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  • 2021-06-23 发布

高中数学讲义微专题67 圆锥曲线的性质

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微专题 67 圆锥曲线的性质 一、基础知识 (一)椭圆: 1、定义和标准方程: (1)平面上到两个定点 的距离和为定值(定值大于 )的点的轨迹称为椭圆,其中 称为椭圆的焦点, 称为椭圆的焦距 (2)标准方程: ① 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 : 设 椭 圆 上 一 点 , , 设 距 离 和 ,则椭圆的标准方程为: ,其中 ② 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 : 设 椭 圆 上 一 点 , , 设 距 离 和 ,则椭圆的标准方程为: ,其中 焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大 2、椭圆的性质:以焦点在 轴的椭圆为例: (1) :与长轴的顶点有关: , 称为长轴长 :与短轴的顶点有关: , 称为短轴长 :与焦点有关: , 称为焦距 (2)对称性:椭圆关于 轴, 轴对称,且关于原点中心对称 (3)椭圆上点的坐标范围:设 ,则 (4)通径:焦点弦长的最小值 ① 焦点弦:椭圆中过焦点的弦 ② 过焦点且与长轴垂直的弦 说 明 : 假 设 过 , 且 与 长 轴 垂 直 , 则 , 所 以 1 2,F F 1 2F F 1 2,F F 1 2F F x  ,P x y    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1x y a b   2 2 20,a b b a c    y  ,P x y    1 20, , 0,F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1y x a b   2 2 20,a b b a c    x   2 2 2 2 1 0x y a ba b    a    1 2,0 , ,0A a A a 1 2 2A A a b    1 20, , 0,B b B b 1 2 2B B b c    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2F F c x y  0 0,P x y 0 0,a x a b y b      22bPQ a PQ  1 ,0F c    0 0, , ,P c y Q c y   ,可得 。则 (5)离心率: ,因为 ,所以 (6)焦半径公式:称 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ① 设椭圆上一点 ,则 (可记为“左加右减”) ② 焦半径的最值:由焦半径公式可得:焦半径的最大值为 ,最小值为 (7)焦点三角形面积: (其中 ) 证明: 且 因为 ,所以 ,由此得到的推论: ① 的大小与 之间可相互求出 ② 的最大值: 最大 最大 最大 为短轴顶点 (二)双曲线: 1、定义:平面上到两个定点 距离差的绝对值为一个常数(小于 )的点的轨迹称 为双曲线,其中 称为椭圆的焦点, 称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点 距离差为一个常数,则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 2 2 4 20 02 2 21c y bya b a    2 0 by a 22bPQ a ce a c a  0,1e P  0 0,P x y 1 0 2 0,PF a ex PF a ex    a c a c 1 2 2 tan 2PF FS b  1 2PF F   1 2 1 2 1 2 1 sin2PF FS PF PF F PF  2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cosF F PF PF PF PF F PF      2 1 2 1 2 1 22 1 cosPF PF PF PF F PF     2 2 1 2 1 24 4 2 1 cosc a PF PF F PF    2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 cos 1 cos a c bPF PF F PF F PF     1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2sin sin2 2 1 cosPF F bS PF PF F PF F PFPF F     2 21 2 1 2 1 2 sin tan1 cos 2 F PF F PFb bF PF   1 2 0 0 1 22PF FS c y c y     2 1 2 0tan 2 F PFb c y  1 2F PF 0y 1 2F PF 1 2F PF  1 2PF FS  0y  P 1 2,F F 1 2F F 1 2,F F 1 2F F 1 2,F F ① 焦 点 在 轴 : 设 双 曲 线 上 一 点 , , 设 距 离 差 的 绝 对 值 ,则双曲线标准方程为: ,其中 ② 焦 点 在 轴 : 设 双 曲 线 上 一 点 , , 设 距 离 差 的 绝 对 值 ,则双曲线标准方程为: ,其中 焦点在哪个轴上,则对应字母作为被减数 2、双曲线的性质:以焦点在 轴的双曲线为例: (1) :与实轴的顶点有关: , 称为实轴长 :与虚轴的顶点有关: , 称为虚轴长 :与焦点有关: , 称为焦距 (2)对称性:双曲线关于 轴, 轴对称,且关于原点中心对称 (3)双曲线上点坐标的范围:设 ,则有 或 , (4)离心率: ,因为 ,所以 (5)渐近线:当 或 时,双曲线在向两方无限延伸时,会向某条直线无限靠 近,但不相交,则称这条直线为曲线的渐近线。 ① 双曲线渐近线的求法:无论双曲线的焦点位于哪条轴上,只需让右侧的 1 变为 0,再解出 关于 的直线即可。例如在 中,求渐近线即解: ,变 形为 ,所以 即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点:直线 所围成的矩形,其对角线即为双曲线 的渐近线 ③ 渐近线的作用:一是可以辅助作出双曲线的图像;二是渐近线的斜率也能体现 的关 系。 (6)通径: x  ,P x y    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1x y a b   2 2 20, 0,a b b c a    y  ,P x y    1 20, , 0,F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1y x a b   2 2 20, 0,a b b c a    x   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    a    1 2,0 , ,0A a A a 1 2 2A A a b    1 20, , 0,B b B b 1 2 2B B b c    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2F F c x y  0 0,P x y 0x a  0x a 0y R ce a c a  1,e  x   x   y x   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    2 2 2 2 0x y a b  by xa  by xa  , , ,x a x a y b y b      , ,a b c ① 内弦:双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦:双曲线两支上各取一点连成的线段 ②通径:过双曲线焦点的内弦中长度的最小值,此时弦 轴, (7)焦半径公式:设双曲线上一点 ,左右焦点分别为 ,则 ① (可记为“左加右减”) ② 由焦半径公式可得:双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点,距离为 ( 8 ) 焦 点 三 角 形 面 积 : 设 双 曲 线 上 一 点 , 则 ( 其 中 ) (三)抛物线: 1、定义:平面内到一定点的距离等于到一条定直线(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹 为抛物线 2、抛物线的标准方程及焦点位置: (1)焦点在 轴正半轴: ,焦点坐标 (2)焦点在 轴负半轴: ,焦点坐标 (3)焦点在 轴正半轴: ,焦点坐标 (4)焦点在 轴负半轴: ,焦点坐标 小结:通过方程即可判断出焦点的位置与坐标:那个字母是一次项,则焦点在哪条轴上;其 坐标为一次项系数除以 4,例如: ,则焦点在 轴上,且坐标为 3、焦半径公式:设抛物线 的焦点为 , ,则 4、焦点弦长:设过抛物线 焦点的直线与抛物线交于 , 则 ( ,再由焦半径公式即可得到) 二、典型例题: PQ x 22bPQ a  0 0,P x y 1 2,F F 1 0 2 0,PF a ex PF a ex    c a  0 0,P x y 1 2 2 cot 2PF FS b  1 2PF F   x  2 2 0y px p  ,02 p     x  2 2 0y px p   ,02 p    y  2 2 0x py p  0, 2 p     y  2 2 0x py p   0, 2 p    2 4x y y  0,1  2 2 0y px p  F  ,A x y 2 pAF x   2 2 0y px p     1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2AB x x p   AB AF BF  例 1:已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦点到 其渐近线的距离等于( ) A. B. C. D. 思路:先从常系数方程入手,抛物线 的焦点为 ,即双曲线中的 ,所以 ,从而双曲线方程为: ,其渐近线方程: ,由对称 性可得焦点到两渐近线的距离相等,不妨选择 ,右焦点 ,所以 答案:A 小炼有话说:(1)一道题含多个圆锥曲线方程,往往以某些特殊点(焦点,顶点)为桥梁联 接这些方程,在处理时通常以其中一个曲线方程(不含参)为入手点,确定特殊点的坐标, 进而解出其他圆锥曲线的要素 答案:A 例 2: 已知双曲线 的实轴长为 ,虚轴的一个端点与抛物线 的焦点重合,直线 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行, 则 ( ) A. B. C. D. 思路:本题涉及圆锥曲线和字母较多,所以首先要确定核心变量,从所求出发可尝试以 作 为 核 心 变 量 , 抛 物 线 的 焦 点 为 , 所 以 可 得 , 因 为 ,所以双曲线方程为 ,可求得渐近线方程为 , 不妨设 与 平行,则有 。从相切可想到与抛物线联立消元后的 2 2 2 14 x y b  2 12y x 5 4 2 3 5 2 12y x  3,0 3c  2 2 2 5b c a   2 2 14 5 x y  5 2y x  : 5 2 0l x y   2 3,0F    2 2 2 3 5 5 5 2 F ld        2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    4 2  2 2 0x py p  1y kx  p  4 3 2 1 p 2 2x py 0, 2 p     2 pb  2 4 2 2 2a a   2 2 2 4 18 x y p  4 2 py x  1y kx  4 2 py x 4 2 pk  方 程 : , 所 以 解 得 答案:A 例 3 : 如 图 , 是 椭 圆 与 双 曲 线 的公共焦点,将 的离心 率分别记为 ,点 是 在第一象限的公共点,若 的一条渐近线是线段 的中垂线,则 ( ) A. B. C. D. 思 路 : 椭 圆 与 双 曲 线 共 焦 点 , 所 以 有 , 所 求 表 达 式 , 本 题 与 焦 半 径 相 关 , 所 以 考 虑 。结合 的中点与 的中点可得双曲线的渐近线与 平行,从而 ,所以有 ,联系上面条件可得: , 所 以 答案:A 例 4:已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点, 的 一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点,若 恰好将线段 三等分,则( ) A. B. C. D. 0  2 2 2 1 2 04 2 2 22 py x px x p x py          2 8 0 2 2 p p        4p  1 2,F F   2 2 1 2 2: 1 0x yC m nm n      2 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b    1 2,C C 1 2,e e A 1 2,C C 2C 1AF 2 2 1 2 1 1 e e  2 5 2 7 2 4 2 2 2 2 2c m n a b    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 m a m a e e c c c     1 2 1 22 , 2AF AF m AF AF a    1AF 1 2F F 2AF 1 2AF AF 2 2 2 2 1 2 1 2 4AF AF F F c      2 22 22 2 2 1 2 1 2 1 2 14 2 22c AF AF AF AF AF AF m a          2 2 2 2 2 1 2 1 1 2m a e e c      2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b    2 2 2 : 14 yC x   2C 1C ,A B 1C AB 2 13 2a  2 13a  2 1 2b  2 2b  思路:因为 有公共焦点,所以通过 可得 ,从而 ,圆的 直径为 ,所以 截椭圆的弦长为 。由双曲线得 ,进而与椭圆方程联立, 再利用弦长公式即可得到关于 (或 )的方程,解方程即可 解:通过 可得 , 不妨设 ,则 ,所以 利用弦长公式可得 又因为 解得: ,故选 C 答案:C 例 5:(2014,山东,10)已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方程 是 , 与 的离心率之积为 ,则 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 思路:要想求渐近线方程,关键在 的比值,所以将两个离心率均用 表示,再利用乘积 为 即可得到 关系,进而求出渐近线方程 解:设曲线 的离心率分别为 ,则 即 因为双曲线的渐近线方程为: ,代入可得: 1 2,C C 2C    1 25,0 , 5,0F F 5c  2a AB 2 3 a : 2AB y x a b 2C    1 25,0 , 5,0F F 5c  : 2AB y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 242 b x a y a b a bx a by x       2 24 abx a b    2 1 2 2 2 2 5 21 2 34 abd x x a a b       2 2 2 5a b c   2 2 2 2 2 5 2 34 5 ab a a b a b       2 2 11 2 1 2 a b     0a b  1C 2 2 2 2 1x y a b  2C 2 2 2 2 1x y a b  1C 2C 3 2 2C 2 0x y  2 0x y  2 0x y  2 0x y  ,a b ,a b 3 2 ,a b 1 2,C C 1 2,e e 2 2 2 2 1 2,c a b c a be ea a a a      2 2 2 2 4 4 1 2 2 3 2 a b a b a be e a a a        1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 4 4 4 2 a b b b a a a           by xa  2 2 02y x x y     答案:A 小炼有话说:本题在设计上利用椭圆和双曲线中 的求法不同,从而使得两条曲线在 相同 的情况下,离心率的乘积中含有平方差公式的特点,从而简化运算,较易得出 关系 例 6:椭圆 和双曲线 的公共焦点为 , 是两曲线的一个交点,那么 的值是( ) A. B. C. D. 思路:所求 既是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义 可得: , ,由此联想到两个式子的完全平方公式,进而 可求出 ,则 答案:B 例 7:已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合,抛物线的 准线与 轴的交点为 ,点 在抛物线上且 ,则 点的横坐标为( ) A. B. C. D. 思路:因为两条曲线的焦点重合,所以可用双曲线计算出焦点的坐标 ,所以 ,进而可确定抛物线方程: ,以及准线方程 : 。所以 , 设 点横坐标为 ,则 ,所以 ,由焦半径公式可得: , 所 以 , 即 ,可解得: 答案:B 例 8:设 为双曲线 的左焦点,在 轴上 点的右侧有一点 ,以 为直径的 圆与双曲线左,右两支在 轴上方的交点分别为 ,则 的值为( ) c ,a b ,a b   2 2 2 2 1 0x y m nm n      2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,F F P 1 2PF PF m a 2 2m a 2 m a m a 1 2,PF PF 1 2 2PF PF a  1 2 2PF PF m  1 2PF PF    2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4PF PF PF PF PF PF m a          2 2 0y px p  F 2 2 14 5 x y  x K A 2AK AF A 2 2 3 2 3 4 2 4 5 9c     3,0F 2 12y x l 3x    3,0K  A x  , 12A x x   22 3 12AK x x      32 pAF x x    2 22 2AK AF AK AF      2 23 12 2 3x x x    3x  F 2 2 116 9 x y  x F A FA x ,M N FN FM FA  A. B. C. D. 思路:因为所求分式涉及到三条线段长度,若直接用距离公式则异常复杂,所以考虑时刻简 化 计 算 , 首 先 由 联 想 到 焦 半 径 公 式 , 设 , 则 有 , , 所 以 , 设 , 由 双 曲 线 可 知 , 则 的 中 点 ,圆半径 ,所以圆方程为: ,整理后 可得: ,因为 的值与 相关,所以考虑联 立 圆 和 双 曲 线 方 程 : 消 去 可 得 : , 所 以 , 代 入 可 得 : ,因为 ,所以原式的值为 答案:D 小炼有话说:本题可发现无论 的位置如何,从选项上来看 应该为定值,故可 以利用特殊位置,比如 为右焦点时,便可轻松得到答案:由对称性可得 , 且 ,所以 例 9:如图,从双曲线 的左焦点 引圆 的切线,切点 为 , 延 长 交 双 曲 线 右 支 于 点 , 若 为 线 段 的 中 点 , 为 坐 标 原 点 , 则 的值为__________(用含 的表达式表示) 思路:首先要将 向 靠拢,因为 与圆切于 ,连结 ,可知 ,且 为直角三角形, 2 5 5 2 5 4 4 5 ,FM FN    1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 1MF a ex ex a     2 2NF a ex ex a     1 2 2FN FM e x x a     ,0A m  5,0F  FA 5,02 mC      5 2 mr  2 2 25 5 2 2 m mx y              2 25 5 0x m x y m     FN FM  1 2x x  2 2 2 2 5 5 0 116 9 x m x y m x y          y  225 5 9 5 016 x m x m       1 2 16 5 25 mx x   FN FM    16 5 4 55 84 25 5 m mFN FM       5FA m  4 5 A FN FM FA  A 2 8FN FM a   2 10FA c  2 4 2 5 FN FM a FA c      2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    F 2 2 2x y a  T FT P M FP O MO MT ,a b ,MO MT ,a b PF T OT OT r a  FOT , 从 而 , 进 而 ,在寻找 ,因为 为线段 的中点,且由双曲线性 质得 为 的中点,所以连结 ,则由中位线性质可得 ,而 恰好是 另一焦半径。所以 ,由双曲线定 义可得: ,从而 答案: 小炼有话说:(1)题目中遇到中点问题,除了已知条件外,在椭圆和双曲线中还要注意“原 点也是两焦点的中点”这一隐藏条件 (2)在椭圆与双曲线中,因为两条焦半径存在几何关系(和差与 相关),所以题中出现一条 焦半径时,常见的辅助线是连出另一条焦半径。 例 10:如图,椭圆 ,圆 , 椭圆的左右焦点分别为 ,过椭圆上一点 和原点 作直线 交 圆 于 两 点 , 若 , 则 的 值 为 __________ 思路:本题很难直接求出 的值,从而考虑将其视为整体,进行转化:从图上可得: , 从 而 , 所 以 只 需 确 定 即 可 , 设 , 即 ,已知 ,则需利用好 ,想到焦半径公式:则 , 所 以 , 所 以 , 即 , 所 以 答案: OF c 2 2 2 2FT OF OT c a b     1 2MT FM FT PF b    MO M FP O 'FF 'PF '1 2OM PF 'PF  ' '1 1 1 2 2 2MO MT PF PF b b PF PF          ' 2PF PF a  MO MT b a   b a a   2 2 2: 1 24 x yC aa    2 2 2: 4O x y a   1 2,F F P O l O ,M N 1 2 6PF PF  PM PN ,PM PN ,PM OM OP r OP PN ON OP r OP        2 22 2 4PM PN r OP a OP      2OP  ,P x y 2 2 2OP x y  2 2 2 14 x y a   1 2 6PF PF  1 2,PF a ex PF a ex    2 2 2 1 2 6PF PF a e x    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 44 4 4x a cx y x x xa a a         2 2 2 2 24 2x y e x a     6PM PN  6

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