数学文卷·2018届福建省永安第十二中学（永安三中高中部）高三上学期期中考试（2017 16页

永安三中（高中部）2017-2018学年第一学期期中考试卷 高三文科数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|x＞1}，则（　　）‎ A. {x|x≥-2}‎ B. {x|x＞-2}‎ C. {x|1＜x＜3}‎ D. {x|1＜x≤3}‎ ‎2.设i是虚数单位，若复数，则复数z的实部为（　　）‎ A. 1‎ B. -1‎ C. 2‎ D. -3‎ ‎3.“”是“=”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.已知a=21..3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. a＜c＜b B. b＜c＜a C. c＜b＜a ‎ D. c＜a＜b ‎5.函数的零点所在的大致区间是（　　）‎ A. （0，1）‎ B. （1，2）‎ C. （2，3）‎ D. （3，4）‎ ‎6.等差数列{an}中，若S9=9，则a4+a6=（　　）‎ A. 0‎ B. 1‎ C. 2‎ D. 3‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　） ‎ A. π B. 2π C. 4π D. 8π ‎8.已知，则的值为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9.如图，已知，，，AD=2DB，用表示为（　　） ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则下列有关f（x）性质的描述正确的是（　　）‎ A. B. ，k∈Z为其所有对称轴 C. ，k∈Z为其减区间 D. f（x）向左移可变为偶函数 ‎11.函数y=x+cosx的大致图象是（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎12.已知函数的图象关于轴对称，则f（x）在区间上的最大值为（　　）‎ A. 1‎ B. ‎ C. ‎ D. 2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13.已知向量，且，则实数k等于 ______ ．‎ ‎14.曲线在处的切线的斜率等于 ______ ．‎ ‎15.已知，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值是 ______ ．‎ ‎16.若方程有两个实数根，则k取值范围是 ______ ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知数列{an}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （II）记，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，． （1）求角A的大小； （2）若，求b+c的值．‎ ‎19. 2015年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表： ‎ 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 车流量x（万辆）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ PM2.5的浓度y（微克/立方米）‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎41‎ ‎49‎ ‎56‎ ‎62‎ ‎（1）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（提示数据：） （2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时PM2.5的浓度；（II）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中b＝，a＝－b.‎ ‎20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD． （Ⅰ）求证：AF∥平面PEC； （Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD． ‎ ‎21.已知函数（a∈R，且a≠0）． （1）讨论f（x）的单调区间； （2）若直线y=ax的图象恒在函数y=f（x）图象的上方，求a的取值范围．‎ ‎22. 请考生在第A、B两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的A题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22 (A)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与C交于P1，P2两点． （1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程； （2）已知Q（3，0），求的值． 22 (B)已知函数f（x）=|x+3|+|2x-4|． （1）当x∈[-3，3]时，解关于x的不等式f（x）＜6； （2）求证：t∈R，f（x）≥4-2t-t2． ‎ 永安三中（高中部）2017-2018学年第一学期期中考试卷高三文科数学参考答案 ‎【答案】‎ ‎1. B    2. C    3. A     4. D    5. C    6. C    7.  A  8.  D  9. C    10. D   11. B   12. A    ‎ ‎13. ‎ ‎14. 2‎ ‎15. 25‎ ‎16. （0，）‎ ‎17. 解：（Ⅰ）由题意可得2（a3+1）=a2+a4， 即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：a2=2． ∴a1==1． ∴数列{an}的通项公式为an=2n-1．………………………（6分） （Ⅱ）bn=an+log2an+1=2n-1+n， Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1） = =．………………………（12分）‎ ‎18. 解：（1）asinB=bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA， ∵B是三角形内角，∴sinB≠0， ∴tanA=，A是三角形内角， ∴A=．………………………（6分） （2）∵S=bcsinA=， ∴bc=2， 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得3=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-6， ∴b+c=3．………………………（12分）‎ ‎19. 解：（1）由数据可得：，，，‎ ‎，， 故y关于x的线性回归方程为． （2）（ⅰ）当车流量为12万辆时，即x=12时，． 故车流量为12万辆时，PM2.5的浓度为91微克/立方米． （II）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5， 故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．…（12分）‎ ‎20. 证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG， ∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD． ∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD． ∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形， ∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE， ∴AF∥平面PCE；………………………（6分） （Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD ∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC 由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC 又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．………………………（12分）‎ ‎21. 解：（1）f（x）的定义域为，且． ①当a＜0时，∵，∴ax＜-1，∴f'（x）＞0，函数在是增函数； ②当a＞0时，ax+1＞0，在区间上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0． 所以f（x）在区间上是增函数；在区间（0，+∞）上是减函数．…………（4分） ‎ ‎（2）令h（x）=ax-f（x），则． 问题转化为h（x）＞0恒成立时a的取值范围． 当a＜0时，取，则h（x）=2ae-3＜0，不合题意． 当a＞0时，h（x）=ax-f（x），则． 由于， 所以在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0． 所以h（x）的最小值为， 所以只需，即， 所以， 所以．………………………（12分）‎ ‎22（A）. 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ， 由得x2+y2=4x， 即C的直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4， ∵直线l的参数方程为：（t为参数）， ∴直线l消去参数t得直线l的普通方程为：．………………………（5分） （2）将直线l的参数方程代入x2+y2=4x，得：， 设P1，P2的对应参数分别为t1，t2，∴， 而（3-2）2+02＜4，即点Q（3，0）在圆C的内部， ∴．………………………（10分）‎ ‎(B). 解：（1）当-3≤x≤2时，f（x）=x+3-（2x-4）=-x+7， 故原不等式可化为-x+7＜6， 解得：x＞1，故1＜x≤2； ‎ 当2＜x≤3时，f（x）=x+3+（2x-4）=3x-1， 故原不等式可化为3x-1＜6，解得； 综上，可得原不等式的解集为．………………………（5分） （2）证明：， 由图象，可知f（x）≥5， 又因为4-2t-t2=-（t+1）2+5≤5， 所以f（x）≥4-2t-t2．………………………（10分）‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：A={x|x≤-2或x≥3}， 故∁UA={x|-2＜x＜3}，又B={x|x＞1}， 则（∁UA）∪B={x|x＞-2}， 故选：B． 求出A的补集，从而求出其和B的并集即可． 本题考查了集合的运算，考查补集，并集的定义，是一道基础题．‎ ‎2. 解：复数===2-i， 则复数z的实部为2． 故选：C． 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部的定义即可得出． ‎ 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3. 解：cosα=⇔α=2kπ±（k∈Z）， ∴“α=2kπ-（k∈Z）”是“cosα=”的充分不必要条件． 故选：A． cosα=⇔α=2kπ±（k∈Z），即可判断出结论． 本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4. 解：∵c=log38＜2＜a=21.3＜b=40.7=21.4， ∴c＜a＜b． 故选：D． 利用c=log38＜2＜a=21.3＜b=40.7=21.4，即可得出． 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5. 解：函数，函数是连续减函数， f（2）=ln2 -1＜0， f（3）= ln2＞0． 因为f（2）f（3）＜0， 所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）． 故选：C． 利用函数的零点判定定理推出结果即可． 本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．‎ ‎6. 解：（法一）设等差数列的首项为a1 由等差数列的前n项和可得 所以a1+a9=2 又因为a4+a6=a1+a9 所以a4+a6=2 （法二）设等差数列的公差d，首项为a1 ‎ ‎∵⇒a1+4d=1 ∴a4+a6=a1+3d+a1+5d=2（a1+4d）=2 故选 C （法一）用公式，解a1+a9=2，利用性质可得a4+a6=a1+a9=2 （法二）用公式，解得a1+4d=1，而a4+a6=2（a1+4d）=2 本题主要考查了等差数列的性质及前n项和公式的综合运用，由于等差数列的和公式有两个表达形式，合理的选择公式是解决问题的关键，其中（法一）是利用公式，整体代入可求a1+a9的值，然后运用等差数列的性质m+n=p+q，则an+am=ap+aq；（法二）利用等差数列的和公式，利用整体思想求解 ‎7. 解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2． 体积V==π． 故选：A． 由三视图可知，该几何体为底面半径直径为2，高为2的圆柱的一半，求出体积即可． 本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．‎ ‎8. 解：=--=--=--（-）=--=--， 故选：D 根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义即可求出 本题考查了向量的加减运算和向量的数乘运算，属于基础题．‎ ‎9. 解：∵，∴ 故选：C． 直接由三角函数的诱导公式化简及二倍角公式得答案． 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式，二倍角公式是基础题．‎ ‎10.解：观察图象可得，函数的最小值-1，所以A=1， ∵==，∴T=π， 根据周期公式可得，ω=2， ∴f（x）=sin（2x+φ）， 又函数图象过（，-1）代入可得sin（+φ）=-1， ∵0＜φ＜π，∴φ=， ∴f（x）=sin（2x+）， ∴f（x）向左移，为g（x）=cos2x，是偶函数． 故选D． 观察图象由最值求A，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出φ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 本题主要考查了由函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求φ，属于中档题．‎ ‎11. 解：由于f（x）=x+cosx， ∴f（-x）=-x+cosx， ∴f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x）， 故此函数是非奇非偶函数，排除A、C； 又当x=时，x+cosx=x， 即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D． 故选：B． 先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断． 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．‎ ‎12. 解：f（x）=sin（2x-φ）-cos（2x-φ）=2sin（2x-φ-）， ∵f（x）图象关于y轴对称， ∴φ+=， ‎ ‎∴φ=， ∴f（x）=2sin（2x-）=-2cos2x， ∵x∈， ∴函数f（x）在[-，0]上递减，在[0，]上单调递增， ∴f（-）=-2cos（-）=-1，f（）=-2cos=1， ∴f（x）在区间上的最大值为1， 故选：A 先化简f（x），再根据函数的图象关于y轴对称，求出φ的值，再根据余弦函数的图象求出最值 本题考查了三角函数的化简，以及余弦函数的性质，属于中档题 ‎13. 解：根据题意，向量=（k，k+1），=（1，-2）， 若∥，则有（-2）×k=k+1， 解可得k=； 故答案为：． 根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得∥，则有（-2）×k=k+1，解可得k的值，即可得答案． 本题考查向量平行的坐标表示，注意要掌握向量平行的坐标表示方法．‎ ‎14. 解：对f（x）求导数，得f'（x）=1×sinx+xcosx-（-snx）=2sinx+xcosx ∴f'（）=2sin+cos=2 即曲线f（x）=x•sinx-cosx在x=处的切线的斜率k=f'（）=2 故答案为：2 根据导数公式，算出函数的导数f'（x），从而得到f'（）=2，即为曲线f（x）=x•sinx-cosx在x=处的切线的斜率． 本题给出一个函数，求函数图象在x=处的切线的斜率，考查了导数公式、导的运算法则和导数的几何意义等知识，属于基础题．‎ ‎15. 解：∵=1，且x＞0，y＞0， ∴x+y=（）（x+y） ‎ ‎=13++≥13+2=25 当且仅当=即x=10且y=15时取等号． 故选答案为：25． 由题意可得x+y=（）（x+y）=13++，由基本不等式可得． 本题考查基本不等式求最值，“1”的整体代换是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎16. 解：方程kx-lnx=0有两个实数根可化为 函数y=kx与函数y=lnx有两个不同的交点， 作函数y=kx与函数y=lnx的图象如下， 结合图象知， 当直线与y=lnx相切时，设切点为（x，lnx）； 故=； 故x=e； 故直线的斜率k=； 故k的取值范围为（0，）． 故答案为：（0，）． 方程kx-lnx=0有两个实数根可化为函数y=kx与函数y=lnx有两个不同的交点，作函数的图象求解． 本题考查了方程的根与函数的图象的应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．‎ ‎17. （ I）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，由公比为2，把a3、a4用a2表示，求得a2，进一步求出a1，数列{an}的通项公式． （Ⅱ）利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．‎ ‎18. （1）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可． （2）由三角形的面积公式求出ab=2，再根据余弦定理即可求出b+c的值． 本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎19. 【解析】‎ ‎（1）求回归系数，即可求y关于x的线性回归方程； （2）（I）当车流量为12万辆时，即x=12时，；（II）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，可得结论． 本题考查回归方程，考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎20. （Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE； （Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD． 本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．‎ ‎21. （1）求出函数的定义域，求出导函数，根据导函数讨论参数a，得出函数的单调区间； （2）构造函数令h（x）=ax-f（x），则．问题转化为h（x）＞0恒成立时a的取值范围．对参数a进行分类讨论，利用导函数得出函数的最值即可． 本题考查了导函数的综合应用，难点是对参数的分类讨论和构造函数，把恒成立问题转换为最值问题．‎ ‎22(A). （1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2=4ρcosθ，由能求出曲线C的直角坐标方程，直线l消去参数t得能求出直线l的直角坐标方程． （2）将直线l的参数方程代入x2+y2=4x，得：，再由点Q（3，0）在圆C的内部，能求出||P1Q|-|P2Q||的值． 本题考查曲线的直线坐标方程、直线的普通方程的求法，考查两线段的之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直线坐标互化公式的合理运用．‎ ‎22(B). （1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可； ‎ ‎（2）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于t的不等式，证出即可． 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．‎