数学理卷·2018届四川省绵阳南山中学高三二诊热身考试（2018 12页

绵阳南山中学高2018届高三“二诊”热身考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为（ ）‎ A． B．-4 C．3 D．4‎ ‎3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ）‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的可能是（ ）‎ A．15,18 B．14,18 C．12,18 D．9,18‎ ‎5．已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎6．在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的最小值是（ ）‎ A．0 B． C． D．-1‎ ‎7．某学校需要把6名实习老师安排到三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ）‎ A． 24 B．36 C．48 D．72‎ ‎8．以下四个命题中：‎ ‎①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分；‎ ‎②已知命题，，则，；‎ ‎③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；‎ ‎④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.‎ 其中真命题的序号为（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎9．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：‎ 零件数（个）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 加工时间（分钟）‎ ‎21‎ ‎30‎ ‎39‎ 现已求得上表数据的线性回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）‎ A．84分钟 B．94分钟 C．102分钟 D．112分钟 ‎10．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）‎ A． B． C．-1 D．1‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知的展开式中，的系数为，则 ．‎ ‎14．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为 ．‎ ‎15．在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，，则的最短边的边长为 ．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，平面向量满足：，则对任意的实数和任意满足条件的向量，的最小值 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知等差数列中，公差，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围.‎ ‎18． “中国人均读书4.3本（包括络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：‎ ‎（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；‎ ‎（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.‎ ‎19． 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求得值.‎ ‎20．如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值.‎ ‎21．已知函数（且）‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，设，若有两个相异零点，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.‎ ‎（1）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，若的中点为，求的长.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.‎ 绵阳南山中学高2018届高三“二诊”热身考试 参考答案 一、选择题 ‎1-5:CBABB 6-10:DCBCB 11、12：CD 二、填空题 ‎13．4 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题意可得即 又因为，所以所以.‎ ‎（2）因为，所以 ‎.‎ 因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，‎ 即存在，使得成立.‎ 又（当且仅当时取等号）.‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ ‎18．解：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，‎ 所以40名读书者中年龄分布在的人数为.‎ ‎（2）40名读书者年龄的平均数为 ‎.‎ 设中位数为，则 解得，即40名读书者年龄的中位数为55.‎ ‎（3）年龄在的读书者有人，‎ 年龄在的读书者有人，‎ 所以的所有可能取值是0,1,2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望.‎ ‎19．解：（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，‎ 所以的最小正周期，从而.‎ 又因为的图象关于直线对称，‎ 所以，，即，，‎ 由，得，所以.‎ ‎（2）由（1），得，‎ 所以，即.‎ 由，得，所以，‎ 因此.‎ ‎20．解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为，‎ 由已知得，点，则，‎ 设点，‎ 由抛物线的定义，得：，‎ 则.‎ 从而，所以点，‎ 设点为椭圆的左焦点，则，，‎ 根据椭圆定义，得，则.‎ 从而，所以椭圆的标准方程是.‎ ‎（2）设点，，，则，，‎ 两式相减，得，即 因为为线段的中点，则，‎ 所以直线的斜率，‎ 从而直线的方程为，‎ 即，‎ 联立，得，‎ 则，.‎ 所以 设点到直线的距离为，‎ 则，所以 由，得，‎ 令，则.‎ 设，则.‎ 由，得，‎ 从而在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以，‎ 故面积的最大值为.‎ ‎21．解：（1）由知 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，‎ 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.‎ ‎（2），设的两个相异零点为，‎ 设，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，.‎ 要证，即证，‎ 即，即，‎ 设上式转化为.‎ 设，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎22．解：（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为.‎ 设点，，由中点坐标公式得，‎ 代入中，得点的轨迹的直角坐标方程为.‎ ‎（2）的坐标为，设的参数方程为，（为参数）代入曲线的直角坐标方程得：，‎ 设点对应的参数分别为，‎ 则，，.‎ ‎23．解：（1）原不等式等价于或或，‎ 得或 ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由方程可变形为，‎ 令，作出图象如下：‎ 于是由题意可得.‎