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- 2021-06-23 发布
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2018年高考数学讲练测【江苏版】【讲】第七章 不等式
第04节 基本不等式及其应用
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
集合
一元二次不等式
√
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在表中分别用A、B、C表示).
了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题.
理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题.
掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.
线性规划
√
基本不等式
√
【直击考点】
题组一 常识题
1.函数y=x+(x>0)的最小值为________.
【解析】∵x>0,∴y=x+≥4,当且仅当x=,即x=2时取等号,故函数y=x+(x>0)的最小值为4.
2.一段长为40 m的篱笆围成一个矩形菜园,则菜园的最大面积是________.
【解析】设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2(x+y)=40,即x+y=20,∴ 矩形的面积S=xy≤=100,当且仅当x=y=10时,等号成立,此时菜园的面积最大,最大的面积是100 m2.
3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.
【解析】设两直角边长分别为a m,b m,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,即ab=4,∴ l=a+b+≥2+=4+2,当且仅当a=b=2时取等号,故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4+2)m.
4.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,若池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,则这个水池的最低造价为______元.
【解析】设水池的总造价为y元,池底长为x m,则宽为 m,由题意可得y=4×120+2×80=480+320≥480+320×2=480+320×2=1760,当且仅当x=,即x=2时,ymin=1760.
故当池底长为2 m时,这个水池的造价最低,最低造价为1760元.
题组二 常错题
5.若x>-1,则x+的最小值为________.
【解析】x+=x+1+-1≥4-1=3,当且仅当x+1=,即x=1时等号成立.
6.已知00.
∴-y=-lg x+≥2=4,
当且仅当-lg x=,即x=时,等号成立,
∴ymax=-4.
7. 函数y=sin x+,x∈的最小值为 _________________________.
【解析】当sin x=时,sin x=±2,显然等号取不到,事实上,设t=sin x,则t∈(0,1],y=t+在(0,1]上为减函数,故当t=1时,y取最小值5.
题组三 常考题
8. 设a>0,b>0.若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围是__________.
【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax,代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b,由方程组无解得1-ab=0且1-b≠0,所以ab=1且b≠1.由基本不等式得a+b>2=2,故a+b的取值范围是(2,+∞).
9.若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于________.
【解析】依题意有+=1,所以a+b=(a+b)·+=1+++1≥2+2 =4,当且仅当a=b=2时等号成立.10.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为________时,log2a·log2(2b)取得最大值.
【知识清单】
考点1利用基本不等式证明不等式
如果,那么(当且仅当时取等号“=”)
如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).
考点2 利用基本不等式求最值
常见结论:
1、 如果,那么(当且仅当时取等号“=”)
推论:()
2、 如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).
推论:(,);
3、
考点3 基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解.
(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
【考点深度剖析】
江苏新高考对不等式知识的考查要求较高,整个高中共有8个C能级知识点,本章就占了两个,高
考中以填空题和解答题的形式进行考查,涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想,着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查,如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.
基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点,在处理最值时是一种非常行之有效的工具,在使用时一定多观察所给代数式的形式,和基本不等式成立的条件.
【重点难点突破】
考点1利用基本不等式证明不等式
【1-1】不已知、、都是正数,求证:
【答案】∵a>0,b>0,c>0,
∴,
,
.
∴.
【1-2】已知a>0,b>0,c>0,求证:.
【1-3】已知a>0,b>0,a+b=1,求证:.
【解析】∵,,,
∴.同理,.∴
=,当且仅当,即时取“=”.
∴,当且仅当时等号成立.
【思想方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
【温馨提醒】
1. 在运用时,注意条件、均为正数,结合不等式的性质,进行变形.
2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时,三个式子才能相乘,最后答案才能取得等号.
3. 在利用基本不等式证明的过程中,常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.
考点2 利用基本不等式求最值
【2-1】若log2x+1og2y=1,则x+2y的最小值是________.
【答案】4
【解析】因为log2x+log2y=1,即log2xy=1,所以xy=2且x>0,y>0,于是x+2y≥2=4,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时取等号,所以x+2y的最小值为4.
【2-2】设,函数的最小值为 .
【答案】 9
【2-3】已知,则的最小值是 .
【答案】
【解析】由,得,即,亦即,且,从而,当且仅当,又,即,时,取得最小值,注意乘“1”法技巧的使用.
【2-4】若a>0,b>0,且a+b=2,则ab+的最小值为 .
【答案】2
【解析】由2=a+b≥2得00,y>0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是 .
【答案】2
【思想方法】
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.
注意:形如y=x+(a>0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的单调性求解.
【温馨提醒】
在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.
① 一正:函数的解析式中,各项均为正数;
② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;
③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.
若使用基本不等式时,等号取不到,可以通过“对勾函数”,利用单调性求最值.
考点3 基本不等式的实际应用
【3-1】要制作一个容器为4,高为的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元).
【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.
【3-2】如图,在三棱锥PABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥MPAB,三棱锥MPBC,三棱锥MPCA的体积.若f(M)=,且+≥8恒成立,则正实数a的最小值为________.
【答案】1
【3-3】如图,有一块等腰直角三角形的空地,要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地,已知,,绿地面积最大值为 .
【答案】
【解析】设,,由条件可知和为等直角三角形,所以,.=≥=,即≤4,所以,所以绿地面积最大值为4.
【3-4】某汽车运输公司,购买了一批豪华大巴投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润(万元)与营运年数满足,则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大?
【答案】5年
【解析】年平均利润为,
当x=5时,f(x)取得最大值,最大值为2万元.
【思想方法】
用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:
(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
【温馨提醒】
对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型,然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题.
【易错试题常警惕】
忽视最值取得的条件致误
典例 (1)已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________.
(2)函数y=1-2x-(x<0)的最小值为________.
易错分析 (1)多次使用基本不等式,忽略等号成立的条件.如:1=+≥2,∴≥2,∴x+y≥2≥4,得(x+y)min=4.
(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x+≥2.
【答案】(1)3+2 (2)1+2
【解析】(1)∵x>0,y>0,
温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;
(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.
[失误与防范]
1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.