数学理卷·2017届江西省百所重点高中高三模拟考试（2017 11页

‎2017届百所重点高中高三模拟考试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设复数（），且，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.在中，分别为的中点，为的中点，若，，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.下图是函数求值的程序框图，若输出函数的值域为，则输入函数的定义域不可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.函数的部分图象如图，且，则图中的值为（ ）‎ A． 1 B． C. 2 D．或2‎ ‎7.在公差大于0的等差数列中，，且成等比数列，则数列的前21项和为（ ）‎ A．21 B． -21 C. 441 D．-441‎ ‎8.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）‎ A．3795000立方尺 B．2024000立方尺 C. 632500立方尺 D．1897500立方尺 ‎9.已知，实数满足约束条件，且的最小值为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心 在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若公比为2的等比数列满足，则的前7项和为 ．‎ ‎14. 的展开式中的系数为 ．‎ ‎15.已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为 ．‎ ‎16.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18. 某地区建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.‎ ‎（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；‎ ‎（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？‎ ‎19. 如图，在三棱锥中，侧面底面，为等边三角形，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知椭圆：的短轴长为2，且函数的图象与椭圆仅有两个公共点，过原点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）点为线段的中垂线与椭圆的一个公共点，求面积的最小值，并求此时直线的方程.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若，恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若且直线与函数的图象可以围成一个三角形，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CCABC 6-10: BADCD 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 1 14. -6 15. 14 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）由，得，由于，，故有，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 又，‎ 由正弦定理得：，解得：，‎ 所以.‎ ‎18.（1）由题意可知，所求概率.‎ ‎（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为1,2,3，‎ ‎，，，‎ 则的分布列为 ‎∴,‎ 设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为0,1,2,3‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 则的分布列为：‎ ‎∴（或，∴）‎ ‎（或）‎ 由，可得，甲公司竞标成功的可能性更大.‎ ‎19.（1）证明：取的中点，连接，‎ ‎∵点为等边中边的中点，‎ ‎∴，∵，，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴，∵点为的中点，∴.‎ ‎（2）由（1）知，，又，故是以为斜边的等腰直角三角形，‎ ‎∵，侧面底面上，底面 以线段所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则有，即，令，‎ 则，，∴‎ 设与平面所成角为，‎ 则.‎ ‎20.（1）由题意可知，，则，‎ 联立与，得：‎ 根据椭圆与抛物线的对称性，可得 ‎∴，又，‎ ‎∴，∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率为0时，，‎ ‎②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由，得，‎ ‎∴，‎ 由题意可知线段的中垂线方程为，由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即，当且仅当，即时等号成立，此时的面积取得最小值，‎ ‎∵，∴的面积的最小值为，此时直线的方程为.‎ ‎21.（1），‎ ‎（ⅰ）当时，，函数在上单调递增；‎ ‎（ⅱ）当时，令，则，‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减.‎ 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（2）令，由（1）可知，函数的最小值为，所以，即. 恒成立与恒成立等价，‎ 令，即，则，‎ ‎①当时，（或令，则在上递增，∴，∴在上递增，∴，∴）‎ ‎∴在区间上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴恒成立，‎ ‎②当时，令，则，‎ 当时，，函数单调递增.‎ 又，，‎ ‎∴存在，使得，故当时，，即，故函数在上单调递减；当时，，即，故函数在上单调递增.‎ ‎∴，‎ 即，不恒成立，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎22.（1）曲线的普通方程为，‎ 则的极坐标方程为，‎ 由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标为（或）‎ ‎（2）由得：，故，，‎ ‎∴.‎ ‎23.（1）由，即，‎ 得：或或，‎ 解得：，∴不等式的解集为.‎ ‎（2）作出函数的图象，如图所示，‎ ‎∵直线经过定点，‎ ‎∴当直线经过点时，，‎ ‎∴当直线经过点时，，‎ ‎∴当时，直线与函数的图象可以围成一个三角形.‎ ‎24.‎