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- 2021-06-23 发布
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微专题 67 圆锥曲线的性质
一、基础知识
(一)椭圆:
1、定义和标准方程:
(1)平面上到两个定点 的距离和为定值(定值大于 )的点的轨迹称为椭圆,其中
称为椭圆的焦点, 称为椭圆的焦距
(2)标准方程:
① 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 : 设 椭 圆 上 一 点 , , 设 距 离 和
,则椭圆的标准方程为: ,其中
② 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 : 设 椭 圆 上 一 点 , , 设 距 离 和
,则椭圆的标准方程为: ,其中
焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大
2、椭圆的性质:以焦点在 轴的椭圆为例:
(1) :与长轴的顶点有关: , 称为长轴长
:与短轴的顶点有关: , 称为短轴长
:与焦点有关: , 称为焦距
(2)对称性:椭圆关于 轴, 轴对称,且关于原点中心对称
(3)椭圆上点的坐标范围:设 ,则
(4)通径:焦点弦长的最小值
① 焦点弦:椭圆中过焦点的弦
② 过焦点且与长轴垂直的弦
说 明 : 假 设 过 , 且 与 长 轴 垂 直 , 则 , 所 以
1 2,F F 1 2F F
1 2,F F 1 2F F
x ,P x y 1 2,0 , ,0F c F c
1 2 2PF PF a
2 2
2 2 1x y
a b 2 2 20,a b b a c
y ,P x y 1 20, , 0,F c F c
1 2 2PF PF a
2 2
2 2 1y x
a b 2 2 20,a b b a c
x
2 2
2 2 1 0x y a ba b
a 1 2,0 , ,0A a A a 1 2 2A A a
b 1 20, , 0,B b B b 1 2 2B B b
c 1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2F F c
x y
0 0,P x y 0 0,a x a b y b
22bPQ a
PQ 1 ,0F c 0 0, , ,P c y Q c y
,可得 。则
(5)离心率: ,因为 ,所以
(6)焦半径公式:称 到焦点的距离为椭圆的焦半径
① 设椭圆上一点 ,则 (可记为“左加右减”)
② 焦半径的最值:由焦半径公式可得:焦半径的最大值为 ,最小值为
(7)焦点三角形面积: (其中 )
证明:
且
因为 ,所以 ,由此得到的推论:
① 的大小与 之间可相互求出
② 的最大值: 最大 最大 最大 为短轴顶点
(二)双曲线:
1、定义:平面上到两个定点 距离差的绝对值为一个常数(小于 )的点的轨迹称
为双曲线,其中 称为椭圆的焦点, 称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点
距离差为一个常数,则轨迹为双曲线的一支
2、标准方程:
2 2 4
20
02 2 21c y bya b a
2
0
by a
22bPQ a
ce a c a 0,1e
P
0 0,P x y 1 0 2 0,PF a ex PF a ex
a c a c
1 2
2 tan 2PF FS b 1 2PF F
1 2 1 2 1 2
1 sin2PF FS PF PF F PF
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 cosF F PF PF PF PF F PF
2
1 2 1 2 1 22 1 cosPF PF PF PF F PF
2 2
1 2 1 24 4 2 1 cosc a PF PF F PF
2 2 2
1 2
1 2 1 2
2 2 2
1 cos 1 cos
a c bPF PF F PF F PF
1 2
2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 2sin sin2 2 1 cosPF F
bS PF PF F PF F PFPF F
2 21 2 1 2
1 2
sin tan1 cos 2
F PF F PFb bF PF
1 2 0 0
1 22PF FS c y c y
2 1 2
0tan 2
F PFb c y
1 2F PF 0y
1 2F PF 1 2F PF 1 2PF FS 0y P
1 2,F F 1 2F F
1 2,F F 1 2F F 1 2,F F
① 焦 点 在 轴 : 设 双 曲 线 上 一 点 , , 设 距 离 差 的 绝 对 值
,则双曲线标准方程为: ,其中
② 焦 点 在 轴 : 设 双 曲 线 上 一 点 , , 设 距 离 差 的 绝 对 值
,则双曲线标准方程为: ,其中
焦点在哪个轴上,则对应字母作为被减数
2、双曲线的性质:以焦点在 轴的双曲线为例:
(1) :与实轴的顶点有关: , 称为实轴长
:与虚轴的顶点有关: , 称为虚轴长
:与焦点有关: , 称为焦距
(2)对称性:双曲线关于 轴, 轴对称,且关于原点中心对称
(3)双曲线上点坐标的范围:设 ,则有 或 ,
(4)离心率: ,因为 ,所以
(5)渐近线:当 或 时,双曲线在向两方无限延伸时,会向某条直线无限靠
近,但不相交,则称这条直线为曲线的渐近线。
① 双曲线渐近线的求法:无论双曲线的焦点位于哪条轴上,只需让右侧的 1 变为 0,再解出
关于 的直线即可。例如在 中,求渐近线即解: ,变
形为 ,所以 即为双曲线的渐近线
② 渐近线的几何特点:直线 所围成的矩形,其对角线即为双曲线
的渐近线
③ 渐近线的作用:一是可以辅助作出双曲线的图像;二是渐近线的斜率也能体现 的关
系。
(6)通径:
x ,P x y 1 2,0 , ,0F c F c
1 2 2PF PF a
2 2
2 2 1x y
a b 2 2 20, 0,a b b c a
y ,P x y 1 20, , 0,F c F c
1 2 2PF PF a
2 2
2 2 1y x
a b 2 2 20, 0,a b b c a
x
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
a 1 2,0 , ,0A a A a 1 2 2A A a
b 1 20, , 0,B b B b 1 2 2B B b
c 1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2F F c
x y
0 0,P x y 0x a 0x a 0y R
ce a c a 1,e
x x
y
x
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
2 2
2 2 0x y
a b
by xa by xa
, , ,x a x a y b y b
, ,a b c
① 内弦:双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦:双曲线两支上各取一点连成的线段
②通径:过双曲线焦点的内弦中长度的最小值,此时弦 轴,
(7)焦半径公式:设双曲线上一点 ,左右焦点分别为 ,则
① (可记为“左加右减”)
② 由焦半径公式可得:双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点,距离为
( 8 ) 焦 点 三 角 形 面 积 : 设 双 曲 线 上 一 点 , 则 ( 其 中
)
(三)抛物线:
1、定义:平面内到一定点的距离等于到一条定直线(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹
为抛物线
2、抛物线的标准方程及焦点位置:
(1)焦点在 轴正半轴: ,焦点坐标
(2)焦点在 轴负半轴: ,焦点坐标
(3)焦点在 轴正半轴: ,焦点坐标
(4)焦点在 轴负半轴: ,焦点坐标
小结:通过方程即可判断出焦点的位置与坐标:那个字母是一次项,则焦点在哪条轴上;其
坐标为一次项系数除以 4,例如: ,则焦点在 轴上,且坐标为
3、焦半径公式:设抛物线 的焦点为 , ,则
4、焦点弦长:设过抛物线 焦点的直线与抛物线交于 ,
则 ( ,再由焦半径公式即可得到)
二、典型例题:
PQ x
22bPQ a
0 0,P x y 1 2,F F
1 0 2 0,PF a ex PF a ex
c a
0 0,P x y 1 2
2 cot 2PF FS b
1 2PF F
x 2 2 0y px p ,02
p
x 2 2 0y px p ,02
p
y 2 2 0x py p 0, 2
p
y 2 2 0x py p 0, 2
p
2 4x y y 0,1
2 2 0y px p F ,A x y 2
pAF x
2 2 0y px p 1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2AB x x p AB AF BF
例 1:已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦点到
其渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
思路:先从常系数方程入手,抛物线 的焦点为 ,即双曲线中的 ,所以
,从而双曲线方程为: ,其渐近线方程: ,由对称
性可得焦点到两渐近线的距离相等,不妨选择 ,右焦点 ,所以
答案:A
小炼有话说:(1)一道题含多个圆锥曲线方程,往往以某些特殊点(焦点,顶点)为桥梁联
接这些方程,在处理时通常以其中一个曲线方程(不含参)为入手点,确定特殊点的坐标,
进而解出其他圆锥曲线的要素
答案:A
例 2: 已知双曲线 的实轴长为 ,虚轴的一个端点与抛物线
的焦点重合,直线 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,
则 ( )
A. B. C. D.
思路:本题涉及圆锥曲线和字母较多,所以首先要确定核心变量,从所求出发可尝试以 作
为 核 心 变 量 , 抛 物 线 的 焦 点 为 , 所 以 可 得 , 因 为
,所以双曲线方程为 ,可求得渐近线方程为 ,
不妨设 与 平行,则有 。从相切可想到与抛物线联立消元后的
2 2
2 14
x y
b 2 12y x
5 4 2 3 5
2 12y x 3,0 3c
2 2 2 5b c a
2 2
14 5
x y 5
2y x
: 5 2 0l x y 2 3,0F
2 2 2
3 5
5
5 2
F ld
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b 4 2
2 2 0x py p 1y kx
p
4 3 2 1
p
2 2x py 0, 2
p
2
pb
2 4 2 2 2a a
2 2
2
4 18
x y
p
4 2
py x
1y kx
4 2
py x
4 2
pk
方 程 : , 所 以 解 得
答案:A
例 3 : 如 图 , 是 椭 圆 与 双 曲 线
的公共焦点,将 的离心
率分别记为 ,点 是 在第一象限的公共点,若
的一条渐近线是线段 的中垂线,则 ( )
A. B. C. D.
思 路 : 椭 圆 与 双 曲 线 共 焦 点 , 所 以 有 , 所 求 表 达 式
, 本 题 与 焦 半 径 相 关 , 所 以 考 虑
。结合 的中点与 的中点可得双曲线的渐近线与
平行,从而 ,所以有 ,联系上面条件可得:
, 所 以
答案:A
例 4:已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点, 的
一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点,若 恰好将线段 三等分,则( )
A. B. C. D.
0
2
2
2
1
2 04 2
2 22
py x px x p
x py
2
8 0
2 2
p p
4p
1 2,F F
2 2
1 2 2: 1 0x yC m nm n
2 2
2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b 1 2,C C
1 2,e e A 1 2,C C 2C
1AF 2 2
1 2
1 1
e e
2 5
2
7
2 4
2 2 2 2 2c m n a b
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 2
1 1 m a m a
e e c c c
1 2 1 22 , 2AF AF m AF AF a 1AF 1 2F F
2AF 1 2AF AF 2 2 2 2
1 2 1 2 4AF AF F F c
2 22 22 2 2
1 2 1 2 1 2
14 2 22c AF AF AF AF AF AF m a
2 2
2 2 2
1 2
1 1 2m a
e e c
2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b
2
2
2 : 14
yC x 2C
1C ,A B 1C AB
2 13
2a 2 13a 2 1
2b 2 2b
思路:因为 有公共焦点,所以通过 可得 ,从而 ,圆的
直径为 ,所以 截椭圆的弦长为 。由双曲线得 ,进而与椭圆方程联立,
再利用弦长公式即可得到关于 (或 )的方程,解方程即可
解:通过 可得 ,
不妨设 ,则 ,所以
利用弦长公式可得
又因为 解得: ,故选 C
答案:C
例 5:(2014,山东,10)已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方程
是 , 与 的离心率之积为 ,则 的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
思路:要想求渐近线方程,关键在 的比值,所以将两个离心率均用 表示,再利用乘积
为 即可得到 关系,进而求出渐近线方程
解:设曲线 的离心率分别为 ,则
即
因为双曲线的渐近线方程为: ,代入可得:
1 2,C C 2C 1 25,0 , 5,0F F 5c
2a AB 2
3
a : 2AB y x
a b
2C 1 25,0 , 5,0F F 5c
: 2AB y x
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 242
b x a y a b a bx a by x
2 24
abx
a b
2
1 2 2 2
2 5 21 2 34
abd x x a
a b
2 2 2 5a b c 2 2
2 2
2 5 2
34
5
ab a
a b
a b
2
2
11
2
1
2
a
b
0a b 1C
2 2
2 2 1x y
a b 2C
2 2
2 2 1x y
a b 1C 2C 3
2 2C
2 0x y 2 0x y 2 0x y 2 0x y
,a b ,a b
3
2 ,a b
1 2,C C 1 2,e e
2 2 2 2
1 2,c a b c a be ea a a a
2 2 2 2 4 4
1 2 2
3
2
a b a b a be e a a a
1
4 4 4 4
4 4
3 1 1 2
4 4 4 2
a b b b
a a a
by xa 2 2 02y x x y
答案:A
小炼有话说:本题在设计上利用椭圆和双曲线中 的求法不同,从而使得两条曲线在 相同
的情况下,离心率的乘积中含有平方差公式的特点,从而简化运算,较易得出 关系
例 6:椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ,
是两曲线的一个交点,那么 的值是( )
A. B. C. D.
思路:所求 既是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义
可得: , ,由此联想到两个式子的完全平方公式,进而
可求出 ,则
答案:B
例 7:已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合,抛物线的
准线与 轴的交点为 ,点 在抛物线上且 ,则 点的横坐标为( )
A. B. C. D.
思路:因为两条曲线的焦点重合,所以可用双曲线计算出焦点的坐标 ,所以
,进而可确定抛物线方程: ,以及准线方程 : 。所以 ,
设 点横坐标为 ,则 ,所以 ,由焦半径公式可得:
, 所 以 , 即
,可解得:
答案:B
例 8:设 为双曲线 的左焦点,在 轴上 点的右侧有一点 ,以 为直径的
圆与双曲线左,右两支在 轴上方的交点分别为 ,则 的值为( )
c ,a b
,a b
2 2
2 2 1 0x y m nm n
2 2
2 2 1 0x y a ba b 1 2,F F
P 1 2PF PF
m a 2 2m a 2
m a m a
1 2,PF PF
1 2 2PF PF a 1 2 2PF PF m
1 2PF PF 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1
4PF PF PF PF PF PF m a
2 2 0y px p F
2 2
14 5
x y
x K A 2AK AF A
2 2 3 2 3 4
2 4 5 9c
3,0F 2 12y x l 3x 3,0K
A x , 12A x x 22 3 12AK x x
32
pAF x x 2 22 2AK AF AK AF
2 23 12 2 3x x x 3x
F
2 2
116 9
x y x F A FA
x ,M N FN FM
FA
A. B. C. D.
思路:因为所求分式涉及到三条线段长度,若直接用距离公式则异常复杂,所以考虑时刻简
化 计 算 , 首 先 由 联 想 到 焦 半 径 公 式 , 设 , 则 有
, , 所 以
, 设 , 由 双 曲 线 可 知 , 则 的 中 点
,圆半径 ,所以圆方程为: ,整理后
可得: ,因为 的值与 相关,所以考虑联
立 圆 和 双 曲 线 方 程 : 消 去 可 得 :
, 所 以 , 代 入 可 得 :
,因为 ,所以原式的值为
答案:D
小炼有话说:本题可发现无论 的位置如何,从选项上来看 应该为定值,故可
以利用特殊位置,比如 为右焦点时,便可轻松得到答案:由对称性可得 ,
且 ,所以
例 9:如图,从双曲线 的左焦点 引圆 的切线,切点
为 , 延 长 交 双 曲 线 右 支 于 点 , 若 为 线 段 的 中 点 , 为 坐 标 原 点 , 则
的值为__________(用含 的表达式表示)
思路:首先要将 向 靠拢,因为 与圆切于
,连结 ,可知 ,且 为直角三角形,
2
5
5
2
5
4
4
5
,FM FN 1 1 2 2, , ,M x y N x y
1 1MF a ex ex a 2 2NF a ex ex a
1 2 2FN FM e x x a ,0A m 5,0F FA
5,02
mC
5
2
mr
2 2
25 5
2 2
m mx y
2 25 5 0x m x y m FN FM 1 2x x
2 2
2 2
5 5 0
116 9
x m x y m
x y
y
225 5 9 5 016 x m x m
1 2
16 5
25
mx x FN FM
16 5 4 55 84 25 5
m mFN FM 5FA m 4
5
A FN FM
FA
A 2 8FN FM a
2 10FA c 2 4
2 5
FN FM a
FA c
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b F 2 2 2x y a
T FT P M FP O
MO MT ,a b
,MO MT ,a b PF
T OT OT r a FOT
, 从 而 , 进 而
,在寻找 ,因为 为线段 的中点,且由双曲线性
质得 为 的中点,所以连结 ,则由中位线性质可得 ,而 恰好是
另一焦半径。所以 ,由双曲线定
义可得: ,从而
答案:
小炼有话说:(1)题目中遇到中点问题,除了已知条件外,在椭圆和双曲线中还要注意“原
点也是两焦点的中点”这一隐藏条件
(2)在椭圆与双曲线中,因为两条焦半径存在几何关系(和差与 相关),所以题中出现一条
焦半径时,常见的辅助线是连出另一条焦半径。
例 10:如图,椭圆 ,圆 ,
椭圆的左右焦点分别为 ,过椭圆上一点 和原点 作直线 交
圆 于 两 点 , 若 , 则 的 值 为
__________
思路:本题很难直接求出 的值,从而考虑将其视为整体,进行转化:从图上可得:
, 从 而
, 所 以 只 需 确 定 即 可 , 设 , 即
,已知 ,则需利用好 ,想到焦半径公式:则
, 所 以 , 所 以
, 即 , 所 以
答案:
OF c 2 2 2 2FT OF OT c a b
1
2MT FM FT PF b MO M FP
O 'FF 'PF '1
2OM PF 'PF
' '1 1 1
2 2 2MO MT PF PF b b PF PF
' 2PF PF a MO MT b a
b a
a
2 2
2: 1 24
x yC aa 2 2 2: 4O x y a
1 2,F F P O l
O ,M N 1 2 6PF PF PM PN
,PM PN
,PM OM OP r OP PN ON OP r OP
2 22 2 4PM PN r OP a OP 2OP ,P x y
2 2 2OP x y
2 2
2 14
x y
a 1 2 6PF PF
1 2,PF a ex PF a ex 2 2 2
1 2 6PF PF a e x
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
4 44 4 4x a cx y x x xa a a
2 2 2 2 24 2x y e x a
6PM PN
6