数学（理）卷·2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试（2017 11页

湖南省衡阳市2017届高三上学期期末考试数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，其中为虚数单位，则所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.执行如下图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎4.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次点数之和为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若正三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则它的侧视图的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.函数的部分图象可能是（ ）‎ ‎8.过抛物线的焦点的直线与圆相交，截得弦长最短时的直线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在中，边上的高为在上，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）‎ A．或 B． 1 C.1或 D．‎ ‎10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如下图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为若，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为 ．（用数字填写答案）‎ ‎14.已知实数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎15.在中，已知角的正切值为函数在处切线的斜率，且，则 ．‎ ‎16.表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为（简称血酒含量，单位是毫克毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车，如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查处的60名酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图.‎ ‎（1）求查获的醉酒驾车的人数；‎ ‎（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和数学期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 椭圆的上顶点为是椭圆上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆的左焦点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知，其中是的反函数.‎ ‎（1）若，证明：函数在区间上是增函数；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）设，若对任意的有恒成立，求满足条件的最小整数的值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.曲线的图象与轴、轴分别交于两点.‎ ‎（1）判断两点与曲线的位置关系；‎ ‎（2）点是曲线上异于两点的动点，求面积的最大值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 36 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解析：（1）成等差数列，， 2分 又 得即即， 4分 又当时，‎ 故数列是首项为2公比为2的等比数列，‎ 即. 6分 ‎（2）由（1）知，， 8分 记 得 ‎. 12分 ‎18. 解析：（1）酒精含量大于80的频率为，‎ 所以醉酒驾车的人数为：人； 4分 ‎（2）由分层抽样对应比例相同可知抽取8人做样本，则醉酒驾车人数为2人，所以的可能取值为 ‎ 6分 ‎， 8分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ 10分 数学期望值为： 12分 ‎19.‎ ‎（1）证明：平面平面，‎ ‎，‎ 又平面，‎ 平面平面平面. 4分 ‎（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，‎ 设，则 ‎， 6分 取，因为，所以为面的法向量，‎ 设，取，则， ‎ 即，取，则， 8分 依题意，则 10分 于是，‎ 设直线与平面所成角为，则. 12分 ‎20. 解析：（1）由题知， 2分 得？，‎ 又点在椭圆上，所以解得，‎ 又？，‎ 联立①:解得：，故所求椭圆的方程. 5分 ‎（2）易知直线的斜率不为0，可设直线的方程为：，‎ 由得：，‎ ‎， 7分 设内切圆的半径为的周长为，面积为，由椭圆的定义和，要使内切圆面积最大，只需要求的面积最大，‎ 的面积为：，‎ ‎，令 10分 ‎，当且公当即时取等号，此时 直线的方程为：. 12分 ‎21. 解：（1）由题意：，‎ 当时，‎ 故函数在区间上是增函数. 3分 ‎（2）由（1）知，当时，在单调递增 ‎∵ 5分 令，所以 ‎∵‎ ‎ 8分 ‎（3）由 即：又 则，单调递增；又 则必然存在，使得在单调递减，单调递增，‎ ‎∵‎ 则，又 ‎∵‎ 又，则 恒成立 10分 令 则 ‎∵在单调跌增 又 ‎∵在单调递增 ‎∵又为整数 ‎∵最小整数的值为：2. 12分 ‎22. 解：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 联立方程可求得的交点分别是，‎ 易知两点分别是曲线的左顶点和下顶点，故两点均在曲线上. 5分 ‎（2）设的坐标为，则点到直线的距离为 而的长度为，所以的面积为 故. 10分 ‎23. 解析：（1）由于 所以 5分 ‎（2）由已知，有，‎ 因为（当取等号），（当取等号），‎ 所以，即，‎ 故. 10分