数学文卷·2017届福建省莆田第六中学高三下学期第一次模拟（期中）考试（2017 12页

莆田第六中学2017届高三第一次模拟考试数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎‎2017-04-27‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是实数，是纯虚数，则（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图的程序框图，若输入的为5，则输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎6．若实数，满足不等式组则的最小值为（ ）‎ A．2 B．‎3 C． D．14‎ ‎7．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．2 B． ‎ C． D．‎ ‎8．对于函数（、、），选取、、的一组值计算、，所得出的正确结果可能是（ ）‎ A．2和1 B．2和‎0 C．2和-1 D．2和-2‎ ‎9．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（ ）‎ A．多斤 B．少斤 C．多斤 D．少斤 ‎10．已知点是抛物线上的一个动点，是圆：上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎11．已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）‎ A．有一个对称中心 B．有一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎12．已知函数（），若存在，使得 成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知点在直线：上，则 ．‎ ‎14．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且，点为边上一点，且，则的面积为 ．‎ ‎15．在三棱锥中，平面，，，，为棱上一个动点，设直线与平面所成的角为，则不大于的概率为 ．‎ ‎16．已知向量，（，），若，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．设数列的前项和，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18．某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组，第二组，…，第五组 ‎，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为.‎ ‎（Ⅰ）求的值，并求这50名同学心率的平均值；‎ ‎（Ⅱ）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合计 体育生 ‎20‎ 艺术生 ‎30‎ 合计 ‎50‎ ‎19．如图，已知三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）请作出点在平面上的射影，并说明理由.若，，求三棱锥的体积.‎ ‎20．已知平面内一动点与两定点和连线的斜率之积等于.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线：（）与轨迹交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.‎ ‎21．设函数，（）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求圆的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标. ‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式不恒成立，求实数的取值范围.‎ 莆田第六中学2017届高三第一次模拟考试数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:BABCA 6-10:ADBDC 11、12：BC 二、填空题 ‎13． 14．6 15． 16．9‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）当时，，……………1分 由得（），……………2分 ‎（），……………5分 又也符合，‎ ‎（）. ……………6分 ‎（Ⅱ）……………7分 ‎，……………8分 ‎……………10分 ‎.……………12分 ‎18．解：（Ⅰ）因为第二组数据的频率为，故第二组的频数为，‎ 所以第一组的频数为，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4. ……2分 所以，‎ 故.……………4分 这50名同学的心率平均值为.……………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有名，故列联表补充如下.‎ 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合计 体育生 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 艺术生 ‎2‎ ‎28‎ ‎30‎ 合计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 所以，……………11分（表格3分）‎ 故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关. ……………12分 ‎19．解：（Ⅰ）证明：如图，为正三角形，且为的中点，.……1分 又为的中点，，，……………2分 又已知，平面，……………3分 ‎， 又，，‎ 平面.……………5分 ‎（Ⅱ）如图，过点作于，……………6分 由（Ⅰ）可知，平面，，又，，‎ 平面，即为点在平面上的射影. ……………7分 在直角中，设，则，，‎ ‎，……………8分 由……………9分 ‎ ‎ 得，解得.……………10分 ‎，，，‎ ‎，‎ 故三棱锥的体积为.……………12分 ‎20．解：（Ⅰ）设的坐标为，‎ 依题意得，化简得轨迹的方程为（）. ……………4分 ‎（Ⅱ）设，，‎ 联立方程组化简得：,……………5分 有两个不同的交点，由根与系数的关系得，，‎ ‎，即且.……………6分 设、中点为，点横坐标，，，‎ 线段的垂直平分线方程为.点坐标为.……………7分 到的距离，……………8分 由弦长公式得，……………9分 ‎……………10分 ‎，…11分 当且仅当即时等号成立，‎ ‎.……………12分 ‎21．解：（Ⅰ）…………1分 ‎（）…………2分 ‎①当时，由，解得；…………3分 ‎②当时，由，解得； ‎ ‎③当时，由，解得； …………4分 综上所述，‎ 当时，的单调增区间为；‎ 时，的单调增区间为.…………5分 ‎（Ⅱ）当时，，，，…………6分 所以单调递增，…………7分 ‎，，‎ 所以存在唯一，使得，即，…………8分 当时，，当时，，‎ 所以…………9分 ‎，…………10分 记函数，则在上单调递增，‎ 所以，即，…………11分 由，且为整数，得，‎ 所以存在整数满足题意，且的最小值为0. …………12分 ‎22．解：（Ⅰ）因为，所以，‎ ‎ 即为圆C的普通方程． ……………………………………3分 所以所求的圆C的参数方程为(为参数) …………………………5分 ‎（Ⅱ） 解法一：设，得代入整理得 ‎ (*)，则关于方程必有实数根 …………7分 ‎∴，化简得 解得，即的最大值为11. …………………………………………9分 将代入方程(*)得，解得，代入得 故的最大值为11时，点的直角坐标为. ………………………10分 解法二：由（Ⅰ）可得，设点,‎ ‎ , ‎ 其中，，当时，，……………8分 此时，,即，所以，‎ 点的直角坐标为. …………………………………10分 ‎23．解：（Ⅰ）不等式，即，可化为 ‎①或②或③‎ 解①得，解②得，解③得，‎ 综合得，即原不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 当且仅当时，等号成立，即，‎ 又关于的不等式不恒成立，则，‎ 解得或，即实数的取值范围为.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎