞a1．a4=a1q2•q，a2=a1q，由于无法判定q的正负，所以无法比较a1q2•q与a1q的大小，故本选项错误；‎ C、若a3=a1，即a1q2=a1，则q=±1．当q=﹣1时，等式a1=a2不成立，故本选项错误；‎ D、因为a12+a32≥2a1•a3=2a22，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：‎ p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2‎ p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1‎ 其中真命题是（　　）‎ A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；二元一次不等式的几何意义．‎ ‎【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：作出图形如下：‎ 由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，‎ p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；‎ p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；‎ p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误； ‎ p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；‎ 综上所述，p1、p2正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】由题意知a（a+b+c）+bc=（a+c）（a+b）=4+2，所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，即可求出2a+b+c的最小值．‎ ‎【解答】解：a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc ‎=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4+2．‎ ‎2a+b+c=（a+b）+（a+c）‎ ‎≥2=2=2+2，‎ 所以，2a+b+c的最小值为2+2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．不等式≤x﹣1的解集是　[﹣1，1）∪[3，+∞）　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】利用移项，通分，转化不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式≤x﹣1化为﹣x+1≤0，可得：．‎ 等价于：或，‎ 解得：x≥3或﹣1≤x＜1．‎ ‎∴原不等式的解集为[﹣1，1）∪[3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．已知△ABC各角的对应边分别为a，b，c，且满足+≥1，则角A的取值范围是　（0，]　．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】将已知不等式化简整理，再由余弦定理，可得cosA≥（0＜A＜π），再由余弦函数的单调性，即可得到A的范围．‎ ‎【解答】解：由+≥1，‎ 可得，b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），‎ 即b2+c2﹣a2≥bc，将不等式两边同除以2bc，‎ 可得≥，‎ 由余弦定理可得，cosA≥（0＜A＜π）‎ 所以0＜A≤．‎ 故答案为：（0，]．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}中，a1=1，a2n=n﹣an，a2n+1=an+1，则a1+a2+a3+…+a100=　1306　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由已知条件得a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50﹣a50=29+（a1+1）=31，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．‎ ‎【解答】解：∵a2n=n﹣an，a2n+1=an+1，‎ ‎∴an=n﹣a2n，an=a2n+1﹣1，∴a2n+1+a2n=n+1，‎ ‎∴a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，‎ a100=50﹣a50=50﹣（25﹣a25）‎ ‎=25+a12+1‎ ‎=26+（6﹣a6）=32﹣（3﹣a3）‎ ‎=29+（a1+1）‎ ‎=31，‎ ‎∴a1+a2+a3+…+a100=1275+31=1306．‎ 故答案为：1306．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：‎ ‎①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；‎ ‎②若，则△ABC为等边三角形；‎ ‎③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；‎ ‎④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；‎ ‎⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．‎ 其中正确的命题为　①②④　（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】①已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；‎ ‎②已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；‎ ‎③已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断；‎ ‎④已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出C的度数，即可做出判断；‎ ‎⑤由A，B，C为三角形内角，得到tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本选项错误．‎ ‎【解答】解：①∵A＞B＞C，‎ ‎∴a＞b＞c，‎ 又===2R，‎ ‎∴sinA=，sinB=，sinC=，2R为定值，‎ ‎∴sinA＞sinB＞sinC，此选项正确；‎ ‎②∵==，‎ 由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，得==，‎ ‎∴==，即tanA=tanB=tanC，‎ ‎∴A=B=C，‎ 则△ABC是等边三角形，本选项正确；‎ ‎③∵sin2A=sin2B，‎ ‎∴2A=2B或2A+2B=π，‎ 即A=B或A+B=，‎ 则△ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；‎ ‎④∵（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，‎ ‎∴tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1﹣tanAtanB，‎ ‎∴=1，即tan（A+B）=1，‎ ‎∴A+B=，即C=，‎ 则△ABC为钝角三角形，本选项正确；‎ ‎⑤若A、B、C有一个为直角时不成立，‎ 若A、B、C都不为直角，‎ ‎∵A+B=π﹣C，‎ ‎∴tan（A+B）=tan（π﹣C），即=﹣tanC，‎ 则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，‎ ‎∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，‎ 即⑤错误，‎ 故答案为：①②④‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知m，n∈R+，且m＞n ‎（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；‎ ‎（2）若m+2n=1，求+的最小值．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】（1）作差法比较即可；（2）“乘1法”结合基本不等式的性质求出最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：‎ m2+n﹣（mn+m）‎ ‎=m2﹣mn+n﹣m ‎=（m﹣1）（m﹣n），‎ ‎∵n＞1，故m＞1，‎ 故（m﹣1）（m﹣n）＞0，‎ 即m2+n＞mn+m；‎ ‎（2）由题意得：‎ ‎+=（+）（m+2n）=2+++2≥8，‎ 当且仅当m=2n=时“=”成立．‎ ‎　‎ ‎18．（1）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则p、q两命题一真一假，进而可得实数a的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，进而可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根为真，‎ 则△=a2﹣16≥0，‎ 解得：a≤﹣4或a≥4．‎ 若q关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数为真，‎ 则﹣，‎ ‎∴a≥﹣12．‎ 由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，p、q两命题一真一假，‎ 当p真q假时：a＜﹣12；当p假q真时：﹣4＜a＜4，‎ 综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）．‎ ‎（2）解（4x﹣3）2≤1得：≤x≤1，‎ 解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得：a≤x≤a+1，‎ 若￢p是￢q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，‎ 则，解得：a∈[0，]‎ ‎　‎ ‎19．已知在△ABC中，C=2A，，且2=﹣27．‎ ‎（1）求cosB的值； ‎ ‎（2）求AC的长度．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由条件，再由两角和差的余弦公式、诱导公式求得cosB=﹣cos（A+C）的值．‎ ‎（2）由C=2A 利用正弦定理求得．再由 2=﹣27，求得 ac=24，由此可得AC的长度（即b的值）．‎ ‎【解答】解：（1）∵C=2A，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．…‎ ‎（2）∵C=2A，∴，∴． …‎ ‎∵2=﹣27，∴ =24，即 ac=24， a2=24．‎ 解得a=4、c=6．‎ ‎∴b==5，即 AC的长度为5．…‎ ‎　‎ ‎20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=2+2cos（A+B）．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据正弦定理进行转化即可求的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=，根据三角形的面积公式即可求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），‎ ‎∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），‎ ‎∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…‎ ‎∴sinB=2sinA，…‎ ‎∴b=2a，∴．…‎ ‎（Ⅱ）∵，，∴b=2，‎ ‎∴，∴．…‎ ‎∴，‎ 即△ABC的面积的．…‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项 ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；‎ ‎（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），‎ ‎∴，‎ 解得a1=3，d=2，‎ ‎∵b1=a1=3，b2=a4=9，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知：an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，单调递减，得，‎ 而，‎ 所以不存在k∈N*，使得等式成立．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．‎ ‎（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，求不等式f（x）＞1的解集即可；‎ ‎（Ⅱ）讨论a=0与a＞0、a＜0时，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值是什么，‎ 由此建立不等式求出a的集合即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，‎ 不等式f（x）＞1化为2x2﹣3x+1＞0，‎ 解得x＜或x＞1；‎ 所以该不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；‎ ‎（Ⅱ）由对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立；‎ 讨论：①当a=0时，f（x）=﹣x+2在区间[﹣1，3]上是单调减函数，‎ 且f（3）=﹣3+2=﹣1＜0，不满足题意；‎ ‎②当a＞0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＞，‎ 若+＜3，则a＞，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（+）≥0，‎ 即a2﹣6a+1≤0，解得3﹣2≤a≤3+2，取＜a≤3+2；‎ 若+≥3，则0＜a≤，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，‎ 解得a≥，取≤a≤；‎ 当a＜0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＜，‎ 函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥，此时a不存在；‎ 综上，实数a的取值范围是≤a≤3+2．‎ ‎　‎