专题8-3 立体几何综合问题-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版） 39页

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎ ‎ ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考新课标1文数】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,则m,n所成角的正弦值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ ,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,故选A.‎ ‎2. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△，直线AC与所成角的余弦的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎ 3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥中，平面，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：；‎ ‎（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.‎ ‎【解析】（I）因为平面，所以．又因为，所以平面．‎ ‎（II）因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．‎ ‎（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：取中点，连结，，．又因为为的中点，所以．又因为平面，所以平面．‎ ‎4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面BED；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎ 5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎（I）证明G是AB的中点；‎ ‎（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．‎ ‎ 6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎【答案】C ‎【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.‎ ‎7.【2015高考福建，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．‎ ‎（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；‎ ‎（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．‎ 解法二：（I）、（II）同解法一．‎ ‎ 8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.‎ ‎(Ⅰ)请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)‎ ‎(Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.‎ ‎(Ⅲ)证明：直线DF平面BEG A B F H E D C G C D E A B ‎【解析】(Ⅰ)点F，G，H的位置如图所示 H G O E F B A D C ‎ 9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.‎ ‎(Ⅰ)证明：AB平面PFE.‎ ‎(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.‎ ‎【解析】如题(20)图.由知，为等腰中边的中点，故，‎ 又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，从而.因. 从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面.‎ ‎(2)解：设,则在直角中，.从而 由，知，得,故，即.‎ 由,,从而四边形DFBC的面积为 ，由(1)知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角中，,体积,故得，解得，由于，可得.所以或.‎ ‎10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥中，底面是以 为中心的菱形，底面，，为上一点，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.‎ （1） 证明：‎ （2） 若,求三棱柱的高.‎ ‎ 12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱中，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值.‎ ‎【解析】（1）证明：由知,又,故平面即,又，所以（2）设在中同理在中, ‎ ‎，所以从而三棱柱的体积为因故当时，即时，体积取到最大值 ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 高考对立体几何的考查，主要考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力.线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定高考大题没涉及，而在小题中考查，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点.‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出，线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、几何体的体积，表面积，几何体的高等是高考的热点，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题以直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，故预测2017年高考，可能以锥体为几何背景，第一问以线面垂直，面面垂直为主要考查点，第二问仍以求体积或表面积为主，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力． ‎ 复习建议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 对立体几何中的角与距离，主要以选择题的方式进行考查，而综合性问题，主要在解答题中考查，一般第一问证明平行与垂直，第二问求体积，面积，或涉及一些探索性命题，难度不算太大，重点考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．‎ ‎【考点1】空间角，距离的求法 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．空间的角 ‎(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线，经过空间任一点作直线.则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是.‎ ‎(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．‎ ‎①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角．直线与平面所成角的范围是.‎ ‎(3)二面角的平面角：如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角．二面角的范围是.‎ ‎(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.‎ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.‎ ‎3.空间距离:‎ ‎（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝（“±”符号由实际情况选定）求距离.‎ a b E F ‎（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法 ‎（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；‎ ‎（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.‎ ‎（1）异面直线所成的角的范围是.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④‎ 补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ.‎ ‎（2）直线与平面所成的角的范围是.求线面角方法:‎ ‎①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.‎ ‎②利用三棱锥的等体积，省去垂足,‎ 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解.‎ ‎③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.‎ D B A C ‎（3）确定点的射影位置有以下几种方法：‎ ‎①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；‎ ‎②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；‎ ‎③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；‎ ‎④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：‎ a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；‎ b.‎ ‎ 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；‎ c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；‎ ‎（4）二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:‎ ‎①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；‎ ‎②射影面积法.利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.‎ ‎2. 求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下：‎ ‎（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.‎ ‎（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.‎ ‎（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA′的长度为d ，在a 上有线段A′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝（“±”符号由实际情况选定）‎ ‎3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：‎ ‎①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.‎ ‎②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.‎ ‎③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：‎ 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“＝ ”求二面角否则要适当扣分.‎ ‎④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.‎ ‎⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.‎ ‎（I）求证：BF⊥平面ACFD；‎ ‎（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎ 2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，垂直圆所在的平面，是圆 上的点，是的中点，为的重心，是圆的直径，且． ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求到平面的距离．‎ ‎【考点2】立体几何综合问题 ‎【备考知识梳理】‎ 空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有：‎ ‎1)以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明.‎ ‎2)探索性问题中的平行与垂直问题.‎ ‎3)折叠问题中的平行与垂直问题.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.‎ ‎ 证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行.线线平行是平行关系的根本.5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．‎ ‎2. 探索性问题 探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．‎ ‎3．折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，弄清哪些角度和长度变了，哪些没有变；哪些线共面，哪些线不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直线. 尤其是隐含着的垂直关系．‎ ‎4．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决.求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”.‎ ‎（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；‎ ‎（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；‎ ‎（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题.]‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥中，平面平面，，．设分别为中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，的平面内的任一条直线都与平面平行？‎ 若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ 又因为平面，平面，所以．又因为，所以平面平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行．‎ ‎2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形中，点分别是的中点，将分别沿、折起， 使两点重合于.‎ ‎ (Ⅰ)求证：平面⊥平面；‎ ‎ (Ⅱ)求四棱锥的体积.‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1．如何求线面角 ‎（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.‎ ‎（2）利用三棱锥的等体积，省去垂足 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h！利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解.‎ ‎（3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.‎ ‎2.如何求二面角 ‎（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②‎ 利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；‎ ‎（2）射影面积法.利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.‎ ‎3.探索性问题 探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.‎ ‎4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．‎ ‎5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．‎ ‎6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．‎ ‎1. 【2016届吉林四平一中高三五模】如图，在棱长均为2的正四棱锥中，点为中点，则下列命题正确的是（ ）‎ A．平面，且直线到平面的距离为 B．平面，且直线到平面的距离为 C．不平行于平面，且到平面所成角大于 D．不平行于平面，且到平面所成角小于 ‎【答案】D ‎2. 【2016届黑龙江省哈尔滨六中高三下四模】如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】：设，则，过作，则，过作，则即为为所求，如图所示，过作，连接，则四边形是梯形，其中，，过作，则，在中，，则，所以，故选A.‎ ‎3. 【2016届湖南省长沙市长郡中学高考模拟一】在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 4. 【2016届上海市七宝中学高三模拟】在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求直线到平面的距离.‎ ‎5. 【2016届天津市和平区高三三模】如图所示的几何体中,是正三角形, 且平面, 平面,是的中点. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若,求与平面所成角的正切值；‎ ‎（3）在（2）的条件下, 求点到平面的距离.‎ ‎6.【2016届湖北襄阳五中高三5月二模】如图，长方体中，，，点是棱上的一点，．‎ ‎（1）当时，求证：平面；‎ ‎（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求的值． ‎ ‎ ‎ ‎ 7. 【2016届云南省师大附中高三适应性月考八】如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面，为的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为1，求点到平面的距离.‎ ‎8. 【2016届海南师大附中高三第九次月考】如图，平面，矩形的边长，为的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）如果异面直线与所成的角的大小为，求的长及点到平面的距离.‎ ‎【解析】（1）连 接，由，得，同 理 得 ，，，由勾股定理得，平面，.又平面.‎ ‎（2）取的中点的中点，连,的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小，即或(或者由观察可知，，不需分类讨论)，设，则，若，由 ‎ 9.【2016届湖南省长沙市长郡中学高考模拟一】如图甲，圆的直径，圆上两点在直径的两侧，使，，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，根据图乙解答下列各题：‎ ‎（1）求点到平面的距离；‎ ‎（2）如图：若的平分线交弧于一点，试判断是否与平面平行？并说明理由.‎ ‎【解析】（1）点到面的距离为.‎ ‎（2）面，理由如下：连结，则中，分别为的中点，∴，又∵面，面，∴面，∵是 的平分线，且，令交于，则是的中点，连结，则，又∵面，面，∴面，且，面，∴面面.又面，∴面.‎ ‎ 10. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知中，，将沿折起，使 变到，使平面平面．‎ ‎（1）试在线段上确定一点，使平面；‎ ‎（2）试求三棱锥的外接球的半径与三棱锥的表面积．‎ ‎（2）由（1）可知，，设三棱锥的外接球半径为，可知，，‎ ‎∴．三棱锥的表面积为．‎ ‎ 11. 【浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试】异面直线所成的角为，过空间中定点，与都成角的直线有四条，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎12.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟】三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若是中心，则与平面所成的角大小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可设底面三角形的边长为，则由棱柱体积公式得，解得，过点作平面的垂线，垂足为，则点为底面的中心，所以 ‎，而，所以，又，所以.故正确答案为B.‎ ‎13. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．‎ ‎(1)求证：DE⊥平面BCD；‎ ‎(2)在图2中，若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积．‎ ‎14. 【2015届江苏省扬州市高三第四次调研】如图，三棱锥中，侧面是等边三角形，是的中心．‎ ‎（1）若，求证；‎ ‎（2）若上存在点，使平面，求的值．‎ ‎ 15. 【2015届北京市西城区高三二模】如图，在四棱锥中，，‎ 平面，平面，，，．‎ ‎ ‎ ‎（1）求棱锥的体积；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）在中，，∵平面，∴棱锥的体积为；‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1.已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎【解析】（Ⅰ）平面，平面，又等边三角形中,‎ ‎，平面，平面，， 取CE 的中点M，连接BM,MF，则MF为△CDE 的中位线，故,所以四边形ABMF为平行四边形，即MB//AF, 平面，平面，，‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）因为平面，平面，所以//DE，故//平面DCE，h等于d，由体积相等得,‎ ‎,，解得. ‎ ‎【入选理由】本题考查线面平行、面面垂直的证明，点到平面距离等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，本题比较传统,是高考考试的方向，有一定的综合性，难度适中，故选此题．‎ ‎2．如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，且AA1=3，为的中点，在线段上,设（），设．‎ ‎（Ⅰ）当取何值时，平面；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体的体积．‎ ‎（Ⅱ）由已知得，因为，，故，由（Ⅰ）得平面，故，故的体积为．‎ ‎【入选理由】本题考查直线和平面垂直的判定定理和性质定理、锥体的体积公式，探索性命题等基础知识，意在考查空间想象能力，推理论证能力,运算求解能力，数形结合思想,化归与转化思想．本题通过建立方程，求出参数值,是探索性命题中比较简单，这符合高考在立体几何中考查方向，故选此题．‎ ‎3.如图，三棱锥中，平面，，点，分别为的中点．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）是线段上的点，且平面.‎ ①确定点的位置；‎ ‎②求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎②作于，则，∴平面，∴是直线与平面所成的角.∵， ∴，又，∴，即直线与平面所成角的正切值为.‎ ‎【入选理由】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，线面平行的性质定理以及线面角的求解，探索性命题等基础知识，意在考查学生的空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，数形结合思想,化归与转化思想．本题探索点位置,这是立体几何常考题型,且难度适中，故选此题．‎ ‎4.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=60°，点F在斜边AB上，且AB=4AF，D，E是平面ABC同一侧的两点，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD=3，AC=BE=4.‎ ‎(Ⅰ)求证：CD⊥EF；‎ ‎(Ⅱ)若点M是线段BC的中点，求点M到平面EFC的距离.‎ ‎ ‎ ‎【入选理由】本题主要考查空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质及线面角的计算等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，本题是一个常规题，今年全国卷加大对空间角的考查，难度适中，故选此题．‎ ‎5. 如图所示，在边长为12的正方形 中，点在线段上，且,作 ，分别交于点， .作，分别交于点，.将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图的三棱柱. ‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求四棱锥的体积.‎ ‎【入选理由】本题考查直线和平面垂直,折叠问题,几何体体积等基础知识，意在考查学生空间想象能力、推理论证能力和基本的运算能力．折叠问题是高考常考问题,每过几年都要涉及，故选此题． ‎