2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§8-3 直线、平面平行的判定与性质（讲解部分） 19页

专题八　立体几何 §8.3 　直线、平面平行的判定与性质 高考文数 考点　直线、平面平行的判定与性质 考点清单 考向基础 1.判定直线与直线平行的方法 (1)平行公理: a ∥ b , b ∥ c ⇒ a ∥ c ; (2)线面平行的性质定理: a ∥ β , a ⊂ α , α ∩ β = b ⇒ a ∥ b ; (3)面面平行的性质定理: α ∥ β , γ ∩ α = a , γ ∩ β = b ⇒ a ∥ b ; (4)垂直于同一个平面的两条直线 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交线平 行. 2.直线与平面平行的判定和性质 　　3.平面与平面平行的判定和性质 【知识拓展】 与平面平行有关的几个常用结论: (1)夹在两个平行平面之间的 平行线段长度相等 ; (2) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 ; (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例; (4) 同一条直线与两个平行平面所成角相等 . 考向突破 考向一　线面平行的判定与性质 例1　在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,截面 A 1 B 1 C 与平面 ABC 交于直线 a ,则直线 a 与 直线 A 1 B 1 的位置关系为 　　　     . 解析　在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, A 1 B 1 ∥ AB , AB ⊂ 平面 ABC , A 1 B 1 ⊄ 平面 ABC , ∴ A 1 B 1 ∥平面 ABC ,又∵ A 1 B 1 ⊂ 平面 A 1 B 1 C ,平面 A 1 B 1 C ∩ 平面 ABC = a ,∴ A 1 B 1 ∥ a ,故填平行. 答案　平行 考向二　面面平行的判定与性质 例2    (2020届豫北名校9月联考,6)如图所示, P 是三角形 ABC 所在平面外一 点,平面 α ∥平面 ABC , α 分别交线段 PA , PB , PC 于点 A ', B ', C ',若 PA '∶ AA '=2∶ 3,则△ A ' B ' C '与△ ABC 的面积比为   (　　)   A.2∶5　    B.3∶8　    C.4∶9　    D.4∶25 解析　∵平面 α ∥平面 ABC ,平面 PAB ∩ 平面 α = A ' B ',平面 PAB ∩ 平面 ABC = AB , ∴ A ' B '∥ AB ,又知 PA '∶ AA '=2∶3, ∴ A ' B '∶ AB = PA '∶ PA =2∶5, 同理可得 B ' C '∶ BC = A ' C '∶ AC =2∶5. ∴△ A ' B ' C '∽△ ABC ,且相似比为2∶5, ∴   =   =   ,故选D. 答案    D 方法1　 证明线面平行的方法 1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用线面平行的判定定理: 关键是在平面内找出与已知直线平行的直线. 3.利用面面平行的性质:当两个平面平行时,其中一个平面内的任一直线都 平行于另一个平面. 方法技巧 例1　如图所示,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在的平面相交于 AB ,在 AE 、 BD 上各有一点 P 、 Q ,且 AP = DQ .求证: PQ ∥平面 BCE .     证明　证法一:如图所示,作 PM ∥ AB 交 BE 于 M ,作 QN ∥ AB 交 BC 于 N ,连接 MN . ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB ,∴ AE = BD . 又 AP = DQ ,∴ PE = QB , 又 PM ∥ AB ∥ QN , ∴   =   =   =   ,∴   =   , 又 AB = DC ,∴ PM = QN , 又 PM ∥ QN ,∴四边形 PMNQ 为平行四边形, ∴ PQ ∥ MN . 又 MN ⊂ 平面 BCE , PQ ⊄ 平面 BCE , ∴ PQ ∥平面 BCE . 证法二:如图,在平面 ABEF 内,过点 P 作 PM ∥ BE 交 AB 于点 M ,连接 QM .   则 PM ∥平面 BCE , ∵ PM ∥ BE ,∴   =   , ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB ,∴ AE = BD , 又∵ AP = DQ ,∴ PE = BQ ,∴   =   ,∴   =   , ∴ MQ ∥ AD ,又 AD ∥ BC , ∴ MQ ∥ BC ,∴ MQ ∥平面 BCE ,又 PM ∩ MQ = M , ∴平面 PMQ ∥平面 BCE , 又 PQ ⊂ 平面 PMQ ,∴ PQ ∥平面 BCE . 方法2 　证明面面平行的方法 1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有 两条相交直线 都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面. 例2　如图,四边形 ABCD 与 ADEF 均为平行四边形, M , N , G 分别是 AB , AD , EF 的中点. (1)求证: BE ∥平面 DMF ; (2)求证:平面 BDE ∥平面 MNG .     证明　(1)设 DF ∩ GN = O ,连接 AE ,则 AE 必过点 O ,因为四边形 ADEF 为平行 四边形,所以 O 为 AE 的中点,连接 MO ,又 M 为 AB 的中点,所以 MO 为△ ABE 的 中位线,所以 BE ∥ MO , 又 BE ⊄ 平面 DMF , MO ⊂ 平面 DMF , 所以 BE ∥平面 DMF .   (2)因为 N , G 分别为平行四边形 ADEF 的对边 AD , EF 的中点,所以 DE ∥ GN , 又 DE ⊄ 平面 MNG , GN ⊂ 平面 MNG , 所以 DE ∥平面 MNG . 又 M 为 AB 的中点, N 为 AD 的中点, 所以 MN 为△ ABD 的中位线,所以 BD ∥ MN , 因为 BD ⊄ 平面 MNG , MN ⊂ 平面 MNG , 所以 BD ∥平面 MNG , 因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线, 所以平面 BDE ∥平面 MNG .